ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 34
COURRIER
Bravo !, le responsable du courrier est très content et remercie les lecteurs assidus d’avoir fait l’effort de prendre la plume, il espère que ce flot de lettres va continuer et même s’amplifier. Nous avons donc, dans ce numéro 5, 5 lettres de lecteurs ce qui donne à la rubrique COURRIER une importance décente en accord avec l’objectif d’échange et de dialogue entre collègues que nous nous sommes fixés.
I) La première lettre nous est envoyée par une jeune professeur stagiaire de l’ENFA, Mme Chantal BILLET, qui lors de son stage pédagogique, a réalisé cette séance de travaux dirigés pour introduire la notion de loi binomiale en BTSA. Nous remercions Mme BILLET pour cette participation, merci aussi à l’ENFA d’informer les professeurs stagiaires de l’existence du GRES.
EXEMPLE D’ACTIVITÉ INTRODUISANT LA LOI BINOMIALE en BTSA ACSE 1ère année
L’objectif de la séance est d’introduire la loi binomiale par les fréquences comme nous le proposent les programmes. En effet, nous pouvons lire, par exemple, dans le programme de 1
èreS :
« On s’appuiera sur l’étude de séries statistiques obtenues par répétition d’une expérience aléatoire, en soulignant les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque cette expérience est répétée un grand nombre de fois. »
Cette proposition reste valable quelle que soit la classe.
Présentation de la séance : Durée : 1 h 30 Déroulement de la séance :
Recherche (oralement) d’expériences à deux issues.
Présentation et utilisation des tables de nombres au hasard.
Réalisation de l’exercice (voir fiche élève en annexe).
Recherche des probabilités correspondantes.
Effectif : 28 élèves.
Commentaires:
Utilisation des tables de nombres au hasard :
On donne aux étudiants la règle (d’utilisation de la table) suivante :
Prendre un chiffre au hasard dans la table. Ce chiffre servira de point de départ. Se fixer un sens de déplacement dans la table (de la gauche vers la droite, du haut vers le bas...). Relever les chiffres au fur et à mesure qu’il se présentent.
Avant de commencer la fiche d’exercice, quelques exemples sont faits par l’enseignant (la table ayant été photocopiée sur un transparent).
Chaque étudiant a fait six tirages de cinq chiffres, notons que certains avaient tendance à confondre «avoir 0, 1, 2,..5 succès» avec «obtenir le nombre 0» ou «obtenir le nombre 1».
Ils ont regroupé leur données.
L’exercice réalisé, nous avons recherché les probabilités correspondantes en recherchant de manière détaillée tous les événements élémentaires (les étudiants ne connaissaient pas la loi binomiale). Nous avons alors comparé les résultats obtenus aux fréquences théoriques.
Le cours sur la loi binomiale a été fait la séance suivante.
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ANNEXE : (Fiche distribuée aux étudiants)
EXERCICE
Choisissez un sens de parcours dans la table et prélevez 5 nombres entiers (de 0 à 9 inclus) dans la table de nombres au hasard qui vous est fournie.
On note « succès » : avoir le nombre 0 ou le nombre 1.
Notez le nombre de succès obtenus parmi les 5 nombres choisis.
Recommencez ensuite avec 5 autres séries (vous aurez chacun 6 séries au total) . Notez tous vos résultats dans le tableau suivant :
Nombres de succès
série 1 série 2 série 3 série 4 série 5 série 6 Total 0
1 2 3 4 5
Sous chaque colonne, indiquez les 5 chiffres obtenus dans la table.
Résumé pour l’ensemble de la classe :
Nombre de succès Total Fréquences
0 1 2 3 4 5 Total
Construisez la représentation graphique (en bâtons) correspondant au tableau précédent.
On portera en abscisse le nombre de succès et en ordonnée les fréquences.
Calculez la moyenne des succès obtenus, ainsi que la variance et l’écart-type.
Que représente cette moyenne ? Résultats obtenus par la classe :
Nombre de succès Total Fréquence
0 56 0,33
1 60 0,36
2 35 0,21
3 12 0,07
4 5 0,03
5 0 0
Total 168 1
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INDICE DE SELECTION
II) Autre courrier, Monsieur Luc BRIEL, fidèle lecteur du Bulletin enseignant au LEGTA de RODEZ LA ROQUE, nous demande :
"...comment est construite, à partir de la loi normale, la table donnant l’intensité de sélection, i, en fonction du pourcentage, p, de reproducteurs sélectionnés...."
