(1)ENFA - Bulletin n°12 du groupe PY-MATH –mars 2 004 page 41 Contact : Conf PY-MATH@ed ucagri.fr Trigonométrie en bac techno, quelques exercices

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ENFA - Bulletin n°12 du groupe PY-MATH –mars 2 004 page 41 Contact : Conf PY-MATH@ed ucagri.fr

Trigonométrie en bac techno, quelques exercices.

Vous avez pu lire dans le bulletin n°11 une approche des fonctions trigonométriques en bac STAE / STPA.

Pensez à lire le courrier des lecteurs de ce numéro.

Voici quelques exercices, plutôt adaptés aux élèves des classes de terminale, traitant de ces notions, avec quelques commentaires.

Les NDLR (en italiques) qui suivent certains exercices sont le fruit de réflexion des membres du groupe PY-MATH. Commençons tout de suite par un exemple.

NDLR : l a r é s o l u t i o n d e s i n é q u a t i o n s t r i g o n o m é t r i q u e s e n t a n t q u e t e l l e n e f i g u r e p a s a u p r o g r a m m e . T o u t e f o i s l a r é s o l u t i o n g r a p h i q u e d ’ i n é q u a t i o n s e s t a u p r o g r a m m e , p a r s u i t e l a r é s o l u t i o n g r a p h i q u e d ’ i n é q u a t i o n s t r i g o n o m é t r i q u e s f i g u r e p a r m i l e s c o m p é t e n c e s a t t e n d u e s . L ’ u t i l i s a t i o n d u c e r c l e t r i g o n o m é t r i q u e e s t a u p r o g r a m m e d e p r e m i è r e e t d e t e r m i n a l e , p a r s u i t e l a r é s o l u t i o n d ’ i n é q u a t i o n s t r i g o n o m é t r i q u e s , à l ’ a i d e d u c e r c l e t r i g o n o m é t r i q u e s , d a n s d e s c a s s i m p l e s , e s t e n v i s a g e a b l e , m a i s n e n o u s s e m b l e p a s d u d o m a i n e d e l ’ e x i g i bl e ; u n e x e m p l e e s t d o n n é e x e r c i c e 8 p a r t i e 1 d e u x i è m e q u e s t i o n .

Les collègues de matières scientifiques et techniques seront certainement heureux de vous proposer d'autres exemples. Notre contribution (en fin d’article) se veut modeste, nous n'avons pas la prétention de traiter le programme de manière exhaustive.

Si les annales et les ouvrages scolaires de STI sont des sources d’inspirations, soyez vigilants, les programmes de STI et de STAE/STPA ne sont pas les mêmes !

C'est avec plaisir que nous recevrons vos suggestions et critiques. Vos propositions seront les bienvenues.

Parité, périodicité

COMMENTAIRE : Il est écrit dans les recommandations pédagogiques du référentiel au sujet des fonctions circulaires : " . . . c e t t e é t u d e s e r a l ' o c c a s i o n d ' a b o r d e r l a n o t i o n d e p é r i o d i c i t é " .

Est-il opportun d'exiger de l'élève de savoir déterminer algébriquement la période d'une fonction périodique ? Est-ce qu'une lecture graphique ou une simple vérification algébrique ne suffirait pas pour répondre aux exigences du programme ?

Exercice n°1 :

On donne, page suivante, dans un repère orthogonal (O;iG ;Gj)

les courbes (C1), (C2) et (C3) représentatives de fonctions périodiques définies sur IR.

Courbe (C1)

(2)

Courbe (C2)

Courbe (C3)

(3)

a) Pour chacune de ces fonctions, donner par lecture graphique la période et préciser la parité.

b) Les courbes (C1), (C2) et (C3) ci-dessus sont respectivement les représentations graphiques des fonctions f, g et h définies sur IR. par :

f ( x ) = s i n ( 2 x ) ; g ( x ) = 3 c o s ( 2 x + 2

π) ; h ( x ) = s i n ( 3 2πx +

6 π)

En justifiant votre démarche, associer à chaque fonction sa courbe représentative.

