TP2 Optique de Fourier : Filtrage

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TP2 Optique de Fourier : Filtrage

Version télétravail (Avril 2020) 1 Rappels sur l’optique de Fourier

1.1

Le phénomène observé dans le plan de Fourier, c’est-à-dire le plan où la source ponctuelle est focalisée, est celui de la diffraction à l’infini (ou diffraction de Fraunhofer). Le résultat fondamental de l’Optique de Fourier est : l’amplitude complexe dans le plan de convergence de l’onde sphérique (c'est-à-dire le plan de Fourier) est obtenue par une simple transformation de Fourier 2D de la transmission de l’objet diffractant, 𝒕_{𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕}(𝒙, 𝒚) (en pratique ici, ce plan de convergence est simplement le plan de l’image du trou source). Soit :

𝐴&'(𝑥⁽, 𝑦⁽) ∝ + 𝑡_)*+,-(𝑥, 𝑦)𝑒^{./012345!567!78}𝑑𝑥 𝑑𝑦

ℝ^"

= 𝑡̃)*+,-2𝑢5 =𝜃₅ 𝜆 = 𝑥′

𝜆𝐷, 𝑢7=𝜃7

𝜆 = 𝑦′

𝜆𝐷8

La répartition d’éclairement que l’on mesure dans le plan image est proportionnelle au module carré de cette amplitude complexe :

𝐼_&'(𝑥⁽, 𝑦⁽) = |𝐴_&'(𝑥⁽, 𝑦⁽)|⁰∝ ;𝑡̃_)*+,-<𝑢₅ =𝜃5

𝜆 , 𝑢₇=𝜃₇ 𝜆=;

0

Source ponctuelle

z 𝑥′

𝜃_!

Plan de Fourier (𝐴&'(𝑥′, 𝑦′))

Onde convergente

L1 𝑥

Plan de l’objet diffractant (𝑡"#$%&(𝑥, 𝑦))

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1.2 Principe du montage en double diffraction (montage d’Abbe)

À l’aide d’une seconde lentille L2, on conjugue le plan objet sur un écran ou une caméra CMOS (le plan image filtré). Ce montage est souvent appelé montage d’ABBE ou montage « à double diffraction ». Mais on reconnaît aussi un éclairage Köhler vu en microscopie ou un montage classique de projection vu en cours d’optique géométrique :

- L1 permet d’éclairer l’objet uniformément et d’imager le point source sur le plan de Fourier, (x’, y’).

- L2 conjugue le plan de l’objet et le plan image.

Et le rapport de grandissement transversal de la conjugaison d’imagerie est bien sûr : 𝑔7= −𝑑′

𝑑

L’avantage de ce montage est que, le plan de Fourier étant accessible, il est possible de filtrer (ou modifier) dans ce plan certaines composantes fréquentielles en disposant un masque de transmission appropriée. On peut ainsi filtrer l’image c'est- à-dire modifier ses propriétés spatiales (de la même manière que l’on peut modifier les propriétés temporelles d’un signal en électronique avec des filtres passe bas, passe haut, passe bande, déphaseurs, etc...). Ce montage est une alternative au montage « 4f » vu en TD, il fonctionne dans le principe de façon similaire, mais permet une plus grande flexibilité dans l'ajustement des tailles de figure de diffraction et d'image.

On peut résumer schématiquement le dispositif de filtrage de la manière suivante :

• L1 effectue une transformée de Fourier 2D de l’objet :

L’amplitude dans le plan de Fourier est proportionnelle au spectre en fréquences spatiales (avec 𝑢₅ =₂₃⁵⁽ et 𝑢₇=₂₃⁷⁽ ) :

𝑡)*+,-(𝑥, 𝑦)^:';@⎯B 𝑡̃)*+,-(𝑥⁽, 𝑦⁽)

• Dans le plan de Fourier, on place un masque de transmission 𝑡<(𝑥′, 𝑦′), qui modifie le spectre de l’objet : 𝑡̃=>,?-@, )*+,- B/C-@é(𝑥⁽, 𝑦⁽) = 𝑡̃=>,?-@, )*+,-(𝑥⁽, 𝑦⁽) ∗ 𝑡_<(𝑥′, 𝑦′)

• L2 effectue une seconde transformée de Fourier 2D de ce plan de Fourier. On obtient dans le plan image, l’image de l’objet filtrée :

