COURBE D’EFFICACITE (suite) Ces exemples font suite à l’article publié dans le Bulletin n°4 sous le titre : A propos de la COURBE D’EFFICACITE page 11

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ENFA - Bulletin du GRES n°5 – juin 1997 page 7 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

COURBE D’EFFICACITE (suite)

Ces exemples font suite à l’article publié dans le Bulletin n°4 sous le titre : A propos de la COURBE D’EFFICACITE page 11

Exemple 2 :

On désire vérifier que la moyenne des masses des éléments d'une production (supposées distribuées normalement) est de 250 g. L'écart-type de la fabrication est connu et égal à 2. On prélève un échantillon de 9 éléments afin de tester l'hypothèse H₀:"μ =250" ^contre

H₁:"μ ≠250". Le risque α est fixé à 5%.

Quelle est la probabilité d'accepter H0 alors que la moyenne est en fait de 248 g ? σ étant connu, la variable de décision est ici U X

0

250 2

9

= −

dont la loi de probabilité

est N(0, 1) si H0 est vraie.

a = u ₋ = u =

1 0 975

2

α , 1 96,

Ici U0 n'est pas de loi N(0, 1) car H0 est fausse, c'est U X

= −248 2

9

qui est de loi N(0,

1).

La probabilité demandée est donc :

( )

( ) ( )

β β

β

= − < < = ⎛ − × < < + ×

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= ⎛ − × < − < + ×

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= − < −

< +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟ = < <

= − ≈ − =

Pr , , Pr , ,

Pr , ,

Pr , , Pr , ,

, , , ,

1 96 1 96 250 1 96 2

9 250 1 96 2

9 2 1 96 2

9 248 2 1 96 2

9 2 9

2 1 96 248

2 9

2 1 96 1 04 4 96

4 96 1 04 1 0 8508 0 1492

U0 X

X

X U

Φ Φ

La probabilité d'accepter H0 alors que la moyenne est en fait de 248 g est d'environ 15%. On a donc ici un risque β de 15% environ.

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Plus généralement, si on pose λ μ μ

= − σ₀ n

on trouve, pour ce test et pour α=5%,

( ) ( )

β=Φ λ+1 96, −Φ λ−1 96, (Φ est la fonction de répartition de la loi N(0, 1)). Ce qui donne la courbe d'efficacité suivante :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

100β

λ

Dans l'exemple précédent on avait λ = 3.

Si H0 est vraie on a λ =0, la probabilité d'acceptation est de 95%, soit 1-α.

On voit que β peut prendre d'assez grandes valeurs, c'est pourquoi le fait d'accepter H₀ est un peu comme un non-lieu en justice : on accepte H0 faute de preuves, parce que la différence observée n'est pas assez grande pour qu'on puisse la rejeter.

Remarque : Cet exemple aurait pu être traité comme l’exemple 1. La méthode utilisée ici fait apparaître λ et permet que la courbe trouvée s’applique pour d’autres valeurs de μ, μ0, σ et n.

Exemple 3 : (en lien avec le programme du D 4.14 du BTSA IAA "contrôle reception")

Lors de la réception d'un lot de pièces dans une entreprise, on souhaite effectuer un contrôle du pourcentage de défectueux de ce lot. Ce lot étant de grande taille on y prélève un échantillon aléatoire de taille n.

Un niveau de qualité acceptable, NQA, a été défini au préalable. Ce NQA est le pourcentage de défectueux à ne pas dépasser, il est fixé par le client. Le test est donc défini par :

H0 : p = NQA H1 : p > NQA

Pour un NQA de 2,5% et pour n = 20, les normes AFNOR donnent dans leurs plans d'échantillonnage types A = 1 et R = 2. Ceci signifie que le lot est accepté si l'échantillon contient au plus un défectueux, refusé si l'échantillon en contient au moins deux.

Question 1 : Quel est le risque α de ce test ? Autrement dit : quelle est la probabilité de refuser un lot contenant 2,5% de défectueux ?

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Les tirages, même s'ils sont effectués sans remise, peuvent être considérés comme indépendants compte tenu de la grande taille des lots. La variable aléatoire K qui prend pour valeurs le nombre de défectueux d'un échantillon est donc de loi binomiale B(20; 0,025). On a donc :

( )

[

( ) ( )

]

α = Pr K≥2 = −1 1−0 025, ²⁰ +C¹₂₀ 1−0 025, ¹⁹ ×0 025,

Soit α ≈ 8,82 %. C'est le risque du fournisseur, le risque qu'on lui refuse un lot de bonne qualité.

Question 2 : Comment construire la courbe d'efficacité de ce test ?

β est la probabilité d'accepter un lot contenant un pourcentage p de défectueux différent de 2,5%. K est alors de loi B(20, p)

β = Pr(K≤1) = −(1 p)²⁰ +20 1( −p)¹⁹p

On peut faire construire cette courbe à des élèves à l'aide de leur calculatrice. On peut y lire par exemple que la probabilité d'accepter un lot contenant 20 % de défectueux est d'environ 7 % . Ceci est un risque pour le client.

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MIEUX VAUT EN RIRE 1

* Quelle différence y a-t-il entre un probabiliste et un statisticien ?

Le probabiliste, c’est celui qui se pose des questions de la forme : Si je lance 12458 fois une pièce bien équilibrée, quelle est la probabilité d’obtenir 6584 fois "face".

Le statisticien, c’est celui qui se pose des questions de la forme :

j’ai lancé 12458 fois une pièce de monnaie, j’ai obtenu 6584 fois

"face", puis-je considérer que cette pièce est bien équilibrée ?