Moyenne arithmétique (MA)

(1)

Mesures de tendance centrale

• Moyenne arithmétique

• Médiane

• Mode

• Moyenne géométrique

• Moyenne harmonique

• Quantiles

(2)

A. Mattei 2

Moyenne arithmétique (MA)

8 4

6 5

5 5

4 3

3 1 + + + + + + + =

n x

x _i

∑ = ^∑ ₌ _µ

N

X

_i

(3)

Propriétés

• Dépend de toutes les valeurs

• Facile à calculer

• C’est la valeur attendue (voir plus tard)

∑

^cx ⁼ ^c^x

n ⁱ

1

c x

c

n

∑

⁽xⁱ ± ⁾ = ± 1

∑ ⁽ ^x

ⁱ

⁻ ^x ⁾ ⁼ ⁰

(4)

A. Mattei 4

Moyenne pondérée

∑ ∑

∑ ∑ ₌ _→ ₌

i i i

i i

w x w

w x

w ω ω

1 4 3

1 2

1 6 1

5 3

4 1

3 2

1 1 =

+ +

× +

×

4 8 6

5 1 8 4 3

8 3 1

8 1 2

8 1 + + + + =

(5)

Défauts

• Peut ne correspondre à aucune des valeurs

• Peut donner une fausse image d’une majorité de valeurs

• Est influencée par les valeurs extrêmes:

9 x 1000 + 1 x 20000 donne 2900

• Prendre alors la moyenne tronquée (sans les valeurs extrêmes). On obtient 1000

(6)

A. Mattei 6

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs dans la liste L1 et les

fréquences dans L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans CALC et choisir 1-Var Stats

• Presser ENTER et taper L1,L2

• En pressant ENTER vous obtenez la moyenne (x) et d’autres mesures.

• Si vous voulez uniquement la moyenne,

choisissez LIST /MATH et ensuite 3:mean(.

• Introduire L1,L2) et presser ENTER.

(7)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Moyenne. Si vous allez dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la moyenne tronquée (Moyenne TR), sans le

5% des valeurs les plus petites et 5% des valeurs les plus grandes).

• Pour EXCEL, chercher Moyenne dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =MOYENNE(A1:A20)

(8)

A. Mattei 8

Médiane

• Sépare les valeurs en deux parties égales lorsqu’elles sont ordonnées (de manière croissante ou décroissante)

• Meilleur indice pour les valeurs asymétriques

• Correspond à une des valeurs dans le cas d’un nombre impair d’éléments

• 1 3 5 7 9

• 1 3 5 7 9 12 : médiane 6 = (5+7)/2

(9)

• Médiane 7522 , Moyenne 8387

0 10000 20000

0 500 1000

REVENU

Effectif

REVENU MENSUEL DES MENAGES

(10)

A. Mattei 10

Propriétés

• N’est pas influencée par les valeurs extrêmes

• La somme des écarts absolus par rapport à une valeur est minimale lorsque cette valeur est la médiane:

• Min

médiane c

c x

abs

_i

− ⇒ =

∑ ⁽ ⁾

∑ ⁽ ^x

ⁱ

⁻ ^c ⁾

²

^⇒ ^c ⁼ ^moyenne

(11)

(12)

A. Mattei 12

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs dans la liste L1 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Presser ENTER et taper L1

• En pressant ENTER vous obtenez la médiane (Med) et d’autres mesures.

• Si vous voulez uniquement la médiane,

choisissez LIST /MATH et ensuite 4:median(.

• Introduire L1) et presser ENTER.

(13)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Médiane. Si vous allez dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques descriptives, vous obtenez aussi la médiane.

• Pour EXCEL, chercher MEDIANE dans les fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =Mediane(A1:A20)

(14)

A. Mattei 14

Mode

• C’est la valeur la plus fréquente

• C’est le sommet d’une distribution de fréquence

• Distribution unimodale: un seul sommet

• Distribution bimodale: deux sommets

• Défaut: valeur pas très stable

(15)

Distribution bimodale

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

Density

Kernel density plot

(16)

A. Mattei 16

Commande TI-83/84

• Aller dans PRGM et choisir MODE

• Ce programme ne fait pas partie des

programmes standard de la TI. Vous devez le télécharger (voir page du cours).

(17)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans Stat / Tableaux / Tri à plat. Choisir Dénombrements. Le mode est la

valeur qui a la fréquence la plus élevée.

