ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Sommaire
Editorial………... page 1 Courrier des lecteurs……….. ... page 2 Enquête sur l’enseignement des mathématiques en bac pro……… ... page 3 Sur la formule de HERON……… ... page 5 Un grapheur mathématique pour faire vos courbes………. ... page 10 Introduction de la notion de limite……….. ... page 13 Introduction du nombre dérivé: un exemple de progression………... page 16 Les dérivées ? Pourquoi ?……….. ... page 21 Activités d’introduction aux équations du second degré………. ... page 23 Activités sur la construction d’arc de parabole……….. ... page 25 Fiche méthode équations………... page 27 Exemple d’activité autour des lectures graphiques pour donner du sens
aux fonctions en bac pro……….. ... page 28 Texte du sujet de remplacement 1997 (France métropolitaine) du bac
technologique suivi d’une correction………... page 31 Texte du sujet du bac pro France métropolitaine session 1998
suivi des indications de correction………... page 38 Texte du sujet du bac pro Antilles-Guyane session 1998……. ... Page 43
Enseignants ayant participé à ce bulletin PY-MATH N°2
AHARIZ Fouad LEGTA de COUTANCES
DEVILLE Gérald LEGTA de TONNEINS-FAZANIS
DERAY Marie-Claude LPA LAVAUR
FAGES Jean ENFA TOULOUSE
FREY Monique LPA de SAINT AFFRIQUE
GOASGUEN Cécile LEGTA de CHATEAULIN
KREISS Valéry LEGTA de RODIHAN
LEJEUNE Pascal LEGTA de CROGNY
NOGRABAT Annette LEGTA d’ALBI FONTLABOUR
PRADERE Magdy LEGTA de MELLE
ROLLAND Jeanne LEGTA de MORLAIX
TEXIER Jacques LEGTA de VENOURS
TRONCHE Geneviève LEGTA de BRIVE OBJAT
VAUDEZ Pierre LEGTA de SAINT POUANGE
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ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 13 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Introduction de la notion de limite en classe de première du Bac Technologique Comment donner du sens à la limite finie en zéro d’une fonction ?
Activités d’approche Aspect géométrique
ABCD est un carré de côté 10. On note P et Q respectivement les milieux des côtés [BC] et [CD].
M est un point du segment [AD] et N un point du segment [AB] tel que AM=AN.
On note x cette distance commune.
Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ
?
Tracer MNPQ pour x=6; x=4; x=1 puis x=0,5.
Que se passe-t-il lorsque x prend des valeurs de plus en plus proche de 0 ?
On note A(x) l’aire du quadrilatère MNPQ.
Que peut-on dire de A(x) quand x tend vers 0
?
On note : lim ( )
x
→0A x
(1) Aspect numérique
situation 1
Approchons-nous de 0
Considérons la fonction f définie par
f x x ( ) sin ( ) x
=
x est exprimé en radian.Remarque : pouvez-vous rappeler la définition du radian ? 1) Compléter si possible le tableau suivant :
x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,001 0,1 0,5
f(x)
2) f est-elle définie en 0 ?
Que se passe-t-il pour f(x) lorsque x tend vers 0 ?
Le résultat que nous venons de conjecturer, nous l’énoncerons ainsi : la limite de f (x) lorsque x tend vers 0 est Ou encore la limite de la fonction f en 0 est
Nous écrirons ce résultat ainsi :
C B
P N
M
Q D
A
ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 14 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
lim ( )
x
f x
→
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0
situation 2
Soit la fonction f définie par : f h h h : → 2+h2
Justifier que cette fonction n'est pas définie pour h = 0.
Déterminer la limite de f lorsque h tend vers 0 ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Aspect graphique
Ci- joint la représentation graphique de trois fonctions :
cas N°1 cas N°2 cas N°3
Dans chacun des trois cas suivants, que pouvez-vous dire de la limite de chacune de ces fonctions lorsque x tend vers 0 ?
cas N°1
Dans ce cas on dira que la fonction n’admet pas de limite en 0. On parle cependant de limite à droite et de limite à gauche.
la limite à gauche en 0 de la fonction est -3.
la limite à droite en 0 de la fonction est -5.
cas n°2
cas n°3
ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 15 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Synthèse et cours Exercices d’applications
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, à partir de la représentation graphique, donner la limite de la fonction en 0 lorsqu’elle existe (répondre en utilisant la notation introduite en cours).
Exercice 2
a) Donner la représentation graphique d’une fonction f telle que f(5) =3 et lim ( )
x
→ f x =
0
1. b) Donner la représentation graphique d’une fonction qui ne soit pas définie en 0 et dont
la limite en 0 est 3.
Exercice3 Calculer les limites suivantes : lim ( )
x
→ x+
0
1 lim ( )
x
→0 3x
lim ( )
t
→ t+
0
3 1 lim ( )
x
→0 x
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lim ( )
x
x
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ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 38 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Voici le texte suivi des indications de correction du sujet de mathématiques (épreuves no 4) session 1998 en France métropolitaine du
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
France métropolitaine
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL toutes options
PARTIE MATHEMATIQUES EXERCICE 1 (7 points)
On étudie le comportement de jeunes chevaux lors des premières séances de dressage en fonction de la race à laquelle ils appartiennent.
