Application des théorèmes de Minlos et Poincaré à l’étude asymptotique d’une intégrale orbitale

(1)

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

MOHAMED BOUALI

Application des théorèmes de Minlos et Poincaré à l’étude asymptotique d’une intégrale orbitale

Tome XVI, n^o1 (2007), p. 49-70.

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Article mis en ligne dans le cadre du

(2)

pp. 49–70

Application des th´ eor` emes de Minlos et Poincar´ e

` a l’´ etude asymptotique d’une int´ egrale orbitale

^(∗)

Mohamed Bouali⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— O n va étudier le comportement asymptotique d’une intégrale de type intégrale de Itzykson-Zuber et on va donner une formule pour sa limite. On va obtenir ce résultat en utilisant un théorème de Poincaré et un théorème de Minlos.

ABSTRACT.— In this paper we discuss the asymptotic behavior of the Itzykson-Zuber integral and by the use of a Poincar´e theorem and a Minlos theorem we’ll give a formula for its limit.

1. Introduction

L’objet de cet article est l’´etude asymptotique de l’int´egrale de Itzykson- Zuber ;

In(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾) =

Kn

e⁻îtr(x⁽ⁿ⁾ûy⁽ⁿ⁾û^∗⁾α⁽ⁿ⁾(du),

oùx⁽ⁿ⁾,y⁽ⁿ⁾sont des matrices hermitiennesn×nà coefficients dansF=R, CouH,K_n=U(n,F) est le groupe des matrices unitaires à coefficients dans F, etα⁽ⁿ⁾est la mesure de Haar normalisée du groupe unitaireK_n.

On considère ici le cas où x⁽ⁿ⁾ est une matrice fixée x ∈ Herm(m,F) complétée en une matrice hermitienne infinie,

x⁽ⁿ⁾_ij =x_ij si ietj m, = 0 si iouj > m,

ety⁽ⁿ⁾est une matricen×n. En raison de l’invariance de la mesure de Haar α⁽ⁿ⁾, cette int´egrale ne d´epend que des valeurs propres de xet de y⁽ⁿ⁾. On

(∗) Re¸cu le 25 avril 2005, accept´e le 24 novembre 2005

(1) Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Pierre et Marie Curie, 175 rue de chevaleret, 75013 Paris.

bouali@math.jussieu.fr

(3)

peut donc supposer quexety⁽ⁿ⁾sont des matrices diagonales : x=diag(λ1, ..., λm), y⁽ⁿ⁾=diag(a⁽ⁿ⁾₁ , ..., a⁽ⁿ⁾_n ).

Le principal résultat de cet article est le théorème suivant.

Th´eor`eme 1.1. — On suppose que pour toutk,

(1) lim

n→∞

a⁽ⁿ⁾_k n =αk.

De plus on suppose que la suiteα={α_k} est sommable et que (2) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k n =

∞ k=1

α_k; (3) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k

n 2

= ∞ k=1

α²_k.

Alors,

nlim→∞I_n(x, y⁽ⁿ⁾) = m j=1

ϕ(λ_j), o`u,

ϕ(λ) = ∞ k=1

(1 +i2

dλα_k)⁻^d².

(d=dim_RF= 1,2ou4), la convergence est uniforme sur tout compact de V_m=Herm(m,F).

LorsqueF=C, ce théorème est établi par Olshanski et Vershik sous des hypothèses plus fortes. La méthode consiste à faire un développement en série de fonctions de Schur de l’intégraleIn(x, y⁽ⁿ⁾) (Voir [4]). Ils démontrent que si

(1) lim

n→∞

a⁽ⁿ⁾_k n =α_k, (2) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k n =β, (3) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k

n 2

= ∞ k=1

α²_k+γ, et si pour toutm3,

(4) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k n

m

= ∞ k=1

α^m_k ,

(4)

alors I_n(x, y⁽ⁿ⁾) convergent uniform´ement sur tout compact deV_m vers la fonction

ϕ(x) =e⁻^iβtr(x)e⁻^γ²^tr(x²⁾ ∞

k=1

e^iα^k^tr(x) det(1 +iαkx), o`uβ∈R,γ0 et

∞

k=1

α²_k<∞.