𝑡̃=>,?-@, )*+,- B/C-@é(𝑥⁽, 𝑦⁽)^:'0@⎯B 𝑡)*+,- B/C-@é(𝑋, 𝑌) Source

ponctuelle

Plan de l’objet diffractant (𝑡"#$%&(𝑥, 𝑦))

L₂

d

X

z Plan de Fourier

masques (𝑡_<(𝑥′, 𝑦′))

L1 𝑥 𝑥′

d'

Plan image (filtrée)

D

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Pour plus de détails, consulter par exemple :

http://www.optique-ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C02/co/Grain_OPI_fr_M02_C02.html http://www.optique-ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M03_C04/co/OPI_fr_M03_C04_web_1.html

Crédit : Didaconcept

2 Préparation

On utilisera comme source sur le montage un Laser He-Ne de longueur d’onde 633 nm.

On place dans le plan objet (situé à une distance D du plan de Fourier) une mire de transmission en amplitude sinusoïdale de pas p, dans une ouverture carrée (pupille) de côté L. La transmittance s’écrit alors :

𝑡_)*+,-(𝑥, 𝑦) = 𝑡_E<1 + 𝑚 cos <2𝜋𝑥

𝑝== rect R𝑥

𝐿T rect R𝑦 𝐿T

a) Décrivez la répartition d’éclairement dans le plan de Fourier (x’, y’). Représentez sur un schéma les différents pics de diffraction observés dans le plan de Fourier. Que représentent physiquement les composantes fréquentielles observées ? De quel paramètre dépend leur largeur ? Leur espacement ?

b) Calculez la position, l’amplitude, puis l’éclairement maximal des différents pics dans le plan de Fourier et leur largeur en fonction de p, m, L et D. Application numérique avec p=0.2 mm, m=0.2, L=2 cm et D=1 m.

c) En gardant toujours la même mire, quelle modification faudrait-il apporter au montage pour multiplier par 2 l’espace entre les pics ? Diviser par 3 la largeur des pics ?

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d) Quelle sera la répartition d'éclairement dans le plan image si on ne laisse passer que l’ordre central ? A quel type de filtrage cela correspond-t-il (passe-bas/haut/bande/...) ?

e) Qu’observe-t-on dans le plan image, si l’on place un cache pour masquer uniquement l’ordre 0 (en x’=0) dans le plan de Fourier.

Commenter.

2.2 Mire de Foucault

On place maintenant une mire périodique carrée ou mire de Foucault.

Il s’agit d’une mire de transmission périodique en forme de créneau (transparent-opaque) de rapport cyclique, 0,5 . Le pas p et la dimension L de la mire sont les mêmes que pour la mire sinusoïdale.

f) En utilisant les résultats connus sur la TF d'un créneau (cf TD d’optique physique), rappeler la position des ordres de diffraction et représenter sur un schéma les différents pics de diffraction observés dans le plan de Fourier.

Expliquer pourquoi les ordres pairs sont nuls.

5 3 Partie expérimentale : filtrage et détramage

Le montage expérimental de « double diffraction » est représenté ci-dessous :

3.1 Etude de divers filtrages Objets périodiques à une dimension

3.1.1 Mire sinusoïdale

L’objet est une mire sinusoïdale sur une diapositive

• On mesure soigneusement la distance D entre objet et écran (plan de Fourier) : D = 600mm+/-15 mm

• On augmente le flux lumineux à l’aide du polariseur pour observer confortablement la figure de diffraction dans le plan de Fourier à l’aide d’un écran muni d’un papier millimétré.

Crédit : copie Pielot et Laly

Etude du plan de Fourier

1) Expliquez la figure observée sur le papier millimétré. Comparez cette figure de diffraction obtenue à celle attendue (question de préparation a).

2) Quelle est l’influence de la distance D entre l’objet et le plan de Fourier ? A des fins de filtrage dans le plan de Fourier, pourquoi a-t-on intérêt à maximiser cette distance ?

3) Comment expliquer la présence d’ordres supérieurs dans le plan de Fourier ?

4) Mesurez la distance entre les ordres diffractés en utilisant le papier millimétré dans le plan de Fourier. En déduire la période de la mire objet (précision d’environ 10% demandée). Comment pourrait-on améliorer la précision de cette mesure ?

La valeur obtenue peut être vérifiée par une mesure directe en utilisant un viseur à frontale fixe (microscope) équipé d’un objectif de microscope de grandissement marqué 2.5 (de grandissement réel 2.4 +/- 0.1) disponible dans la salle.