• Pour EXCEL, chercher MODE dans les

fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =MODE(A1:A20)

(18)

A. Mattei 18

Moyenne géométrique

• C’est la n-ième racine des valeurs:

• Uniquement pour des valeurs positives

• A utiliser pour le calcul du taux moyen de variation

n x x x n

MG = ₁ × ₂ × ⋅ ⋅⋅ ×

∑

= 1 ln( ) )

ln( x _i

MG n

(19)

Commande TI-83/84

• Aller dans PRGM et choisir MGEO

(20)

A. Mattei 20

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB: taper, dans la fenêtre Session

%MGEO C1 (Ce programme ne fait pas partie des

commandes MINITAB standard)

• Pour EXCEL, chercher MOYENNE GEOMETRIQUE dans les fonctions

statistiques ou taper par exemple, dans une

cellule: =MOYENNE.GEOMETRIQUE(A1:A20)

(21)

Calcul du taux moyen de variation

• Taux moyen: MG-1

1

−

=

− t

t

t p

r p

n

r r r

n

MG = ( 1 +

₁

) × ( 1 +

₂

) ⋅ ⋅⋅ ( 1 + )

n o

n

p taux moyen p MG p = ( 1 + . ) =

3 2

1

−

⋅⋅

⋅

=

_o ⁿ

n

p

p p

p

(22)

A. Mattei 22

Exemple

• Rendement SPI en 2002: -25.95%

• Rendement SPI en 2003: 22.06%

• Rendement moyen:

• SPI en 2001: 4382.94. En 2005:

% 99 .

6 0699

. 1 3565

. 1 0686

. 1 2206

. 1 7405

.

4 0 × × × = →

99 .

5742 0699

. 1 94

.

4382 ×

⁴

=

(23)

(1+r)

⁵

= 2.8357 r = 0.2318 (23.18%)

5 ln(1+r)=ln(2.8357) ln(1+r)=ln(2.8357)/5 = 0.2085

e^0.2085 = 1.2318

(24)

A. Mattei 24

MG ≤ MA

• MA≥MG

[ ^x

¹

⁻ ^x

²

]

²

⁼ ^x

¹

⁺ ^x

²

⁻ ² ^x

¹

^x

²

^≥ ⁰

2 1

2 1 x 2 x x

x + ≥

(25)

Moyenne harmonique

• Peu utilisée

• Formule des moyennes:

• avec α=-1,0,1

• Inégalités:

=

∑

+

⋅⋅

⋅ +

= +

i

n x

x x

MH n

1 1

2

1 α ¹α

.  





 



=  ∑

n

M x

ⁱ

MA MG

MH ≤ ≤

(26)

A. Mattei 26

Vitesse moyenne

• 120 Km à 80 km/h 1.5 h

• 120 Km à 120 Km/h 1.0 h

• 240 Km et 2.5 h (240/2.5) = 96 Km/h

96 120

1 80

1 2 =

= +

MH

(27)

A. Mattei 27

MH ≤ MG

•

1 0 2

1 1

1

2 2 1 1

2

2 1

≥ +

−

 =

 



 



 −

x x x x

x x

2 2 1

1

2 1

1 x x x

x + ≥

MH MG

x x

x

x ⇒ ≥

≥ +

2

1 1 1

2

(28)

A. Mattei 28

Quantiles

• Quartiles: division de la série ordonnée en 4 parties égales

• Q_k=(1-Ө)x_s + Өx_s+1 k=1,2,3 ; r=k(n+1)/4 ; s=ent(r) ; Ө=r-s ; médiane: k=2

• 1 3 5 7 9 12 14 15 17 18 25

• Q₁ = 5 ; Q₂ =ME=12 ; Q₃ = 17

• Quintiles: division en 5 parties

• Déciles: division en 10 parties

• Centiles: division en 100 parties

(29)

Exemple

• Q_k = (1-Ө)x_s + Өx_s+1; r=k(n+1)/4 ;s=ent(r) ; Ө=r-s

• 5 6 10 14 15 17 19 22 26 30 (n=10)

• k=1r=(11/4)=2.75 ; s=2 ;Ө=0.75 Q₁=0.25 x 6 + 0.75 x 10 = 9

• k = 2r=(2x11/4)=5.5 ; s=5 ; Ө=0.5 Q₂ = 0.5 x 15 + 0.5 x 17 = 16 (médiane)

• k=3r=(33/4)=8.25 ; s=8 ; Ө=0.25 Q = 0.75 x 22+0.25 x 26 = 23

(30)