A l’aide de ce résultat, Olshanski et Vershik ont déterminé dans ([4]) toutes les mesures ergodiques définies sur l’espace des matrices hermitiennes infiniesH_∞ à coefficients dansC et qui sont invariantes (par conjugaison) par le groupe unitaire infiniU(∞) (i.e. la limite inductive des groupes uni- tairesU(n)).

Remarquons que si on suppose queβ= ^∞

k=1

α_k etγ=0, alors le résultat du théorème 1.1 généralise le résultat ci-dessus dans le cas où F=RouH. En considérant des développements en série des polynômes de Jack, il est possible de généraliser la méthode de Olshanski et Vershik dans le cas où F=R, ouHpour montrer un résultat analogue au résultat ci-dessus et par suite pour déterminer toutes les mesures ergodiques définies sur l’espace des matrices hermitiennes infinies V_∞ à coefficients dans F et qui sont invariantes par le groupe unitaire infini K_∞ (i.e. la limite inductive des groupes unitaires K_n à coefficients dans F). Cette généralisation est l’objet d’un article actuellement en préparation. Dans notre cas (théorème 1.1), nous utilisons une méthode différente qui s’appuie sur un théorème de Poincaré et un théorème de Minlos, c’est la motivation essentielle de ce travail.

L’intégraleIn peut s’écrire comme une intégrale sur la variété de Stiefel Sm,n :

S_m,n=

v∈M(m, n;F)|vv^∗=I_m . En eﬀet,

I_n(x, y⁽ⁿ⁾) =

Sm,n

e⁻^itr(xvy⁽ⁿ⁾^v^∗⁾σ⁽ⁿ⁾_m (dv),

o`u σm⁽ⁿ⁾ est la mesure de probabilit´e uniforme sur S_m,n invariante par K_m×K_n.

Notonsσm⁽ⁿ⁾la mesure normalisée sur la variété Sm,n=√

nSm,n=

v∈M(m, n;F)|vv^∗=nIm ,

(5)

invariante parKm×Kn, autrement dit l’image deσ⁽ⁿ⁾m par l’application qui

`

a une matricev∈M(m, n;F) associe la matrice√

n v. Nous montrerons que, pourm fixé, la mesureσ⁽ⁿ⁾m considérée comme une mesure surM(m,∞;F) converge faiblement vers une mesure gaussienneγmsurM(m,∞,F) quand ntend vers l’infini.

Nous montrerons ensuite, à l’aide du théorème de Minlos, que

n→∞lim In(x, y⁽ⁿ⁾) =

M(m,∞;F⁾exp(−i m j=1

∞ k=1

αkλj|vjk|²)γm(dv).

(Nous verrons que la série qui figure en exposant est définie presque partout, relativement àγm). Le calcul de l’intégrale précédente conduit au résultat annoncé.

2. Théorème de Poincaré généralisé

La mesure uniformeσ_nsur la sphèreS_nde centre 0 et de rayon√ ndans Rⁿ, considérée comme une mesure sur R^∞, converge faiblement, quandn tend vers l’infini vers une mesure gaussienne. C’est un résultat classique attribué à Poincaré (voir à ce sujet l’article de Diaconis et Freedman [3].) Nous allons établir une généralisation de ce résultat.

SoitSm,n la variété de Stiefel définie par simn, Sm,n=

v∈M(m, n;F)|vv^∗=Im ,

oùF=R,CouH. On noteKn=U(n,F), c’est-à-direKn=O(n) siF=R, Kn =U(n) si F=C etKn Sp(n) si F=H. Le groupe Km×Kn opère transitivement surSm,n. Soitσ⁽ⁿ⁾m la mesure uniforme normalisée surSm,n

qui est invariante parKm×Kn. Sa transformée de Fourier s’exprime à l’aide de la fonction de Bessel multivariée, associée à l’algèbre de Jordan euclidi- enneVm=Herm(m,F) des matrices hermitiennesm×mà coefficients dans F.

Rappelons quelques notations et définitions. Pourx∈Vm, on note ∆j(x) lej-ième déterminant mineur principal de la matricex. Sij=m, ∆m(x) =

∆(x) est le d´eterminant dex, et

∆p(x) = ∆1(x)^p¹^−p²∆2(x)^p²^−p³...∆m(x)^p^m,

où p = (p1, ..., pm) ∈ N^m, p1 ... pm 0. La fonction ∆p est un polynôme de degré|p|=p1+...+pm.