Pour tous les collègues n’enseignant pas en BTSA Productions Animales, nous donnons quelques informations permettant de comprendre le problème. Ces informations sont extraites de l’ouvrage :
Amélioration génétique des animaux d’élevage Collection INRAP Editions FOUCHER 1991 dont voici quelques extraits : (p.112 et 113) :
2 L’INTENSITE DE SELECTION (OU PRESSION DE SELECTION) 2.1Définition et signification
L’intensité de sélection i caractérise la plus ou moins grande sévérité du choix des reproducteurs : à un choix sévère, où un fort pourcentage de candidats est éliminé, correspond une forte intensité de sélection, et inversement, à un choix peu sévère, caractérisé par un faible pourcentage de candidats éliminés, correspond une faible intensité de sélection.
La valeur de i, fonction de p, pourcentage de reproducteurs sélectionnés ou taux de sélection, est donnée directement par des tables établies à partir des caractéristiques de la loi normale (Table donnée en annexe).
Plus précisément, l’intensité de sélection mesure la supériorité moyenne des reproducteurs sélectionnés par rapport à la moyenne des candidats reproducteurs.
Si on considère un critère de sélection C de distribution normale (moyenne C , écart type σ
C), on démontre que la supériorité moyenne S des reproducteurs sélectionnés pour le critère étudié est égale à :
S = C
S- C = i x σ
CPar exemple, dans le cas de verrats contrôlés en station pour le critère G.M.Q.
( C =903 g, σ
C=44 g), les verrats classés dans les 20% supérieurs pour le critère G.M.Q. ont une supériorité moyenne par rapport à l’ensemble des animaux contrôlés égale à :
S = 1,4 x 44 = 61,6g (pour p=0,20, i=1,4) et leur G.M.Q. moyen est 903 + 61,6 ≈ 965g.
Fin de citation.
Essayons de modéliser tout cela. On a donc une population d’individus (les animaux reproducteurs), on considère une variable aléatoire qui prend pour valeur la mesure d’un caractère sur chaque individu (critère de sélection C dans l’article et, dans l’exemple des verrats, le Gain Moyen Quotidien). On sait que la loi de probabilité de cette variable est une loi normale de moyenne et d’écart type connus (notés C et σ
Cdans l’article).
Si l’on considère une sous population constituée d’individus ayant les plus fortes valeurs du
caractère (correspondant donc à une sélection d’individus), il est clair que la moyenne du
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caractère pour cette sous population est supérieure à la moyenne de la population entière.
L’objectif est de pouvoir calculer cette moyenne à partir - du pourcentage d’individus sélectionnés (les meilleurs au sens du
critère)
- de la moyenne et
- de l’écart type de la population entière.
D’où l’idée de considérer que la différence entre la moyenne de la sous population et la moyenne de la population entière (appelée supériorité et notée S) est proportionnelle à l’écart type de la population, le coefficient de proportionnalité étant justement le fameux indice de sélection i.
La connaissance de i, pour un pourcentage donné, permet de calculer facilement C
Sgrâce à la formule : C
S- C = i x σ
CBien entendu, pour fabriquer la table, il suffit de calculer directement les valeurs de C
Scorrespondant aux différentes valeurs de p.
Donnons une exemple sur un cas discret avant de passer à la loi normale :
On répartit les notes obtenues par 22 élèves en 7 classes d’amplitude 3 ce qui nous donne le tableau suivant :
i 1 2 3 4 5 6 7
n
i2 3 4 7 3 2 1
x
i1 4 7 10 13 16 19
La moyenne des notes est C =
n x n
i i i
i i
=
=
∑
∑
1 7
1
7
C = 9,20
on calcule l’écart type σ
C= 4,628
Si l’on considère les 27% de meilleures notes, c’est à dire les 6 meilleures notes (c’est à dire les 3 dernières classes), leur moyenne est :
C
S=
n x n
i i i
i i
≥
≥
∑
∑
55
soit C
S= 15 on a donc S = 15 - 9,20
S = 5,8 d’où i = 5 8 4 628
,
, soit i = 1,25
Dans le cas d’une loi normale on va, pour calculer i, considérer la loi normale centrée réduite.
Donc C = 0 et σ
C= 1, la relation :
S = C
S- C = i x σ
Cdevient donc : S = C
S= i
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Le calcul de C
Sest la généralisation du calcul réalisé plus haut avec les notes :
C
S=
1 2 1 2
2
2
2
2
π π
ce dc
e dc
c
u c
u +∞ −
+∞ −
∫
∫
soit C
S= e
e dc
u
c
u
− +∞ −
∫
2
2
2
2