A. Mattei 30

•

Revenu des nouveaux diplômés universitaires en 2001

Quartile

inférieur Médiane

Quartile supérieur

Hommes 60'000 76'500 90'000

Femmes 55'000 72'000 83'000

Total 56'000 74'000 86'000

Hommes 75'000 83'000 91'000

Femmes 70'000 80'000 86'500

Total 72'000 80'000 90'000

Hommes 30'000 60'000 80'000

Femmes 28'000 60'000 78'000

Total 30'000 60'000 80'000

Hommes 50'000 62'000 80'000

Femmes 43'000 60'000 74'000

Total 49'000 60'000 78'000

Hommes 62'000 73'000 80'000

Femmes 60'000 73'000 80'000

Total 60'500 73'000 80'000

Hommes 60'000 73'000 85'000

Femmes 54'000 61'500 75'000

Total 58'000 71'000 83'000

Hommes 57'500 66'500 74'000

Femmes 62'000 72'000 83'000

Total 60'000 70'000 80'000

Hommes 56'000 74'000 85'000

Femmes 53'000 70'000 80'000

Total 55'000 72'000 84'000

Interdisciplinaire + autre

Total

Médecine + pharmacie

Sciences techniques

salaire brut annuel pondéré

Droit

Sciences exactes + naturelles Sciences humaines + sociales

Sciences économiques

(31)

(32)

A. Mattei 32

•

(33)

Commande TI-83/84

• Aller dans PRGM et choisir QUARTILE

• Les quartiles obtenus avec CALC / 1-var Stat peuvent ne pas être correctes.

(34)

A. Mattei 34

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans Stat / Statistiques élémentaires / Afficher les statistiques

descriptives. Les quartiles sont Q1 et Q3

• Pour EXCEL, chercher Quartile dans les

fonctions statistiques ou taper par exemple, dans une cellule: =QUARTILE(A1:A20;1)

• Même commande pour CENTILE.

• On peut aussi obtenir les quantiles en utilisant la commande Kième minimum et Kième

maximum avec Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives.

(35)

Indices de dispersion

• Etendue (range):

valeur la plus grande – valeur la plus petite

• Intervalle interquartile: IR = Q₃ – Q₁ contient le 50% des valeurs

• Diagramme en forme de boîte (boxplot)

• Variance

• Ecart-type , erreur absolue

• Coefficient de variation

(36)

A. Mattei 36

Boxplot

• Lignes verticales: quartiles

• Ligne horizontale: moustaches (Q_k±1.5 IR) ou fin (sans valeurs exentriques: *)

10 20 30 40 50 60 70 80

age

AGE DES ASSUREES POUR LES FRAIS DE MATERNITE

(37)

•

(38)

A. Mattei 38

Commande TI-83/84

• Introduire les données dans la liste L1 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Ajuster les dimensions du graphique avec la touche WINDOW. En pressant la touche Stat Plot, choisir 1:Plot1 et le quatrième type de graphique. Mettre L1 dans Xlist. Presser

GRAPH.

(39)

Commande MINITAB

• Pour MINITAB, aller dans Graphique / Boîte à moustaches. Dans Variables du graphique,

sélectionner le vecteur C1 pour Y. Cliquer sur Options et cocher Transposer X et Y.

• Il n’y a pas de commande Boxplot pour EXCEL.

(40)

A. Mattei 40

Variance

• Population: σ² = (1/N)Σ (X_i – µ)²

• Echantillon:

• Unité de mesure: u² → prendre √ : σ ou s

• Principale mesure de dispersion

• Ne peut pas être négative

∑ ⁻

= −

²

2

( )

1 1 x x

s n

_i

(41)

•

(42)

A. Mattei 42

Exemple

• Q₁=2 ; ME=5 ; Q₃=10.5, µ=6 ;σ² = 20; s² = 25 100

0 Σ 30

64 8

14 x₅

1 1

7 x₄

1 -1

5 x₃

9 -3

3 x₂

25 -5

1 x₁

(X-µ)² (X-µ)

X

(43)

Propriétés

• Soit x={x₁,x₂,…,x_n}

• Var(cx) = c² Var(x)

• Var(x+c) = Var(x)

• Var[(x-µ)/σ]=1

• Var(c)=0

• Dépend des unités de mesure

• Prendre alors le coefficient de variation:

CV = σ/µ

(44)

A. Mattei 44

Commande TI-83/84

• En pressant ENTER vous obtenez l’écart-type de l’échantillon (Sx) et de la population (σx).