(6)

Le polynôme sphérique Φ_p est défini par Φp(x) =

Km

∆p(uxu^∗)α^(m)(du), oùα^(m)désigne la mesure de Haar normalisée deK_m.

Soit Ωm le cône des matrices x ∈ Vm qui sont définies positives. La fonction gamma du cône Ωmest définie par

Γ_m(p) =

Ωm

e⁻^tr(x)∆_p(x)∆(x)⁻^δ(m)^m dx, o`uδ(m) =dim_RV_m=m+^d₂m(m−1), d=dim_RF= 1, 2 ou 4.

Pour x ∈ Ω_m, ∆_j(x) > 0 et la fonction ∆p est définie pour p= (p1, ..., pm)∈C^m. La fonction Γm est définie pour(pj)> ^d₂(j−1) ; (j= 1, ..., m) et elle vaut

Γ_m(p) = (2π)^δ(m)−m² m j=1

Γ(p_j−d

2(j−1)), o`u Γ (=Γ1) est la fonction gamma usuelle.

La fonction de BesselJν^(m)est définie par la série sphérique J_ν^(m)(x) =

p

(−1)^|p| dp

(^δ(m)_m )_p 1 (ν)p

Φp(x),

où la sommation est étendue aux p = (p1, ..., pm) ∈ N^m vérifiants p1...pm, (ν)pest le symbole de Pochhammer généralisé

(ν)_p=Γm(p+ν) Γ_m(ν) ,

(ν ∈ C, α+ν = (α₁+ν, ..., α_m+ν)) et d_p est la dimension de l’espace des polynômes engendré par le polynômeπ(g)∆_pquandgd’écritGL(m,F) avecπla représentation deGL(m,F) dans l’espace des fonctions polynômes surV_mdéfinies par (π(g)p)(x) =p(gxg⁻¹).

Pourm=1, J_ν⁽¹⁾(x) = Γ(ν 2)(2

x)^ν²⁻¹J^ν₂₋1(x), ν∈N,

o`u Jν est la fonction de Bessel ordinaire. (Voir [2], section 2 du chapitre XV).

(7)

Sur l’espaceM(m, n;F) on considère le produit scalaire euclidien défini par

ξ, η=tr(ξη^∗).

La transformée de Fourier d’une mesure bornéeµsurM(m, n;F) est définie par

µ(η) =

M(m,n;F⁾e⁻ⁱ^ξ,ηµ(dξ), η∈M(m, n;F).

Proposition 2.1. — La transform´ee de Fourier de la mesure σ⁽ⁿ⁾m est donn´ee par

σ⁽ⁿ⁾m (η) =

Sm,n

e⁻ⁱ^ξ,ησ⁽ⁿ⁾_m (dξ) =Jnd^(m) 2

(ηη^∗ 4 ).

C’est un cas particulier de la proposition XVI.2-3 de [2].

Soitσ⁽ⁿ⁾m la mesure normalisée sur la variété S_m,n=

v∈M(m, n;F)|vv^∗=nI_m ,

invariante par le groupe compact K_m×K_n. Autrement dit, pour toute fonctionf continue surS_m,n,

Sm,n

f(v)σ_m⁽ⁿ⁾(dv) =

Sm,n

f(√

n v)σ_m⁽ⁿ⁾(dv).

Théorème 2.2. — Pour m fixé, la mesure σm⁽ⁿ⁾ considérée comme une mesure sur M(m,∞;F)converge faiblement quandntend vers l’infini vers la mesure gaussienne γm sur M(m,∞;F) dont la transformée de Fourier est égale à

ψ(ξ) =e⁻^ρ

2

2d, ρ²=tr(ξξ^∗) = m j=1

∞ k=1

|ξjk|²,

o`uξ∈M(m,(∞);F).

L’espaceM(m,∞;F) (F^m)^∞ est muni de la topologie produit et son dual

M(m,(∞);F) = ^∞

n=1

M(m, n;F),

est muni de la topologie de la limite inductive, la dualité étant définie par la forme bilinéaire

ξ, η=tr(ξη^∗).

La fonctionψest d´eﬁnie et continue surM(m,(∞);F).

