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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 34

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 34

COURRIER

Bravo !, le responsable du courrier est très content et remercie les lecteurs assidus d’avoir fait l’effort de prendre la plume, il espère que ce flot de lettres va continuer et même s’amplifier. Nous avons donc, dans ce numéro 5, 5 lettres de lecteurs ce qui donne à la rubrique COURRIER une importance décente en accord avec l’objectif d’échange et de dialogue entre collègues que nous nous sommes fixés.

I) La première lettre nous est envoyée par une jeune professeur stagiaire de l’ENFA, Mme Chantal BILLET, qui lors de son stage pédagogique, a réalisé cette séance de travaux dirigés pour introduire la notion de loi binomiale en BTSA. Nous remercions Mme BILLET pour cette participation, merci aussi à l’ENFA d’informer les professeurs stagiaires de l’existence du GRES.

EXEMPLE D’ACTIVITÉ INTRODUISANT LA LOI BINOMIALE en BTSA ACSE 1ère année

L’objectif de la séance est d’introduire la loi binomiale par les fréquences comme nous le proposent les programmes. En effet, nous pouvons lire, par exemple, dans le programme de 1

ère

S :

« On s’appuiera sur l’étude de séries statistiques obtenues par répétition d’une expérience aléatoire, en soulignant les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque cette expérience est répétée un grand nombre de fois. »

Cette proposition reste valable quelle que soit la classe.

Présentation de la séance : Durée : 1 h 30 Déroulement de la séance :

Recherche (oralement) d’expériences à deux issues.

Présentation et utilisation des tables de nombres au hasard.

Réalisation de l’exercice (voir fiche élève en annexe).

Recherche des probabilités correspondantes.

Effectif : 28 élèves.

Commentaires:

Utilisation des tables de nombres au hasard :

On donne aux étudiants la règle (d’utilisation de la table) suivante :

Prendre un chiffre au hasard dans la table. Ce chiffre servira de point de départ. Se fixer un sens de déplacement dans la table (de la gauche vers la droite, du haut vers le bas...). Relever les chiffres au fur et à mesure qu’il se présentent.

Avant de commencer la fiche d’exercice, quelques exemples sont faits par l’enseignant (la table ayant été photocopiée sur un transparent).

Chaque étudiant a fait six tirages de cinq chiffres, notons que certains avaient tendance à confondre «avoir 0, 1, 2,..5 succès» avec «obtenir le nombre 0» ou «obtenir le nombre 1».

Ils ont regroupé leur données.

L’exercice réalisé, nous avons recherché les probabilités correspondantes en recherchant de manière détaillée tous les événements élémentaires (les étudiants ne connaissaient pas la loi binomiale). Nous avons alors comparé les résultats obtenus aux fréquences théoriques.

Le cours sur la loi binomiale a été fait la séance suivante.

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 35 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

ANNEXE : (Fiche distribuée aux étudiants)

EXERCICE

Choisissez un sens de parcours dans la table et prélevez 5 nombres entiers (de 0 à 9 inclus) dans la table de nombres au hasard qui vous est fournie.

On note « succès » : avoir le nombre 0 ou le nombre 1.

Notez le nombre de succès obtenus parmi les 5 nombres choisis.

Recommencez ensuite avec 5 autres séries (vous aurez chacun 6 séries au total) . Notez tous vos résultats dans le tableau suivant :

Nombres de succès

série 1 série 2 série 3 série 4 série 5 série 6 Total 0

1 2 3 4 5

Sous chaque colonne, indiquez les 5 chiffres obtenus dans la table.

Résumé pour l’ensemble de la classe :

Nombre de succès Total Fréquences

0 1 2 3 4 5 Total

Construisez la représentation graphique (en bâtons) correspondant au tableau précédent.

On portera en abscisse le nombre de succès et en ordonnée les fréquences.

Calculez la moyenne des succès obtenus, ainsi que la variance et l’écart-type.