• Si vous voulez uniquement l’écart-type de

l’échantillon, choisissez LIST /MATH et ensuite 7:stdDev(L1).

• Pour la variance de l’échantillon, presser ensuite la touche x².

(45)

Ecart-type et variance de la population

• Si vous voulez uniquement l’écart-type de la population, après la commande Calc 1-Var Stats, presser la touche Vars. Choisir

5:Statistics et ensuite 4:σx.

• Si vous voulez la variance de la population, il suffit d’élever au carré l’écart-type obtenu ci- dessus (touche x²).

(46)

A. Mattei 46

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans CALC / Statistiques par colonne et choisir Ecart-type. Vous obtenez s. Si vous allez dans Stat / Statistiques

élémentaires / Afficher les statistiques

descriptives, vous obtenez aussi s (EcarType).

• Pour EXCEL, chercher ECARTYPE dans les fonctions statistiques ou taper, dans une

cellule: =ECARTYPE(A1:A20). Pour σ, choisir ECARTYPEP. Pour la variance, choisir Var

pour s² ou Var.P pour σ² .

(47)

La semi-variance

• La variance prend le carré des différences positives et négatives par rapport à la

moyenne. Parfois, les différences positives n’ont pas la même valeur que les

différences négatives. On peut alors

calculer la semi-variance qui ne considère que les différences négatives.

(48)

A. Mattei 48

Exemple

• Rendement de deux titres:

• A: 0 0 0 0 50

• B: -11.103 -10 10 18.103 43

• Dans les deux cas, µ=10% ,σ=20%

• En finance, σ représente le risque. Or, on

pourrait préférer A qui n’a pas de rendement négatif. Si l’on prend la semi-variance, on

obtient un écart-type de 8.94 pour A et 13

pour B. Résultat équivalent avec la moyenne géométrique pour les rendements.

(49)

Indices de forme

• Le moments

• Le coefficient d’asymétrie

• Le coefficient d’aplatissement

(50)

A. Mattei 50

Les moments

• Moments

• Moments centrés

moyenne N X

r i

r

= ¹ ∑ → ^µ

¹

=

µ

∑ ⁻ ^→ ⁼

= 1 ( )

₂ ²

σ µ

µ

_r^c

^X

_i ^r ^c

N

(51)

Coefficient d’asymétrie

• Distribution symétrique: moments d’ordre impair =0

• Coefficient pour un échantillon

• Distribution étalée vers la droite: g₁ >0 mode < médiane < moyenne

• Distribution étalée vers la gauche: g₁<0 moyenne < médiane < mode

∑ _ ^





 



 −

−

= −

3

1

( 1 )( 2 ) s

x x

n n

g n

ⁱ

(52)

A. Mattei 52

Distributions asymétriques

• Etalée vers la:

• droite (g₁ > 0) gauche (g₁ < 0)

• MO<ME<MA MA<ME<MO

0 10000 20000 30000 40000

0.00000 0.00005 0.00010

Density

Kernel density plot

0 10000 20000 30000 40000

0.00000 0.00005 0.00010

Density

Kernel density plot

(53)

Commande TI-83/84

• Aller dans PRGM et choisir ASYM

• La valeur obtenue est le coefficient d’asymétrie pour un échantillon.

(54)

A. Mattei 54

Commandes MINITAB et EXCEL

descriptives. Cliquer sur Graphiques et choisir récapitulatif graphique.

• Pour EXCEL, choisir Outils / Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives. Introduire la plage et choisir rapport détaillé.

• Vous pouvez aussi taper, dans une cellule:

=COEFFICIENT.ASYMETRIE(A1:A9).

• Il s’agit des coefficients pour un échantillon.

(55)

Coefficient d’aplatissement

• Kurtosis:

• Mesocurtique (normale): g₂=0

• Platicurtique (aplatie): g₂<0

• Leptocurtique (mince): g₂>0

 





 



   −





 



 −

− +

−

= − ∑ ³

) 1 (

) 3 )(

2 (

) 1

(

⁴

3 2

2

s

x x

n n n n

n

g n

ⁱ

(56)

A. Mattei 56

Kurtosis

• Platicurtique (g₂<0) Leptocurtique (g₂>0)

• Mesocurtique (g₂=0)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2

Density

Kernel density plot

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Density

Kernel density plot

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Density

Kernel density plot

(57)

Commande TI-83/84

• Aller dans PRGM et choisir KURTOSIS

(58)

A. Mattei 58

Commandes MINITAB et EXCEL

descriptives. Cliquer sur Graphiques et choisir récapitulatif graphique.