Epuration laser

Plan de Fourier

O bjet

d Laser HeNe

et polariseur Caméra

d’

D

Objet diapositive

(mire sinusoïdale) Ecran avec

papier millimétré

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Effets des filtrages dans le plan de Fourier

• On retire l'écran avec papier millimétréet on règle maintenant soigneusement la position longitudinale du Clairaut L2 pour obtenir une image de la mire parfaitement au point sur la caméra. On choisit la position de la mire objet pour avoir un grandissement tel que l’image de la mire couvre lechamp de la caméra. Pour simplifier, on place bien le plan de Fourier en avant de L2, comme indiqué sur le schéma.

• Dans le plan de Fourier, on place différents diaphragmes et on étudie l’image filtrée de la mire sur la caméra.

Trou de filtrage Image obtenue

Crédit : copie Pielot et Laly

5) Commentez les images obtenues sur la caméra (mire sinusoïdale, détails). A partir de quel diamètre de trou ne voit-on plus les variations périodiques dans la mire ? Pourquoi, alors, ne peut-on plus déchiffrer les nombres sur le bord de la mire ?

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• Dans le plan de Fourier, on masque uniquement l’ordre 0 avec une aiguille et on étudie l’image filtrée de la mire sur la caméra.

Crédit : copie Pielot et Laly

• Lorsque l’on masque uniquement l’ordre 0 avec l’aiguille on coupe les basses fréquences spatiales. Il s’agit d’un filtre passe-haut.

6) On constate dans ce cas que la fréquence spatiale dans l’image est doublée (voir image agrandie ci-dessous). Expliquez pourquoi ?

A gauche, mire sans filtre et à droite, mire sans l'ordre 0

Crédit :Martin Gardinetti et Antoine Beignet

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3.1.2 Mire de Foucault (mire carrée)

On remplace la diapositive, mire sinusoïdale, par la mire carrée (ou mire de Foucault : barres noires et blanches).

• On mesure soigneusement la distance D entre objet et écran (plan de Fourier) : D = 600mm+/-15 mm

• On augmente le flux lumineux à l’aide du polariseur pour observer confortablement la figure de diffraction dans le plan de Fourier à l’aide d’un écran muni d’un papier millimétré.

Crédit : copie Carrez et Chartier

Etude du plan de Fourier

7) Expliquez la figure observée sur le papier millimétré. Comparez cette figure de diffraction obtenue avec la mire sinusoïdale et à celle attendue (question de préparation f).

8) Quelle est l’influence de la distance D entre l’objet et le plan de Fourier ? A des fins de filtrage dans le plan de Fourier, pourquoi a-t-on intérêt à maximiser cette distance ?

9) Comment expliquer la présence d’ordres pairs ?

10) Mesurez la distance entre les ordres diffractés en utilisant le papier millimétré dans le plan de Fourier. En déduire la période de la mire objet (précision d’environ 10% demandée).

Filtrages dans le plan de Fourier

11) Pour les filtrages suivants, expliquez la figure obtenue en vous aidant du formalisme de Fourier . - On ne laisse passer que l’ordre 0 avec un diaphragme.

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- On masque uniquement l’ordre 0 avec une aiguille.

Crédit : copie Robin et Grivet

12) Montrez, dans ce deuxième cas, que la fréquence spatiale dans l’image est doublée et expliquez la répartition d’éclairement obtenue (avec le filtre : fréquence doublée et traits noirs sur fond clair) ?

3.2 Détramage

Objets périodiques à deux dimensions

Placez une diapositive tramée : il s’agit de diapositives présentant une diapositive noir et blanc d’Yves Montand multipliée par un ou plusieurs motifs périodiques. Observez l’éclairement dans le plan de Fourier.

Crédit : copie Pielot et Laly

13) Déduire de l’observation du plan de Fourier le nombre de trames et la direction des trames (ou motifs périodiques ) ? La distance, objet plan de Fourier, est toujours : D = 600mm+/-15 mm.

14) Déduire de la figure de diffraction, le pas des motifs périodiques (trames).

15) Quel masque choisir pour détramer l’image de la diapositive sur la caméra (c’est à dire supprimer les motifs périodiques)?

Quel est le masque circulaire optimal pour garder les détails le plus petits dans l’image détramée (faire un dessin) ?