Que représente cette moyenne ? Résultats obtenus par la classe :

Nombre de succès Total Fréquence

0 56 0,33

1 60 0,36

2 35 0,21

3 12 0,07

4 5 0,03

5 0 0

Total 168 1

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 37 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

INDICE DE SELECTION

II) Autre courrier, Monsieur Luc BRIEL, fidèle lecteur du Bulletin enseignant au LEGTA de RODEZ LA ROQUE, nous demande :

"...comment est construite, à partir de la loi normale, la table donnant l’intensité de sélection, i, en fonction du pourcentage, p, de reproducteurs sélectionnés...."

Pour tous les collègues n’enseignant pas en BTSA Productions Animales, nous donnons quelques informations permettant de comprendre le problème. Ces informations sont extraites de l’ouvrage :

Amélioration génétique des animaux d’élevage Collection INRAP Editions FOUCHER 1991 dont voici quelques extraits : (p.112 et 113) :

2 L’INTENSITE DE SELECTION (OU PRESSION DE SELECTION) 2.1Définition et signification

L’intensité de sélection i caractérise la plus ou moins grande sévérité du choix des reproducteurs : à un choix sévère, où un fort pourcentage de candidats est éliminé, correspond une forte intensité de sélection, et inversement, à un choix peu sévère, caractérisé par un faible pourcentage de candidats éliminés, correspond une faible intensité de sélection.

La valeur de i, fonction de p, pourcentage de reproducteurs sélectionnés ou taux de sélection, est donnée directement par des tables établies à partir des caractéristiques de la loi normale (Table donnée en annexe).

Plus précisément, l’intensité de sélection mesure la supériorité moyenne des reproducteurs sélectionnés par rapport à la moyenne des candidats reproducteurs.

Si on considère un critère de sélection C de distribution normale (moyenne C , écart type σ

C

), on démontre que la supériorité moyenne S des reproducteurs sélectionnés pour le critère étudié est égale à :

S = C

S

- C = i x σ

C

Par exemple, dans le cas de verrats contrôlés en station pour le critère G.M.Q.

( C =903 g, σ

C

=44 g), les verrats classés dans les 20% supérieurs pour le critère G.M.Q. ont une supériorité moyenne par rapport à l’ensemble des animaux contrôlés égale à :

S = 1,4 x 44 = 61,6g (pour p=0,20, i=1,4) et leur G.M.Q. moyen est 903 + 61,6 ≈ 965g.

Fin de citation.

Essayons de modéliser tout cela. On a donc une population d’individus (les animaux reproducteurs), on considère une variable aléatoire qui prend pour valeur la mesure d’un caractère sur chaque individu (critère de sélection C dans l’article et, dans l’exemple des verrats, le Gain Moyen Quotidien). On sait que la loi de probabilité de cette variable est une loi normale de moyenne et d’écart type connus (notés C et σ

C

dans l’article).

Si l’on considère une sous population constituée d’individus ayant les plus fortes valeurs du

caractère (correspondant donc à une sélection d’individus), il est clair que la moyenne du

(5)

ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 38

caractère pour cette sous population est supérieure à la moyenne de la population entière.

L’objectif est de pouvoir calculer cette moyenne à partir - du pourcentage d’individus sélectionnés (les meilleurs au sens du

critère)

- de la moyenne et

- de l’écart type de la population entière.

D’où l’idée de considérer que la différence entre la moyenne de la sous population et la moyenne de la population entière (appelée supériorité et notée S) est proportionnelle à l’écart type de la population, le coefficient de proportionnalité étant justement le fameux indice de sélection i.

La connaissance de i, pour un pourcentage donné, permet de calculer facilement C

S

grâce à la formule : C

S

- C = i x σ

C

Bien entendu, pour fabriquer la table, il suffit de calculer directement les valeurs de C

S

correspondant aux différentes valeurs de p.

Donnons une exemple sur un cas discret avant de passer à la loi normale :

On répartit les notes obtenues par 22 élèves en 7 classes d’amplitude 3 ce qui nous donne le tableau suivant :

i 1 2 3 4 5 6 7

n

i

2 3 4 7 3 2 1

x

i

1 4 7 10 13 16 19

La moyenne des notes est C =

n x n

i i i

i i

=

=

1 7

1

7

C = 9,20

on calcule l’écart type σ

C

= 4,628

Si l’on considère les 27% de meilleures notes, c’est à dire les 6 meilleures notes (c’est à dire les 3 dernières classes), leur moyenne est :

C

S

=

n x n

i i i

i i

5

5

soit C

S

= 15 on a donc S = 15 - 9,20

S = 5,8 d’où i = 5 8 4 628

,

, soit i = 1,25

Dans le cas d’une loi normale on va, pour calculer i, considérer la loi normale centrée réduite.