• Pour EXCEL, choisir Outils / Utilitaire d’analyse / Statistiques descriptives. Introduire la plage et choisir rapport détaillé.

=KURTOSIS(A1:A9).

• Il s’agit des coefficients pour un échantillon.

(59)

Relations entre les variables

• Graphique: nuage de points (scatterplot)

• Covariance

• Corrélation

• Corrélation des rangs

(60)

A. Mattei 60

100 200 300 400

50 70 90 110 130 150 170 190 210 230

PIB

CONSOMMATION

LIEN ENTRE PIB ET CONSOMMATION (1949-2005)

(61)

Commande TI-83/84

• Introduire les données de X et Y dans les listes L1 et L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Ajuster les dimensions du graphique avec la touche WINDOW. En pressant la touche Stat Plot, choisir 1:Plot1 et le premier type de

graphique. Mettre L1 et L2 dans Xlist et Ylist.

Presser GRAPH.

(62)

A. Mattei 62

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans Graphique /

Diagramme. Introduire les deux variables.

Cliquer sur OK.

• Pour EXCEL, introduire les données dans les colonnes A et B. Cliquer sur Assistant

graphique. Choisir nuage de points dans sous- type de graphique et cliquer sur Terminer.

(63)

Covariance

• Lien positif Cov > 0

• Lien négatif Cov < 0

• Pas de lien Cov = 0

∑ ⁻ ⁻

= 1 ( )( )

) ,

( X

_i _X

Y

_i _Y

Y N X

Cov µ µ

∑ ⁻ ⁻

= − ( )( )

1 ) 1

,

cov( x x y y

y n

x

_i _i

(64)

A. Mattei 64

Exemple

• µ_x=6;σ_x=4.47;µ_y=7;σ_y=4.05 ;σ_xy=12.8 ;ρ=0.707 64

0 0

35 Σ 30

48 6

8 13

14 5

-4 -4

1 3

7 4

-2 2

-1 9

5 3

-3 1

-3 8

3 2

25 -5

-5 2

1 1

(X-µ_x)(Y-µ_y) (Y-µ_y)

(X-µ_x) Y

X i,j

(65)

Propriétés

• Dépend des unités de mesure

• Lien entre les variables

• cov(ax,by)=ab cov(x,y)

• cov(x+a,y+b)=cov(x,y)

• cov(ax+by,z)=a cov(x,z) + b cov(y,z)

• var(ax+by)=a² var(x)+b²var(y)+2ab cov(x,y)

• var(x+y)+var(x-y)=2 var(x)+2 var(y)

(66)

A. Mattei 66

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X dans la liste L1, celles de Y dans L2 et les fréquences dans L3 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir COV

• Presser ENTER

(67)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans Stat / Statistiques élémentaires / Covariance. On obtient la

matrices des variances-covariances de l’échantillon.

• Pour EXCEL, chercher covariance dans les fonctions statistiques.

=COVARIANCE(A1:A9;B1:B9).

• Il s’agit des covariances pour un échantillon.

(68)

A. Mattei 68

Exemple

84 . 11

; 36 . 47

; 8 . 1

; 96 . 2

; 8 .

5 ² = = ² = = −

= _x _y _y _xy

x σ µ σ σ

µ

0 2

. 0 8

. 0 2

84 . 11 36

. 47 2

. 0 96

. 2 8

.

0 ² ²

2 = × + × − × × × =

σ P

5 1

6 5

5 -7

8 4

5 13

3 3

5 5

5 2

5 -3

7 1

P=0.8X+0.2Y Y_j

X_i i,j

(69)

Corrélation

ρ= cov(X,Y)/(σ_xσ_y)=cov(x,y)/(s_xs_y)

• Ne dépend pas des unités de mesure

• Entre -1 et +1

• lien linéaire positif parfait: ρ=1

• lien linéaire négatif parfait: ρ=-1

• approximation si lien non linéaire parfait

• ρ(ax,by)=ρ(x,y)

• ρ(x+a,y+b)=ρ(x,y)

• var(ax+by)=a²var(x)+b²var(y)+2ab ρ σ_xσ_y

(70)

A. Mattei 70

│ρ (x,y) │≤ 1

• Soient les variables standardisées:

• on a:

1 ;