NDLR : p o u r l a p é r i o d i c i t é , i l n o u s s e m b l e d i f f i c i l e d ’ a l l e r a u - d e l à d ’ u n e l e c t u r e g r a p h i q u e . M o n t r e r , à l ’ a i d e d e l a d é f i n i t i o n , q u ’ u n n o m b r e e s t u n e ( o u l a ) p é r i o d e n e n o u s p a r a i t p a s ê t r e u n e c o m p é t e n c e e x i g i b l e . ( P e t i t c l i n d ’ œ i l , l a f o n c t i o n g n ’ e s t q u ’ u n s i n u s d é g u i s é ! )

Exercice n°2 :

Compléter les courbes représentatives des fonctions f et g suivantes en vous aidant des informations qui vous sont données ci-dessous.

f est périodique de période 4.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g est une fonction paire et périodique de période 4.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(4)

Exercice n°3 :

Soit la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 3 s i n ( 2

πx ) et (C) sa courbe

représentative dans un repère orthogonal (O;iG ;Gj) . 1. a) Vérifier que 4 est une période de f.

b) Étudier la parité de f.

2. On donne ci-dessous la représentation graphique de f sur [0 ; 2].

En déduire la représentation graphique de f sur IR.. Justifier.

NDLR : l a q u e s t i o n 1 . a ) n o u s p a r a î t h o r s p r o g r a m m e . R e v o i r l a n o t e s u r l ’ e x e r c i c e 1 e t d e p l u s u n e p é r i o d e « e n t i è r e » e s t t r è s d é r o u t a n t e . M ê m e s i c e t e x e r c i c e e s t i n t é r e s s a n t , i l n o u s p a r a î t à l a l i m i t e d u h o r s p r o g r a m m e.

Résolution d'équations et d'inéquations

COMMENTAIRE : Les résolutions algébriques d’inéquations trigonométriques ne sont pas au programme. L'élève risque cependant d'être confronté à ce type de difficultés dans les études de fonctions trigonométriques, notamment pour étudier le signe de la dérivée. Voici quelques exemples où l'élève devra savoir:

• que pour tout réel x, c o s x et s i n x appartiennent à l'intervalle [-1 ; 1]

• utiliser le cercle trigonométrique dans des cas très simples.

• retrouver le signe d'une fonction par lecture graphique.

Exercice n°4 :

On donne, page suivante, dans un repère orthogonal (O;iG, Gj)

la représentation graphique (C) de la fonction f définie sur [−π ; π ] par

f ( x ) = s i n ( x + 4 π ) .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

(5)

1. Résoudre graphiquement l'équation f ( x ) = 0 sur [−π ; π ].

2. A l'aide du graphique et de la première question, déterminer les solutions de l'inéquation sin x⎛ +

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

π

4 > 0 dans l'intervalle [−π ; π ].

NDLR : l a r é s o l u t i o n a l g é b r i q u e n o u s s e m b l e à l a l i m i t e d u p r o g r a m m e . E l l e p e u t ê t r e p r o p o s é e e n e x e r c i c e e n c l a s s e , m a i s n e n o u s s e m b l e p a s e x i g i b l e .

Exercice n°5 :

On donne ci-dessous dans un repère orthogonal (O;iG, Gj)

la représentation graphique (C) de la fonction f définie sur [−π ; π ] par f ( x ) = c o s ( x -

3 π ).

1. Résoudre algébriquement l'équation f ( x ) = 0 sur [−π ; π ].

(C)

(6)

2. A l'aide du graphique et de la première question, déterminer les solutions de l'inéquation c o s ( x -

3

π ) ≤ 0 dans l'intervalle [−π ; π].

NDLR : r e v o i r l a n o t e d e l ’ e x e r c i c e p r é c é d e n t , p o u r l a p r e m i è r e q u e s t i o n . D a n s l e m ê m e o r d r e d ’ i d é e , l a r é s o l u t i o n d ’ é q u a t i o n d u t y p e c o s ( 2 x ) = 0 , 5 o u s i n ( 3 x +

4

π ) = 0 n o u s s e m b l e h o r s p r o g r a m m e.

Exercice n°6 : ( d'après BAC STI 1997)

La figure ci-après représente la courbe représentative (C) dans un repère orthogonal (O;iG, Gj)

de la fonction f définie sur [−π ; π ] par : f ( x ) = 2 c o s ( 2 x -

4 π ) .

1. Par simple lecture graphique, indiquer le nombre de solutions dans l'intervalle [−π ; π ] de l'équation f ( x ) =

2 1.