Donc C = 0 et σ

C

= 1, la relation :

S = C

S

- C = i x σ

C

devient donc : S = C

S

= i

(6)

ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 39 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

Le calcul de C

S

est la généralisation du calcul réalisé plus haut avec les notes :

C

S

=

1 2 1 2

2

2

2

2

π π

ce dc

e dc

c

u c

u +∞ −

+∞ −

soit C

S

= e

e dc

u

c

u

− +∞ −

2

2

2

2

La valeur de u est donnée, en fonction de la valeur de p choisie, par la table de la loi normale centrée réduite ou par EXCEL.

Une valeur approchée du numérateur et du dénominateur sont fournies par une calculette (voir programmes en annexe).

Des exemples :

1) pour p = 0,75 on trouve en utilisant la table de la loi normale, u = -0.6745. En portant cette valeur de u dans l’expression de C

S

ci dessus, on obtient i = 0,42369

la table donne i = 0,424.

2) pour p = 0,50, la valeur de u est évidemment 0.

On obtient alors i = 0,7979 la table donne i = 0,798

3) pour p = 0,14,on trouve avec la table de la loi normale u = 1,0803.

On obtient alors i = 1,5898 la table donne i = 1,590

p 1- p

C

S

0 u c

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 40

Annexes : 1) Programmes sur calculatrices Casio fx 9900GC ? Æ A

e(-A²÷2) ÷ ƒ(e(-X²÷2),A,5) Texas Ti - 82 :INPUT A

:e^(-A²/2)/fnInt(e^(-X²/2),X,A,5)Æ I : Disp I

Remarques : * On entre dans A la valeur de u trouvée dans la table de la loi normale.

* les fonctions ƒ sur Casio et fnInt sur Texas sont les fonctions qui permettent de calculer les intégrales d’une fonction.

* La borne supérieure de l’intégrale est prise à 5, c’est largement suffisant.

2) table donnant les :

Valeurs de l’intensité de sélection i en fonction du taux de sélection p.

p i p i p i 1,00

0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69 0,68

0 0,027 0,049 0,070 0,090 0,109 0,127 0,144 0,162 0,178 0,195 0,211 0,227 0,243 0,259 0,274 0,290 0,305 0,320 0,335 0,350 0,365 0,380 0,394 0,409 0,424 0,438 0,453 0,468 0,482 0,497 0,511 0,526

0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42 0,41 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35

0,541 0,555 0,570 0,585 0,599 0,614 0,629 0,644 0,659 0,674 0,689 0,704 0,720 0,735 0,751 0,766 0,782 0,798 0,814 0,830 0,846 0,863 0,880 0,896 0,913 0,931 0,948 0,966 0,984 1,002 1,020 1,039 1,058

0,34 0,33 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

1,078

1,097

1,118

1,138

1,159

1,180

1,202

1,225

1,248

1,271

1,295

1,320

1,346

1,372

1,400

1,428

1,458

1,489

1,521

1,554

1,590

1,627

1,667

1,709

1,755

1,804

1,858

1,918

1,985

2,063

2,154

2,268

2,421

2,665

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 41 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

III) Nous sommes très flattés, un proviseur, Monsieur Jean DIVIEZ, proviseur du LEGTA de PAMIERS, dans l’Ariège, autrefois célèbre pour ses haricots qui entraient dans la composition du célèbre cassoulet de Castelnaudary et patrie du musicien Gabriel FAURÉ ; Monsieur DIVIEZ, disais-je, nous a écrit la très gentille lettre qui suit :

Cher GRES,

Tout arrive. Ainsi, la distribution du courrier, que je croyais maîtriser parfaitement dans mon établissement, était aléatoire et c’est seulement le n° 4 de votre bulletin qui en atterrissant sur mon bureau m’a ouvert les yeux.