; − = =

− =

= Zx Zy

y y y

x x x

Z Y

Z X

σ σ

σ µ σ

µ

∑ ∑

=

− =

= − _x _y _z_x_z_y

y x

y i

x i

Z N Z

Y N X

Y

X σ

σ σ

µ

ρ ⁽ µ ⁾⁽ ⁾ ¹

1 )

, (

0 2

) (

)

( ± = + ± ≥

y xZ Z y

x y

x Z Var Z Var Z

Z

Var σ

1 0

) 1

(

2 ± ρ ≥ → ρ ≤

(71)

• Corrélation positive

• Corrélation négative

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

X

Y

RHO=0.568

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

RHO=-0.764

(72)

A. Mattei 72

Pas de corrélation

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 10 15

C1

C2

RHO=0

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

C4

C3

RHO=0

(73)

Corrélation parfaite

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 10

x

y

RHO=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-30 -20 -10 0 10 20

X

Y

RHO=-1

(74)

A. Mattei 74

(75)

(76)

A. Mattei 76

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X dans la liste L1, celles de Y dans L2 et les fréquences dans L3 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Mettre des 1 dans L3 si les valeurs ne sont pas regroupées.

• Aller dans PRGM et choisir CORR

• Presser ENTER

(77)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, aller dans Stat / Statistiques élémentaires / Corrélation.

• Pour EXCEL, chercher

COEFFICIENT.CORRELATION dans les fonctions statistiques.

=COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A9;B1:B9)

• Il y a un seul coefficient de corrélation (population ou échantillon).

(78)

A. Mattei 78

Le rang

• Classer les données par ordre croissant

• Calculer ensuite le rang

• Si les données x_s,…,x_t sont identiques, leur rang sera (t+s)/2

• Exemple:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• 3 7 9 10 10 10 12 14 19 19 20

• rang: 1 2 3 5 5 5 7 8 9.5 9.5 11

(79)

Corrélation des rangs

• Spearman: ranger les données (mettre un rang aux données) et ensuite calculer la corrélation

• N’est pas influencée par les valeurs extrêmes:

• x: 1 3 5 6 ; y: 5 2 7 8 ρ= 0.653 ; ρ_R=0.8

• x: -5 3 5 6 ; y: 5 2 7 8 ρ= 0.366 ; ρ_R=0.8

• Meilleur résultat pour des valeurs non linéaires

• Ex: y=x² ρ<1 ; Spearman=1

• Peut être utilisée pour des données ordinales

(80)

A. Mattei 80

•

(81)

Exemple: ρ

_R

= 0.976

1 8

1 -

H

2 9

3

* G

3.5 13

3

* F

3.5 13

3

* E

5 15

5.5

**

D

6 17

5.5

**

C

7 18

7

***

B

8 19

8

****

A

rang Gault-M.

rang Michelin

Rest.

(82)

A. Mattei 82

Commande TI-83/84

• Introduire les valeurs de X et de Y en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir RCORR

• Introduire les valeurs de X et de Y

• Presser ENTER

(83)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Dans MINITAB, introduire les données dans C1 et C2

• Aller dans Manip et choisir RANG.

• Calculer le rang des données et mettre le résultat dans deux colonnes différentes (C3 et C4).

• Calculer le coefficient de corrélation de ces rangs (C3 et C4)

• EXCEL a la commande RANG dans les formules

statistiques mais elle donne un même rang, supérieur d’une unité à celui de la donnée précédante, lorsqu’il y a des données identiques.

(84)

A. Mattei 84

Les indices statistiques

• Une seule valeur pour résumer des phénomènes souvent très complexes:

• indices des prix, indice de confiance des consommateurs, indice de compétitivité des nations, indice de développement

humain, indice des cours, indice de masse corporelle, etc.

• Indice élémentaire et indice synthétique

(85)

Indice élémentaire

• Rapport entre deux valeurs: i^t/0=p_t/p_o

• Ex. cours de la livre sterling en francs

• i^CH/£ = 2.5/1

• Réversibilité : cours du franc en £ i^£/CH=0.4=1/2.5

• Circularité: i^£/€ =0.64 ; i^€/CH = 0.625 i^£/€ x i^€/CH = i^£/CH

0.64 x 0.625=0.4

(86)

A. Mattei 86

Indice synthétique

• Combinaison d’indices élémentaires

• Carli (1764): moyenne de 3 prix pour le calcul du taux d’inflation (blé, huile, vin)

• Soit i^t un indice élémentaire par rapport à la période de base (i^t/0). On a:

• où ω_j est la pondération

∑

= _j ^t _j

t i

I ω

(87)

Exemples

• SMI: indice du cours de 20 titres. Pondération:

capitalisation boursière (Novartis 15%, UBS 12%, Nestlé 19%, etc.)