2. Vérifier que les réels 8

−5π, 8

−π, 8 3π et

8

7π sont les solutions de l'équation f ( x ) = 0 dans l'intervalle [−π ; π ].

3. Par lecture graphique, construire le tableau de signes de f ( x ) sur l’intervalle [−π ; π ].

Exercice n°7 :

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O;iG, Gj) .

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur [−π ; π] par f ( x ) =

2

−1c o s ( 2 x ) + c o s x + 2 3 . 1. Déterminer une primitive de f sur [−π ; π ].

(C)

(7)

2. Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité par :

la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x = −π et x = π. On admettra que f est positive ou nulle sur l'intervalle [−π ; π ].

Etude de fonctions

Exercice n°8 : ( d'après BAC STI )

P a r t i e n ° 1 : Une étude de signe.

Soit g la fonction définie sur [ 0; π ] par g ( x ) = 2

1 - c o s x. 1 Résoudre sur [ 0 ; π ] l'équation g ( x ) = 0.

2. A l'aide du cercle trigonométrique, déterminer le signe de g ( x ) en fonction des valeurs de x sur [ 0 ; π ].

P a r t i e n ° 2 : Résolution dans [ 0; π ]. de l'équation (1) : s i n x = x 21 .

1. Soient (Γ) et (Δ) les courbes représentatives respectives des fonctions définies sur [ 0; π ] par : x6sinxet x x

6 2 dans un repère (O;iG, Gj) . Tracer soigneusement (Γ) et (Δ).

2. En examinant les deux courbes, expliquer pourquoi l'équation ( 1 ) possède deux solutions dont l'une est le réel 0.

3. Soit f la fonction définie sur [ 0; π ] par f ( x ) = 2

1x - s i n x.

Déterminer l'expression de la fonction dérivée f ' de la fonction f et déterminer son signe (on pourra s'aider des résultats de la Partie n°1).

4. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

5. Démontrer que l'équation f ( x ) = 0 admet dans l'intervalle ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

2; une unique solution x0. Donner un encadrement de x0 d'amplitude 10^{- 2}.

(C)

(8)

NDLR : P o u r l e s é l è v e s l a r é s o l u t i o n d e l ’ é q u a t i o n 2

1 - c o s x = 0 e s t

b e a u c o u p p l u s d i f f i c i l e q u e l a r é s o l u t i o n d e l ’ é q u a t i o n c o s x = 2 1 .

L a r é s o l u t i o n d e l a q u e s t i o n 2 n o u s p a r a î t d i f f i c i l e m e n t e x i g i b l e , m ê m e s i l ’ i n t e r v a l l e e s t « b i e n c h o i s i » e t s i l ’ u t i l i s a t i o n d e c o u l e u r s s u r l e c e r c l e t r i g o n o m é t r i q u e f a c i l i t e l a r é s o l u t i o n.

En lien avec les Sciences Physiques...

Les exercices ci-dessous sont des exercices où l’on fait usage, entre autres, de la trigonométrie dans le cadre de l’enseignement de la physique. Le vocabulaire employé est celui de la physique.

Cet exercice est essentiellement basé sur des lecture graphique. La convention est de noter u la fonction qui à chaque instant t fait correspondre la tension et Um la tension maximale. Le terme amplitude désignant, comme en statistique la différence entre la tension maximale et la tension minimale. Parfois le terme de demie-période est utilisé.

En complément, à l’adresse www.enfa.fr/r2math/ rubrique Py-Math vous trouverez, sous forme électronique, un extrait des sujets de l’épreuve E7 de 1997 et 2000.

Exercice n°9 :

On branche un oscilloscope aux bornes d'un générateur basse fréquence. On visualise sur l'écran la courbe reproduite d'une fonction u qui à l'instant t associe la tension u ( t ) ( abscisse : t en secondes ; ordonnée u ( t ) en Volts.

L'équation de la tension délivrée par le générateur est de la forme :

u ( t )= Um sin (ωt) où Um et ω sont deux nombres strictement

positifs ( Um est appelée la tension maximale et ω la pulsation ) .

1 . Déterminer la période T à l'aide du graphe. Préciser l'unité de T.

On rappelle que

T

= 2π

ω , en déduire la valeur de ω. Préciser l'unité de ω.

2 . Déterminer la valeur de Um à l'aide du graphe. En déduire l'expression

de u(t).

-3 -2 -1 0 1 2 3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 t 8

u ( t )