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16) Expliquez pourquoi la fente placée dans le plan de Fourier (image ci-dessous) et bien orientée permet de garder une trame dans une seule direction.

Crédit : copie Pielot et Laly

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Objet à période continument variable à deux dimensions

Crédit : cours Sebastien de Rossi / Lionel Jacubowiez Mire de Foucault avec 80 périodes (Matlab) et diapositive

On place maintenant la diapositive de la mire radiale de Foucault . Il s’agit de motifs périodiques noir-blanc disposés de manière radiale autour du centre d’image. Les périodes sont donc faibles vers le bord de l’image et grandes vers le centre.

L’intérêt de cet objet particulier est donc une répartition continues des fréquences spatiales (faibles au bord, grandes au centre).

Etude du plan de Fourier

On déplace la caméra dans le plan de Fourier pour observer la distribution d’éclairement dans le plan de Fourier.

On obtient dans le plan de Fourier l’image suivante :

Crédit : Copie Raphaël de Chevron VilletteRaphaël de Chevron Villette

17) Commentez les caractéristiques importantes de la figure observées dans le plan de Fourier (direction et répartition de la distribution d’éclairement). Interprétez en particulier le fait que le point central est entouré d’une région sans lumière et la forme de trèfle à 4 feuilles. Vous pourrez vous appuyer sur les images suivantes et les commentaires.

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Mire radiale de Foucault Plan de Fourier

(crédit Robin et Grivet)

Description de l’image obtenue dans le Plan de Fourier :

[0] : Tache lumineuse au centre : correspond à l’intensité moyenne de la mire radiale.

[1] : Fréquences élevées correspondant au centre de la mire radiale.

[2] : Un disque sombre autour de la tache lumineuse centrale : absence de très basses fréquences spatiales.

[3] : Le disque sombre a en réalité une forme de trèfle à 4 feuilles : les fréquences spatiales les plus faibles se trouvent au quatre coins de la mire.

Effets des filtrages dans le plan de Fourier A- Filtrage Passe-Bas

On revient au montage complet d’Abbe et on replace la caméra dans le plan image.

On observe l’image de la mire radiale filtrée sur la caméra lorsque l’on diminue le diamètre du trou de filtrage soigneusement centré sur le plan de Fourier (c’est-à-dire centré parfaitement sur la fréquence zéro).

Pupille de 3 mm

Crédit : copie Antoine Robin et Bastien Grivet et cours Sebastien de Rossi Lionel Jacubowiez

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On vérifie expérimentalement que le diaphragme est bien un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure est proportionnelle au diamètre du trou de filtrage.

Diaphragme de 5 mm Diaphragme de 2 mm Diaphragme de 1 mm (pas très bien centré !)

Crédit : copie Adem Toujani et Malek Aziz et Bastien Grivet et copie Mélanie Nguyen et Clément Métayer

Avec une pupille de 3 mm, on mesure le diamètre du disque uniforme, Fcoupure : Fcoupure = 300 +/- 20 pixels. Connaissant la dimension du pixel (5.3 microns). Cette mesure permet de déterminer la valeur de la fréquence de coupure dans le plan image en mm^-1.

18) Le nombre de périodes sur le cercle (2 * p) est exactement 80 (vous pouvez le vérifier facilement sur l’image de la mire).

Déterminer, fc_image, fréquence de coupure dans le plan image en mm^-1 et Pc_image, la période de coupure dans le plan image en mm.

L’image de la mire filtrée obtenue par Antoine Robin et Bastien Grivet a été prise avec une distance Objet – Camera de : d+d’ = 900 mm +/-20

Les 2 Clairaut ont une distance focale de 180 mm.

19) Déduire de ces données, les distances, d et d’ , utilisées pour le expérience, ainsi que le grandissement gy.

En déduire fc_objet, fréquence de coupure dans le plan objet en mm^-1 et Pc_objet, la période de coupure dans le plan objet en mm.

20) Comparez à la fréquence de coupure fc_image mesurée, avec la fréquence de coupure attendue en éclairage cohérent : fc_image_limite_diffraction = ON’image/l .

On rappelle que ON’image = sin(a’) = rtrou/d’.

21) Compte tenu du grandissement utilisé pour cette conjugaison, déduire de la fréquence de coupure mesurée, fc_image , la fréquence de coupure, fc_objet (en mm^-1) dans le plan objet.