(8)

Démonstration. — Nous allons appliquer le th´eorème de Lévy-Crámer, c’est-à-dire nous allons montrer que la transformée de Fourier ψ_n de la mesure σm⁽ⁿ⁾ converge vers ψ. Pour cela nous utiliserons le d´eveloppement en série sphérique suivant : pourx∈V_m

e^tr(x)=

p

d_p (^δ(m)_m )p

Φ_p(x),

(p = (p₁, ..., p_m) ∈ N^m, p₁ ... p_m). La convergence est uniforme sur tout compact deVm(voir [2] proposition XII.1.3) donc,

ψ(ξ) =

p

dp

(^δ(m)_m )_pΦp(− 1 2dξξ^∗).

On peut toujours supposer que n2(m−1), puisqu’on va faire tendre n vers l’inﬁni.

Soitψ_n la transform´ee de Fourier deσ_m,n. Pourξ∈M(m,(∞);F), ψn(ξ) =

Sm,n

e^−iξ,xσ_m⁽ⁿ⁾(dx).

D’apr`es la proposition 2.1, ψn(x) =

p

(−1)^|p| dp

(^δ(m)_m )_p 1

(^nd₂ )_pΦp(n 4ξξ^∗)

=

p

dp

(^δ(m)_m )_p (^nd₂)^|p|

(^nd₂ )_pΦp(−1 2dξξ^∗).

De la définition du symbole de Pochhammer généralisé, pournassez grand, on a

(nd 2 )p =

m j=1

nd 2 −d

2(j−1)nd

2 + 1−d

2(j−1) ...(nd

2 +p_j−1−d

2(j−1)

∼ m j=1

(nd

2 )^p^j = (nd 2 )^|p|, donc

nlim→∞

(^nd₂ )^|p|

(^nd₂)p

= 1.

(9)

D’autre part, pourn2(m−1) on a (nd

2 )p = m j=1

Γ

pj+^nd₂ −^d₂(j−1) Γ_nd

2 −^d₂(j−1)

= m j=1

nd 2 −d

2(j−1)nd

2 + 1−d

2(j−1) ...(nd

2 +pj−1−d

2(j−1)

m j=1

nd 2 −d

2(j−1)pj

= (nd 2 )^|^p^|

m j=1

1−j−1 n

pj

(nd

2 )^|^p^|

1−m−1 n

_|p|(nd

2 )^|^p^|2^−|^p^|, donc

(^nd₂ )^|^p^| (^nd₂ )p

2^|^p^|. (2.1)

En utilisant (2.1) et la convergence uniforme du développement de l’exponen- tielle en série sphérique, on peut intervertir somme et limite dans l’expression deψ_n. Alors

n→∞lim ψn(ξ) =

p

dp

(^δ(m)_m )_pΦp(− 1

2dξξ^∗) =e⁻^2d¹^tr(ξξ^∗⁾=ψ(ξ).

La fonctionψqui est définie surM(m,(∞);F) est de type positif et continue pour la topologie de la limite inductive. D’après le théorème de Bochner (voir [5] proposition 2 p.187) la fonction ψ est la transformée de Fourier d’une mesure de probabilitéγ_msur l’espaceM(m,∞;F).

M(m,∞;F⁾e^−iξ,xγm(dx) =ψ(ξ).

Le résultat annoncé se déduit du théorème de Lévy-Crámer qui s’énnonce dans la situation présente :

Soitµ⁽ⁿ⁾une suite de mesures de probabilit´es surM(m,∞;F). On suppose que les transform´ees de Fourier

ϕn(ξ) =

M(m,∞;F⁾e⁻ⁱ^ξ,xµ⁽ⁿ⁾(dx)

convergent pour tout ξ ∈ M(m,(∞);F) vers une fonction ϕ(ξ), et que ϕ est continue (pour la topologie de la limite inductive). Alors la suite des mesuresµ⁽ⁿ⁾converge faiblement vers une mesure de probabilit´eµdont la transform´ee de Fourier estϕ.

La mesureγmest une mesure gaussienne sur l’espaceM(m,∞;F).

(10)

3. Th´eor`eme de Minlos

R^∞désigne l’espace des suites réelles infinies. On munitR^∞de la topologie produit. On note /²(N) le sous-espace deR^∞ des suites réelles de carré sommable. Pour une suitec={c_k}de nombres strictement positifs qui est sommable on note

/²_c(N) =

x∈R^∞/ ∞ k=1

ckx²_k<∞ .

