Corrigé du D.M.1
II-Exercice de base:
1. Donner les tableaux de signe des expressions suivantes:
a.2 x2−3 x−5 ; b.−3 x24 x2 ; c.−2 x23 x−4 ; d.16 x2−8 3 x1
9 . a. =490d'où l'expression admet deux racines x1=3−7
4 =−1; x2=37 4 =5
2 Tableau de signes : signe de a=2 à l'extérieur des racines.
x −∞ -1 5
2 −∞
2x2−3x−5 + ― +
b. =400d'où l'expression admet deux racines x1=−4−
40−6 =2
103 ; x2=−4
40−6 =2−
103
Tableau de signes : signe de a=−3 à l'extérieur des racines.
x −∞ x2 x1 −∞
−3x24x2 ― + ―
c. =−230d'où l'expression n'admet aucune racine réelle.
Tableau de signes : signe de a=−2 sur ℝ.
x −∞ −∞
−2x23x−4 ―
d. =0d'où l'expression admet une racine double x0= 1 12 . Remarque : 16x2−8
3 x1
9=
4x−13
2 (identité remarquable!) Tableau de signes : signe de a=16 sur ℝ.x −∞ 1
12 −∞
16x2−8 3x1
9 + 0 +
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2. Résoudre les inéquations suivantes : a. 2x−3
−2x13x1
x−4 ; b. 2
x1− 3
x2 4 x23x2 . a. 2x−3
−2x13x1
x−4 . Tout d'abord le domaine d'existence est D=ℝ−
{
12;4}
.2x−3
−2x13x1
x−4 ⇔ 2x−3
−2x1−3x1
x−4 0⇔ 2x−3x−4−3x1−2x1
−2x1x−4 0
⇔ 8x2−12x11
−2x1x−40.
Le discriminant du numérateur est =−2080d'où le numérateur est positif sur ℝ et donc le quotient est du signe de −2x1x−4 dont les racines sont 1
2 et 4., d'où :
x −∞ 1
2 4 −∞
8x2−10x11
−2x1x−4
― + ―
D'où S=]1 2;4[ b. 2
x1− 3
x2 4
x23x2 . Tout d'abord le domaine d'existence est D=ℝ−{−2;−1}. En effet x23x2=x1x2
2
x1− 3
x2 4
x23x2 ⇔2x2−3x1−4
x23x2 0⇔ −x−3 x23x20
x −∞ -3 −2 −1 −∞
−x−3 + 0 ― ― ―
x23 x2 + + ― +
−x−3 x23x2
+ 0 ― + ―
D'où S=]−3;−2[∪]−1;∞[. Démontrer le théorème 3.
Théorème 3 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Soit a et b deux réels. Si pour tout h tel que a+h et a-h sont dans I on a:
1. . fahfa−h=2 balors A(a , b) est un centre de symétrie de C.
2. fah−fa−h=0alors la droite d'équation x=aest un axe de symétrie.
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Considérons les points M(ah; f ah) et M'(a−h; f a−h) sous réserve que f soit définie.
Soit I le milieu de MM'. I a pour coordonnées
a ; fah2 fa−h
.1. Notons b= f ahf a−h
2 . Si b est indépendant de h, alors ceci signifie que pour tout h, I est le milieu de M et de M' et donc ceci signifie que :
la courbe admet Ia ;b comme centre de symétrie.
2. Si, pour tout h on a : f ah=f a−h alors ceci signifie que les points M(ah; f ah) et M'(a−h; f a−h)ont des abscisses symétrique par rapport à a et que leurs ordonnées sont égales, d'où les points M et M' sont symétrique par rapport à la droite d'équation x=a et donc ceci signifie que :
la courbe admet la droite d'équation x=a comme axe de symétrie.
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