• ISPC: indice suisse des prix à la consommation.

Pondération: 220 groupes de dépense (loyer 19.5%, repas dans les restaurants 3.6%, etc.)

• HDI: indice de développement humain. Trois

indices: taux d’alphabétisation, espérance de vie, PIB par tête.

(88)

A. Mattei 88

Indice de Laspeyres

• Indice de prix (pondération période de base)

• Indice de quantité

∑ ∑

∑ ∑ ₌ ₌ ₌

=

_o

j o

j o o j

o j j t t j

j t

j o o j

j o

j

o j t

t j

L

p q

q p

p i p

q i p

q

P p ω ^; ^; ω

= 〉

= 〈

= ∑ ∑ ∑

o j t t j

j t

j o o j

j o

j

o j t

t j

L

q

i q p i

q

p

Q q ω ;

(89)

Indice Paasche

• Indice de prix (pondération variable)

• Indice de quantité

∑ ∑

=

_t

j o

j

t j t

t j

P

p q

q P p

∑ ∑

=

_t

j o

j

t j t

t j

P

q p

p

Q q

(90)

A. Mattei 90

165 125

200 100

80 40

80 20

4 40

10 4

45 40

60 15

4 30

10 3

40 45

60 20

3 30

15 2

p^o.q¹ p¹.q^o

p¹.q¹ q¹

p¹ p^o.q^o

q^o p^o

65 .

100 1 ; 165

25 .

100 1

125 = = =

=

_L

L

Q

P

6 . 125 1

...; 200 21

. 165 1

200 = = =

=

_P

P

Q

P

(91)

Indice Fisher

• hausse nominale

• Réversibilité satisfaite (contrairement à Laspeyres qui devient Paasche ou Paasche qui devient

Laspeyres)

P L

F I I

I = ×

6248 .

1 ..;

23 .

1 21

. 1 25

.

1 × = =

=

_F

F

Q

P

100 :

2 200 H Q

P

_F

×

_F

= = =

(92)

A. Mattei 92

Relations entre les indices

• Soit H la hausse nominale. On a:

• P_L x Q_P = H

• P_Px Q_L = H

• P_F x Q_F = H

• Si on connaît la hausse nominale et un indice, on peut obtenir l’autre en utilisant ces formules

(93)

Faiblesse de Laspeyres

• En utilisant la pondération de base, l’indice

Laspeyres ne tient pas compte des possibilités de substitution

• Indice-chaîne: on change la pondération chaque année:

0 . 101

; 2 .

104

¹²^.⁰⁵^/¹²^.⁰⁴

00 . 5 / 04 .

12

=

_L

=

L

P

2 . 105 0

. 101 2

.

00 104

. 5 / 05 . 12 04

. 12 / 05 . 12 00

. 5 / 04 .

12 × _L = _L = × =

L P P

P

(94)

A. Mattei 94

Valeur nominale et réelle

• Inflation = hausse généralisée des prix

• Si tous les prix augmentent de 5% on dit que le taux d’inflation est de 5%

• Dans le cas d’une hausse différenciée des prix on calcule le taux d’inflation en prenant un indice de prix

• Valeur réelle=valeur nominale/indice des prix

• Quantité=valeur réelle

(95)

160 200

100

64 3.2

80 20

4 40

10 4

48 3.2

60 15

4 30

10 3

48 2.4

60 20

3 30

15 2

x .q¹ p¹/P_L

p¹.q¹ q¹

p¹ p^o.q^o

q^o p^o

Q P

→

= 1 . 6 100

160

(96)

A. Mattei 96

• (+15.5%: hausse nominale)

• (+10% hausse réelle)

• taux réel= taux nominal – taux d’inflation

• 1 + taux d’inflation

• taux réel ~ taux nominal - taux inflation=10.5%

48.51 42

27.72 4.4

6.3 24

4 6

9.24 2.2

4.2 8

2 4

11.55 5.5

2.1 10

5 2

p¹.q¹ q¹=1.1q^o

p¹=1.05pô pô.qô

q^o p^o

155 .

42 1 51 .

48 =

10 . 05 1

. 1

155 .