L’espace/²_c(N) est un sous ensemble mesurable deR^∞. En effet, soitf_n la fonction définie surR^∞ par

f_n(x) = n k=1

c_kx²_k.

Les fonctions fn sont continues, donc f(x) =sup

n

fn(x) est une fonction mesurable et par suite l’ensemble

/²_c(N) ={x∈R^∞; f(x)<∞}

est mesurable.

Nous utiliserons dans la suite la forme suivante du th´eor`eme de Minlos.

Soitµune mesure de probabilit´e surR^∞. Sa transform´ee de Fourierϕ ϕ(ξ) =

R^∞e⁻ⁱ^x,ξµ(dx) est d´eﬁnie et continue sur

R⁽^∞⁾= ∞ n=1

Rⁿ,

qui est muni de la topologie de la limite inductive.

Th´eor`eme 3.1. — On suppose que ϕ est continue sur /²(N) pour la topologie induite par celle de /²(N). Alors, pour toute suite c = {c_k} de nombres strictement positifs qui est sommable on a

µ(/²_c(N)) =1.

(11)

Notons que cette hypothèse est vérifiée si µ est la mesure gaussienne dont la transformée de Fourier est égale à

ϕ(ξ) =exp(−1 2

∞ k=1

ξ_k²).

Il existe des énoncés plus généraux du théorème de Minlos (voir [6] par exemple).

D´emonstration. — Posons

Iδ,n=

R^∞e

−^δ2

n k=1

ckx²_k

µ(dx) =

Re

−^δ2

n k=1

ckx²_k

µn(dx), o`uµn est la projection de la mesureµsurRⁿ.

a) Montrons d’abord que

δ→0lim( lim

n→∞Iδ,n) =µ(/²_c(N)).

Pourδ >0

n→∞lim e

−^δ2

n k=1

ckx²_k

=



 e

−^δ2

∞ k=1

ckx²_k

six∈/²_c(N), 0 sinon.

Donc, d’après le théorème de convergence dominée

nlim→∞

R^∞e

−^δ2

n k=1

ckx²_k

µ(dx) =

²_c(N⁾e

−^δ2

∞ k=1

ckx²_k

µ(dx).

De plus, pourx∈/²_c(N),

δlim→0e

−^δ2

∞ k=1

ckx²_k

= 1, donc, d’après le théorème de convergence monotone,

δlim→0( lim

n→∞I_δ,n) =µ(/²_c(N)).

b) En exprimantI_δ,n `a l’aide de la fonctionϕnous allons montrer que

δ→0lim( lim

n→∞Iδ,n)1.

(12)

En utilisant la formule (a >0, x∈R)

Re⁻^2a¹^y²e^−ixydy=(2πa)¹²e⁻^a²^x², nous obtenons

Iδ,n= n k=1

(2πδck)⁻¹²

Re

−2δ¹

n k=1

ξ2 k

ckϕ(ξ)dξ1...dξn.

Puisque ϕest continue en 0 pour la topologie de/²(N) et ϕ(0) =1, alors

∀ ε >0,∃ρ >0,tel que siξ∈/²(N) et||ξ||< ρ⇒ |ϕ(ξ)−1|< εetϕ(ξ) 1−ε.

D’autre part pour toutξ∈/²(N)

|ϕ(ξ)|1 etϕ(ξ)−1.

Par suite, pour toutξ,

ϕ(ξ)1−ε−2||ξ||² ρ² . En utilisant la formule (s >0)

Re⁻^2s¹^ξ²ξ²dξ=s(2πs)¹², nous obtenons

I_δ,n>1−ε−2δ ρ²

n k=1

c_k.

Par suite

nlim→∞Iδ,n>1−ε−2δ ρ²

∞ k=1

ck,

et

δlim→0( lim

n→∞I_δ,n)1−ε.

Donc,

µ(/²_c(N))1−ε.

Ceci ´etant vrai pour toutε >0 on en d´eduit que µ(/²_c(N)) =1.

(13)

Une première application que nous obtenons du théorème de Minlos est l’évaluation de l’intégrale suivante.