Heureux hasard qui m’a permis de renouer avec la famille Bernoulli que j’avais entièrement perdue de vue depuis des lustres. Hélas, la joie de ces retrouvailles a été ternie lorsque j’ai touché du doigt dans les pages suivantes l’abyssalité de mon ignorance. Ainsi le test F m’a été fatal et l’EASI n’a pas suffi à me ranimer. J’ai repris quelques couleurs au coin des débutants, insuffisamment cependant pour exprimer mon opinion sur les liaisons entre les intervalles de confiance et les tests. Enfin Valéry KREISS a eu le bon goût de conclure par une solution de l’exercice n°3 du CAPESA interne qui correspond mieux à ce qui me reste de lucidité et de connaissances.

Pour ne pas mourir idiot, je serais heureux de recevoir vos rééditions des trois premiers numéros accompagnées d’un bulletin d’abonnement afin de poursuivre ma rééducation et d’inviter les Professeurs de Mathématique du Lycée à partager les joyeusetés de vos récréations.

Bien statistiquement vôtre.

Nous apprécions l’humour et la gentillesse de cet écrit qui nous touche profondément et nous encourage à poursuivre. Monsieur DIVIEZ est nommé membre associé du GRES et recevra à ce titre un exemplaire personnel de chacun des bulletins qui paraîtront. Il lui a déjà été remis en main propre au LEGTA de PAMIERS la collection complète des bulletins.

Merci Monsieur le Proviseur.

(9)

ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 42

IV) La quatrième lettre dont nous ferons état nous parvient de Madame Françoise BART, professeur au LEGTA de BEAUNE, belle région que la Bourgogne, aux multiples attraits ; beau lycée également, célèbre notamment pour les produits raffinés de son exploitation.

Mme BART, dans une gentille lettre pleine de remerciements qui nous font chaud au cœur, nous demande

quelles seront les notations utilisées dans les formulaires de Mathématiques qui seront édités avec les nouveaux programmes de D11 et D4* des filières BTSA ?

A notre connaissance, les formulaires seront assez simples et ne constitueront pas des résumés de cours. Le problème des notations ne se posera pas trop, surtout pas en ce qui concerne l’échantillonnage ou les tests statistiques qui, à notre avis, ne devraient pas être évoqués sur le formulaire. Ceci étant, les notations indiquées dans le bulletin n°1 nous paraissent cohérentes et commodes et il y aurait tout intérêt à en généraliser l’utilisation avec les étudiants.

Mme BART nous envoie dans sa lettre deux articles fort intéressants que nous tenons à la disposition des lecteurs :

"La folie des sondages" Télérama n°2259 du 28 avril 1993

"Dangereux" de Joseph KLATZMANN Le Monde des débats Février 1995

Ces deux articles sur les sondages et leurs dangers sont complétés par un enregistrement vidéo de deux émissions de télévision l’une sur l’historique des sondages, l’autre sur le déroulement d’un sondage.

Mme BART tient cette cassette à la disposition de ceux qui sont intéressés, qu’on se le dise ! Un grand merci à Françoise BART, nous souhaitons que, comme elle, vous proposiez des documents, des outils, des idées,.... pour faire avancer le schmilblic. En récompense, Françoise va recevoir le n°4 du bulletin, qu’elle n’a toujours pas vu dans son établissement, et le n°5 rien que pour elle.

IV) Un dernier courrier de M. Jean-Louis CADEILLAN du LEGTA de CHATEAUROUX, enseignant en Phytotechnie (nos lecteurs sont très variés !) qui travaille sur le D

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avec un collègue de Mathématiques. M. CADEILLAN nous propose deux versions (EXCEL 4 et EXCEL 5) d’une simulation de la planche de GALTON qu’il nous nomme

« Machine de COMPTON » nous n’avions pas connaissance de cette dénomination. Nous tenons ces fichiers à la dispsition des lecteurs.

Un grand merci à M. CADEILLAN.

Voilà, c’est tout pour cette fois, à bientôt le plaisir de vous lire.

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