l'épreuve 1 pb 2

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, avril 2017 1

CAPES Maths 2017, épreuve 1, problème 2 : Une équation fonctionnelle

Le problème 2 recherche les applications de R*⁺ vers R*⁺ bornées sur

[

^{1, +∞}

[

qui vérifient (a) : ^{∀x>0,∀y>0: f}

(

^{x f}

( )

^y

)

^{=y f}

( )

^x

La condition « bornée sur

[

^1,+∞

[

» restreint le champ des applications candidates comme on le constate dans la question III.

Par exemple l’application identique vérifie (a) mais elle n’est pas bornée sur

[

^{1, +∞}

[

. Il est fort possible qu’il y en aie d’autres beaucoup plus exotiques ( ?). Je n’ai pas creusé la question.

Apparemment, le sujet est rédigé à l’intention de candidats qui pensent que l’involution est l’inverse de l’évolution. Dans ce cas, l’enseignement des mathématiques en France serait en effet involutif.

II. 1 et 2. Soient y1 et y2 deux réels strictement positifs ayant la même image par f.

En appliquant (a) avec x=1; y=y₁ : f

(

f

( )

y1

)

=y1 f

( )

¹ . En appliquant (a) avec x=1; y=y₂ : f

(

f

( )

y2

)

=y2 f

( )

¹ .

( ) ( )

y1 f y2 f

(

f

( )

y1

)

f

(

f

( )

y2

)

f = ⇒ = et donc f

( ) ( )

y1 = f y2 ⇒y1 f

( )

¹ = y2 f

( )

¹

Puisque ^f

( )

^{1∈R*+, f}

( )

^{1 ≠0 et} y1 f

( )

1 = y2 f

( )

1 ⇒y1 =y2

Ainsi, ∀y1∈R*⁺,∀y1∈R*⁺ : f

( ) ( )

y1 = f y2 ⇒y1 =y2. f est une

gjapplication injective.

II. 3. En appliquant (a) avec x=y=1 ^{: f}

( ) ( )

^f

( )

^{1 = f 1} . Les réels 1 et ^f

( )

¹ ont des images égales. f étant injective, ces réels sont

gjégaux : ^f

( )

^{1 =1}

II. 4. En appliquant (a) avec x=1 , ^{∀y∈R*+,: f}

(

^f

( )

^y

)

^{=y f}

( )

^{1 =y} . Ainsi : f o f =I_d , f est une involution

gjde R*⁺.

II. 5. En appliquant (a) avec ^{x=a ; y= f}

( )

^{b : ∀a>0,∀b>0: f}

(

^{a f}

(

^f

( )

^b

) ) ( ) ( )

^{= f b f a .}

L’application f étant involutive, ^{∀b>0 : f}

(

^f

( )

^b

)

^=b. On obtient : ^{∀a>0,∀b>0: f}

( ) ( ) ( )

^{ab = f a f b .}

L’application f est compatible avec la multiplication des réels strictement positifs.

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III. 1. En appliquant (a) avec y=x : ^{∀x>0,: f}

(

^{x f}

( )

^x

)

^{=x f}

( )

^{x ce qui}_gjexprime que ^{∀x>0:x f}

( )

^{x ∈F}

III.3. En vertu de II. 5, ^{∀x∈F,∀y∈F : f}

( ) ( ) ( )

^{xy = f x f y =xy.Ainsi}

( )

^{x, y ∈F×F⇒xy∈F}

D’autre part : ^:

( )

^{1 1}

( )

^1=1



 



= 



 



= 

∈

∀ ⁺

f x x x f

x f f

x R* et par conséquent :

( )

^x

f f x

x 1 1

: =



 



∈ 

∀ R*⁺ .

En particulier, dans le cas où x∈F :

x f 1x=1



 



 . Ainsi : F

F x

x∈ ⇒ 1∈ .

En conséquence :

( )

x y f y

x y f

x f F

y F

x gjulia

1 1 : 1

, 2017 =







= 







∈ 

∀

∈

∀ . Ainsi

( )

^F

y F x F y

x, ∈ × ⇒ ∈

III. 4, 5 et 6. Dès lors que F est stable pour le produit et le quotient et qu’il est non vide puisqu’il contient 1, F est un sous-groupe du groupe multiplicatif (R*⁺, ×).

De ce fait, si F contient un élément x distinct de 1, il contient toutes ses puissances entières relatives.

• Si x>1,pour tout entier n strictement positif ^f

( )

^{xn =xn}, ce qui contredit le caractère borné de f

puisque =+∞

+∞

→ n nlim x

• Si 0<x<1,pour tout entier n strictement positif

( )

n n n

x f x

x

f 1 1

=



 



= 

− , ce qui contredit le caractère borné de f puisque =+∞

+∞

→ n

n x

lim 1 En conclusion, f ne peut

gjavoir d’autre point fixe que 1 : F=

{}

¹

IV. En vertu de III. 1 : ^{∀x>0 : x f}

( )

^{x ∈F}. En vertu de III. 6 ^{∀x>0 : x f}

( )

^{x =1.}

En conséquence :

( )

x x f

x 1

:

0 =

>

∀ .

L’application inverse est l’unique application vérifiant les conditions imposées dans cet énoncé.