ϕ(λ) =

E^∞exp(−iλ ∞ k=1

α_k|x_k|²)γ(dx),

oùE est un espace euclidien de dimensiondet γ est la mesure gaussienne surE^∞ dont la transformée de Fourier est égale à

ψ(ξ) =e⁻^2d¹^||^ξ^||² et {α_k}est une suite sommable de nombres r´eels.

Proposition 3.2. — Pour toutλ∈R, ϕ(λ) =

∞ k=1

(1 + 2

diλαk)⁻^d².

Démonstration. — D’après le théorème de Minlos la série ∞

k=1

α_k|x_k|²

converge γ-presque partout sur E^∞ et d’après le théorème de convergence dominée on a

E^∞exp(−iλ^∞

k=1

αk|xk|²)γ(dx) =lim

N→∞

E^∞exp(−iλ N k=1

αk|xk|²)γ(dx).

De plus,

E^∞exp(−iλ N k=1

αk|xk|²)γ(dx)

=

E^Nexp(−iλ N k=1

αk|xk|²)γN(dx)

= N k=1

( d 2π)^d²

Ee⁻^iλα^k^|^x^k^|²e⁻^d²^|^x^k^|²dx_k

= N k=1

(1 +i2

dλα_k)⁻^d².

(14)

4. Comportement asymptotique de l’intégrale de Itzykson-Zuber Dans ce paragraphe nous allons étudier la limite d’une intégrale de la

forme

X

f_n(x)µ⁽ⁿ⁾(dx),

oùµ⁽ⁿ⁾est une suite de mesures de probabilité surXqui converge faiblement vers une mesureµ. Si la suite des fonctionsf_n converge uniformément vers une fonctionf alors

nlim→∞

X

fn(x)µ⁽ⁿ⁾(dx) =

X

f(x)µ(dx).

Mais nous ne connaissons pas de théorème général qui assure la convergence de la suite des intégrales sous des hypothèses plus faibles au sujet de la convergence de la suite des fonctions f_n.

Nous allons ´etudier les int´egrales

Sm,n

e^−itr(xva⁽ⁿ⁾^v^∗⁾σ_m⁽ⁿ⁾(dv),

oùS_m,nest la variété de Stiefel définie dans la section 2 etσ⁽ⁿ⁾m est la mesure uniforme normalisée surS_m,n.

Poura⁽ⁿ⁾=diag(a⁽ⁿ⁾₁ , ..., a⁽ⁿ⁾n ),x∈V_m, on pose ϕn(x) =

Sm,n

e⁻^itr(xva⁽ⁿ⁾^v^∗⁾σ⁽ⁿ⁾_m (dv).

Nous commen¸cons par traiter le cas o`um=1. Alors, six=λ∈R, ϕ_n(λ) =

Sn

exp(−iλ n k=1

a⁽ⁿ⁾_k |v_k|²)σ⁽ⁿ⁾(dv),

oùS_n est la sphère unité de Fⁿ etσ⁽ⁿ⁾ la mesure uniforme normalisée sur S_n.

Th´eor`eme 4.1. — On suppose que pour toutk,

(1) lim

n→∞

a⁽ⁿ⁾_k n =αk.

(15)

De plus, on suppose que la suiteα={α_k} est sommable et que (2) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k n =

∞ k=1

α_k,

(3) lim

n→∞

n k=1

a⁽ⁿ⁾_k

n 2

= ∞ k=1

α²_k.

Alorsϕn converge uniformément sur tout compact de Rvers la fonctionϕ définie surRpar

ϕ(λ) = ∞ k=1

(1 + 2

diλαk)⁻^d².

Lemme 4.2. — Soit x⁽ⁿ⁾ = {x⁽ⁿ⁾_k } une suite d’´el´ements de /²(N) telle que

∀k, lim

n→∞x⁽ⁿ⁾_k =xk et

nlim→∞||x⁽ⁿ⁾||2=||x||2. Alors,

klim→∞||x⁽ⁿ⁾−x||2= 0.

D´emonstration. — On ´ecrit

||x⁽ⁿ⁾−x||²2=||x⁽ⁿ⁾||²2+||x||²2−2x⁽ⁿ⁾, x. Pour montrer le lemme, il suﬃt de montrer que

nlim→∞x⁽ⁿ⁾, x=||x||²2. PourN < non a,

x⁽ⁿ⁾, x= N k=1

x⁽ⁿ⁾_k x_k+ ∞ k=N+1

x⁽ⁿ⁾_k x_k,

et par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz on a,

∞ k=N+1

x⁽ⁿ⁾_k x_k

||x⁽ⁿ⁾||2

_∞

k=N+1

|x_k|² ¹₂

.