La distance, D, entre la mire objet et le plan de Fourier a été mesurée par Antoine Robin et Bastien Grivet : D = 470 mm +/- 20 mm

On rappelle que la pupille de 3 mm est placée précisément dans le Plan de Fourier.

En déduire la période de coupure, Pc_objet , en mm et la fréquence de coupure fc_objet (en mm^-1) dans le plan objet.

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B- Filtrage étroit passe-bande

On choisit maintenant le diaphragme de 1 mm. Placée au centre du plan de Fourier, cette pupille est filtre passe-bas de très faible fréquence de coupure. L’image de la mire est quasiment uniforme.

Exemple d’image obtenue : copie Gonzague de Touarn et Baptistine Noyelle

22) Dans les mêmes conditions que pour la question 18, déterminez, pour un diaphragme de 1 mm, la nouvelle fréquence de coupure et la période correspondante.

Que se passe-t-il si on déplace transversalement le trou de 1 mm ? Voici l’image filtrée obtenue par le même binôme :

Crédit : copie Gonzague de Touarn et Baptistine Noyelle

23) Expliquez l’apparition de deux taches blanches symétriques de part et d’autre du centre de l’image de la mire.

On mesure un écart de 150 pixels entre ces deux taches. En déduire de quelle distance Gonzague ou Baptistine ont déplacé le trou par rapport au centre du plan de Fourier ? Et dans quelle direction ?

Question super banco :

Pourquoi voit-on sur l’image deux taches plus faibles et plus éloignées du centre ? Montrez que la distance entre les centres de ces deux taches plus faibles est 450 pixels ?

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C- Filtrage en lumière incohérente.

En plaçant une source large (éclairage incohérent) juste devant le Laser, on obtient cette fois ci l’image b.

a : Eclairage cohérent b : Eclairage incohérent

Crédit : Cours 1A Sebastien de Rossi / Lionel Jacubowiez

24) Montrez sur l’image obtenue que la fréquence de coupure est doublée en éclairage incohérent. Faites le lien avec l’éclairage cohérent et incohérent vu pendant le TP Microscope (voir fig. ci-dessous).

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Fonction de Transfert de modulation (pour un microscope en éclairage cohérent, incohérente, partiellement cohérent

a: Image originale b: avec effet « artistique » de flou Effet de flou sur une image traité avec les outils de Word

25) Quel type de fonction de transfert de modulation a été appliquée pour obtenir l’image b ?

26) On remplace la mire radiale par la mire "USAF" dont vous trouvez le mode d'emploi dans l'annexe. On obtient les images suivantes en éclairage cohérent et incohérent. Déterminez la structure la plus petite encore résolue par le système optique et recherchez la fréquence spatiale associée.

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18 Annexe

The USAF 1951 Target¹

One of the most commonly used test targets is the USAF 1951 target, which is comprised of sets of horizontal and vertical lines, called elements, of varying sizes (Figure 1). The horizontal and vertical elements are used by a system to simultaneously test the vertical and horizontal resolutions at discrete spatial frequencies (line pairs per millimeter, or lp/mm) in the object plane. Each element has a unique set of widths and spacings and is identified with a number from 1 to 6. Together, six sequentially numbered elements are considered a group, and each group has an identifying number that can be positive, negative, or zero. Typically, this number ranges from -2 to 7. The group number and element number are then used together to determine spatial frequency. The resolution is based on bar width and space, where the length of the bars is equal to five times the width of a bar (Figure 2). One line pair (lp) is equivalent to one black bar and one white bar. Vertical bars are used to calculate horizontal resolution, and horizontal bars are used to calculate vertical resolution.

Figure 1 – Example of a USAF 1951 Target.

Figure 2 – USAF 1951 Target Specifications.

Qualitatively, the resolution of an imaging system is defined as the group and element combination that is located directly before the black and white bars begin to blur together. Quantitatively, resolution (in terms of lp/mm) can be calculated by

1 https://www.edmundoptics.com/resources/application-notes/imaging/testing-and-targets/ (retrieved on January 21, 2019

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USAF 1951 targets are designed so that the elements increase in frequency along a spiral towards the target’s center; higher resolution elements are placed in the middle of the target. This arrangement is beneficial when testing zoom lenses because it avoids the need to reposition the target by allowing the higher resolution elements to remain in the FOV as the lens magnification causes the FOV to decrease.