1 =

(97)

Illusion monétaire

• Difficulté à saisir le concept de valeur réelle (consommateurs, syndicats, hommes

politiques)

• Taux d’intérêt nominal et taux réel

• Hausse de salaire nominale ou réelle

• 4% avec 2% inflation ou 3% avec 1%?

• Turquie, 03: taux intérêt 37.7%, inflation 25.2%

• Déflation: baisse généralisée des prix

(98)

A. Mattei 98

-2 0 2 4 6 8 10

1950 1960 1970 1980 1990 2000 TAUX D'INFLATION EN SUISSE

(99)

Indice des prix à la consommation

• Calculé depuis 1922 en Suisse

• Indice Laspeyres avec pondération tirée des budgets des ménages, changée chaque

année

• Prix relevés chaque mois pour alimentation et produits pétroliers, autres 3 ou 6 mois

• 1046 biens et services

• 12 groupes principaux, 83 groupes

• Pondération pour 218 biens (ERC 2005)

(100)

A. Mattei 100

(101)

• 11 régions (Genève, Lausanne, Sion en Suisse romande)

• 2200 points de vente

• Décembre 2005=100

• Problème en cas de changement de qualité

• Indice « plutocratique »

• Pas de substitution surestimation du coût de la vie

• Moyenne géométrique pour les prix des variétés. Ex: citrons et oranges pour les agrumes

(102)

A. Mattei 102

Indice plutocratique et démocratique

• Pondération autres biens:

• plutocratique 0.304 ; démocratique 0.248

125000 50000

Total

0.68 85000

0.2 10000

Autres

0.16 20000

0.4 20000

Loyer

0.16 20000

0.4 20000

Alimentation

Dépense Dépense

% 1

% 9

Ménages:

(103)

9.1 7.2

8.3 3.1

1.6 1.1

autres

4.6 5.1

6.8 7.0

7.0 5.0

équipement

1.7 2.0

2.0 2.4

3.1 2.0

boissons al.

8.9 9.5

9.3 5.5

2.5 0.3

restaurants

9.2 10.3

7.7 13.8

5.0 3.0

loisirs

10.8 9.4

9.7 13.1

7.4 3.9

transports

15.9 13.4

10.2 7.0

7.0 2.0

santé

4.6 5.1

6.5 8.0

13.0 15.0

habillement

25.4 26.5

25.2 23.0

23.0 27.0

logement

11.0 11.5

14.3 17.1

30.4 40.7

alimentation

2007 2000

1993 1977

1966 1939

Moyenne arithmétique (MA)

Mesures de tendance centrale

Moyenne arithmétique (MA)

8 4

6 5

5 5

4 3

3

1 + + + + + + + =

n x

x i

∑ = ∑ = µ

N

X

Propriétés

∑

∑

∑ ( x

− x ) = 0

Moyenne pondérée

∑ ∑

∑ ∑ = → =

w x w

w x

w ω ω

1 4 3

1 2

1

6 1

5 3

4 1

3 2

1

1 =

+ +

+ +

× +

× +

× +

× +

×

4 8 6

5 1 8 4 3

8 3 1

8 1 2

8

1 + + + + =

Défauts

Commande TI-83/84

Commandes MINITAB et EXCEL

Médiane

Propriétés

médiane c

c x

abs

− ⇒ =

∑ ( )

∑ ( x

− c )

⇒ c = moyenne

Commande TI-83/84

Commandes MINITAB et EXCEL

Mode

Distribution bimodale

Commande TI-83/84

Commandes MINITAB et EXCEL

Moyenne géométrique

n x x x n

MG = 1 × 2 × ⋅ ⋅⋅ ×

∑

= 1 ln( ) )

ln( x i

MG n

Commande TI-83/84

Commandes MINITAB et EXCEL

Calcul du taux moyen de variation

r r r

MG = ( 1 +

) × ( 1 +

) ⋅ ⋅⋅ ( 1 + )

x _i

∑ = ^∑ ₌ _µ

∑ ⁽ ^x

⁻ ^x ⁾ ⁼ ⁰

∑ ∑ ₌ _→ ₌

∑ ⁽ ⁾

∑ ⁽ ^x

⁻ ^c ⁾

^⇒ ^c ⁼ ^moyenne

MG = ₁ × ₂ × ⋅ ⋅⋅ ×

ln( x _i

[ ^x

⁻ ^x

⁼ ^x

⁺ ^x

⁻ ² ^x

^x

^≥ ⁰