(16)

En utilisant la deuxi`eme hypoth`ese du lemme on obtient

Nlim→∞ lim

n→∞

∞ k=N+1

x⁽ⁿ⁾_k xk= 0.

D’autre part d’après la première hypothèse du lemme on a

Nlim→∞ lim

n→∞

N k=1

x⁽ⁿ⁾_k x_k=||x||²2. Par suite,

nlim→∞x⁽ⁿ⁾, x=||x||²₂, d’o`u le r´esultat.

Lemme 4.3. — Pour toutk, j1

Sn

|v_k|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv) =







 d

n(nd+ 2) si k=j, d+ 2

n(nd+ 2) si k=j.

D´emonstration. — D’apr`es la proposition 2.1, pourm=1 et pour tout x∈Fⁿ on a,

Sn

e^−iv,xσ⁽ⁿ⁾(dv) =Jnd⁽¹⁾ 2

(||x||²

4 ) =

k0

(−1)^kd_[k]

(1)k

1

(^nd₂)_kΦ[k](||x||²

4 ,0, ...,0), o`u [k] = (k,0, ...,0) et||x||²=

n k=1

|x_k|².

En utilisant le développement en série sphérique suivant, pourx∈Vm, e^tr(x)=

p

dp

(^δ(m)_m )p

Φ_p(x), on en d´eduit que

d_[k]Φ_[k](x,0, ...,0) =x^k. Donc, pour toutx∈Fⁿ on a,

Sn

e⁻ⁱ^v,xσ⁽ⁿ⁾(dv) =

k0

(−1)^k 1 k!

1 4^k(^nd₂)k

||x||^2k. (4.1)

(17)

Soitv_k = (v_k¹, ..., v^d_k)∈Falors

Sn

|v_k|⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) =

Sn

((v¹_k)²+...+ (v^d_k)²)²σ⁽ⁿ⁾(dv)

= d j=1

Sn

(v_k^j)⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) +

1j=d

Sn

(v^j_k)²(v_k)²σ⁽ⁿ⁾(dv)

= d

Sn

(v_k¹)⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) +d(d−1)

Sn

(v^j_k)²(v_k)²σ⁽ⁿ⁾(dv) En prenantx=(0,0, ..., xk, ...,0)∈R^dn dans (4.1) et par identiﬁcation des coeﬃcients on obtient

Sn

(v¹_k)⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) = 3 4(^nd₂ )₂

et par suite

Sn

(v¹_k)⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) = 3 nd(nd+ 2).

De mˆeme six=(0, ...,0, x_j, ..., x,0, ...,0)∈R^dn, avecj=/, par identiﬁca-

tion on a

Sn

(v_k^j)²(v_k)²σ⁽ⁿ⁾(dv) = 1 nd(nd+ 2). Par suite

Sn

|vk|⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) = 3d

nd(nd+ 2)+ d(d−1)

nd(nd+ 2) = d+ 2 n(nd+ 2). D’autre part,

1 =

Sn

_n

k=1

|v_k|² 2

σ⁽ⁿ⁾(dv)

= n k=1

Sn

|v_k|⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) +

1j=kn

Sn

|v_k|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv),

et par invariance de la mesureσ⁽ⁿ⁾, on obtient n

Sn

|v_k|⁴σ⁽ⁿ⁾(dv) +n(n−1)

Sn

|v_k|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv) = 1.

Donc,

n(n−1)

Sn

|v_k|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv) = 1− d+ 2 nd+ 2.

(18)

Autrement dit, pour toutj=k

Sn

|vk|²|vj|²σ⁽ⁿ⁾(dv) = d

n(nd+ 2).

Démonstration du théorème. — Nous avons vu que la fonctionϕadmet la représentation intégrale

ϕ(λ) =

F^∞e

−iλ

∞ j=1

αj|xj|²

γ(dx).