1) Compléter le tableau fourni en ANNEXE 1.
2) Pour la race Selle Français vous représenterez par un diagramme en bâtons les résultats obtenus.
3) a) Parmi les chevaux Selle Français, quel est le pourcentage de chevaux calmes ? b) Parmi les chevaux peureux, quel pourcentage appartient à la race Anglo-arabe ? c) Sur l'ensemble des chevaux testés, quel pourcentage est représenté par :
les chevaux agressifs ? les Selles Français calmes ?
EXERCICE 2 (6 points)
Un technicien a relevé les différents chiffres d'affaire d'agriculteurs en fonction de leur production annuelle :
x : production en tonnes 7 11 19 30
y : chiffre d'affaire en milliers de francs 2,33 10,33 39,24 105,70 1) Il est possible d'écrire y = f (x) où l'expression de f est l'une des trois suivantes :
a) f (x)=3x−2 b) f (x)=e0,2x c) f (x)=1
8x²−2ln x Prouver que les deux premières expressions ne sont pas satisfaisantes, vu les chiffres d'affaire déjà obtenus.
2) Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que le chiffre d'affaire a pour expression :
f (x)=1
8x²−2ln x Déterminer l'expression de la dérivée de f.
3) Montrer que, si x appartient à l'intervalle [3;30] alors f ’(x) est strictement positif.
4) Quel est le sens de variation de f sur [3;30] ? Interpréter le résultat.
ENFA - Bulletin n°2 du groupe PY-MATH - Septembre 1998 page 39 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
EXERCICE 3 (7 points)
On donne la fonction f définie sur l'intervalle [−2;4] par f (x)=−x²+2x+3. On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; →i ; →j ) d'unité graphique 1 cm.
1) Compléter le tableau de valeurs fourni en ANNEXE 2.
2) Etudier les variations de f sur l'intervalle [−2;4] puis construire la courbe (C).
3) Déterminer une primitive de la fonction f sur [−2;4].
4) a) Hachurer, sur le graphique, la portion du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2.
b) Calculer en cm² l'aire de ce domaine. On donnera le résultat à 10-2 près.
ANNEXE N°1
Comportement Race
Calme Peureux Agressif Total
Pur Sang Anglais 0 7 5 ...
Pur Sang Arabe 5 ... 1 7
Selle Français 10 5 1 ...
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Total 18 ... ... ...
ANNEXE N°2
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ENFA - Groupe PY-MATH page 43 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
Voici le texte du sujet de mathématiques (épreuves no 4) du BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
session 1998 Antilles-Guyane
Session 1998 Antilles-Guyane
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL toutes options
PARTIE MATHEMATIQUES EXERCICE 1 (9 points)
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [1;8] par f (x)=2x−4 ln (x)
1) Calculer f (1), f (2), f (e), f (4), f (6) et f (8) (arrondir les résultats à 0,1 près).
2) Déterminer, pour tout x appartenant à l'intervalle [1;8], le nombre dérivé f ’(x).
3) Compléter le tableau donné en ANNEXE 1.
4) Déduire des résultats précédents le tableau de variations de f.
5) Calculer f ’(4). Donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de f au point d'abscisse 4.
6) Tracer la courbe (C) et la tangente (T) dans un plan rapporté à un repère orthonormal (O; →i ; →j ) d'unité graphique 2 cm.
EXERCICE 2 (6 points)
La production laitière d'un troupeau se répartit comme suit : en abscisses vous avez la production en milliers de litres et en ordonnées le nombre de vaches.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
[5 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 8[ [8 ; 9[ [9 ; 10[ [10 ; 11[
1) Calculer la production moyenne de ce troupeau laitier, notée x. 2) Calculer la variance V et l'écart type σ de cette série statistique.
3) Les vaches qui ont une production inférieure à x−σ seront réformées.
Calculer le nombre de vaches concernées.
Calculer le pourcentage de vaches concernées.
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EXERCICE 3 (5 points)
Une agence de voyage propose à ses clients des séjours dans trois pays : Chili, Argentine et Mexique. Pour chaque séjour, les clients ont le choix entre quatre périodes. Les réservations sont portées dans le tableau de l'ANNEXE 2, mais certaines indications sont effacées.
1) Compléter le tableau fourni en ANNEXE 2.
2) Donner le pourcentage de clients qui vont au Mexique la deuxième quinzaine d'août.
3) Quel est le mois le plus fréquenté pour l'Argentine ?
4) Les nombres 5, 31 et 41 sont les réponses à trois questions différentes que vous formulerez.
ANNEXE 1
x 1 2 8
Signe de f ’(x)
ANNEXE 2
Période Pays
1re 1/7 au 15/7
2e 16/7 au 31/7
3e 1/8 au 15/8
4e
16/8 au 31/8 Total
Chili 5 ... 8 6 31
Argentine ... 9 4 2 22
Mexique 6 ... 11 10 47
Total 18 41 23 18 100