Nous introduisons les int´egrales suivantes :

Am,n(λ) =

Sn

e

−iλn

m j=1

αj|xj|²

σ⁽ⁿ⁾(dx) pour mnet

B_m(λ) =

F^∞e

−iλ

m j=1

αj|xj|²

γ(dx), et on décompose la différenceϕn(λ)−ϕ(λ) en

ϕ_n(λ)−ϕ(λ) = ϕ_n(λ)−A_n,n(λ) +A_n,n(λ)−A_m,n(λ) + Am,n(λ)−Bm(λ) +Bm(λ)−ϕ(λ).

(i) Majoration de ϕ_n(λ)−A_n,n(λ).

En utilisant l’inégalité|eîx−1||x|pour toutx∈R, dans l’expression suivante.

|ϕn(λ)−An,n(λ)|

Sn

exp



−inλ n j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −αj)|vj|²



−1

σ⁽ⁿ⁾(dv).

On en d´eduit que

|ϕ_n(λ)−A_n,n(λ)|n|λ|

Sn

n j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −α_j)|v_j|²

σ⁽ⁿ⁾(dv).

Par suite, en appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz

|ϕn(λ)−An,n(λ)|n|λ|





Sn



ⁿ

j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −αj)|vj|²





2

σ⁽ⁿ⁾(dv)





1 2

.

(19)

D’autre part,

Sn



ⁿ

j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −α_j)|v_j|²





2

σ⁽ⁿ⁾(dv)

= n j=1

n

=1

(a⁽ⁿ⁾

n −α)(a⁽ⁿ⁾_j n −α_j)

Sn

|v|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv),

et d’apr`es le lemme 4.3

Sn

|v|²|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv) =







 d

n(nd+ 2) si j =/, d+ 2

n(nd+ 2) si j =/.

Par suite,

Sn



ⁿ

j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −α_j)|v_j|²





2

σ⁽ⁿ⁾(dv) = d n(nd+ 2)I_n, o`u

I_n=



ⁿ

j=1

a⁽ⁿ⁾_j n −

n j=1

α_j





2

+2 d

n j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −α_j)². Donc

|ϕn(λ)−An,n(λ)||λ|

√nd

√nd+ 2

In. (4.2)

Puisque les suites (a⁽ⁿ⁾_j

n )1jnet (αj)1jnvérifient les hypothèses du lemme 4.2 on a,

nlim→∞

n j=1

(a⁽ⁿ⁾_j

n −α_j)²= 0.

En utilisant la première hypothèse du théorème on obtient que

nlim→∞I_n= 0.

Donc,

n→∞lim |ϕ_n(λ)−A_n,n(λ)|= 0, et la convergence est uniforme sur tout compact deR.

(20)

(ii) Majoration de A_n,n(λ)−A_m,n(λ).

En utilisant les relations

Sn

|v_j|²σ⁽ⁿ⁾(dv) = 1

n et que |e^ix−1| |x|

∀x∈R, on obtient

|An,n(λ)−Am,n(λ)|n|λ|

n j=m+1

|αj|

Sn

|vj|²σ⁽ⁿ⁾(dx)|λ| ^∞

j=m+1

|αj|.

(iii) Convergence deA_m,n(λ) vers B_m(λ)quand n→ ∞. La fonction

g_m(x) =e

−iλ

m j=1

αj|xj|²

est continue bornée surF^∞. D’après le théorème de Poincaré (théorème 2.2)

nlim→∞

Sn

g_m(√

n x)σ⁽ⁿ⁾(dx) =

F^∞g_m(x)γ(dx).

Autrement dit,

n→∞lim Am,n(λ) =Bm(λ).

(iv) Convergence de B_m(λ)vers ϕ(λ)quand m→ ∞. Six∈/²_c(N) avecc={|αj|+_j¹2}j, alors

m→∞lim m j=1

αj|xj|²= ∞ j=1

αj|xj|² et

mlim→∞g_m(x) =g_∞(x) γ−presque par tout.

Ainsi, d’après le théorème de Minlos et le théorème de convergence dominée on a

mlim→∞Bm(λ) =ϕ(λ).

et la convergence a lieu uniform´ement sur tout compact deR.

(v) Conclusion.Soitε >0.

(1) D’après l’inégalité (4.2) on peut trouverN₀ tel que sinN₀,

|ϕn(λ)−An,n(λ)||λ|ε.