Traitement du Signal - Travaux Dirigés - Sujet n°3 :

Traitement du Signal

- Travaux Dirigés -

Sujet n°3 : "Echantillonnage, Transformée de Fourier d’un signal échantillonné"

Exercice 1 : Sur-échantillonnage

L’objectif de cet exercice est de mettre en évidence l’intérêt qu’il peut y avoir à sur- échantillonner un signal. Pour la compréhension de cet intérêt, il faut savoir qu’un filtre analogique d’un ordre donné est plus coûteux à réaliser en pratique que son équivalent numérique.

Soit un signal s(t) dont le spectre est le suivant :

On considère que l’information utile à l’application se situe dans la bande [0,fu[ avec fu=fmax/4 (par exemple, la bande utile d’un signal audio se situe entre 20Hz et 20kHz environ, et en téléphonie on limite cette bande à 8kHz, soit un peu plus d’un tiers).

On souhaite échantillonner ce signal avant de le transmettre.

1) Avant l’échantillonnage proprement dit, il faut d’abord filtrer le signal avec un filtre anti- repliement. Donner la réponse en fréquence Ha(f) ("a" pour analogique) du filtre idéal permettant de réaliser cette opération.

2) Une fois filtré, le signal est échantillonné. On choisit une fréquence d’échantillonnage fe la plus faible possible mais respectant la condition de Shannon. Rappeler cette condition et préciser cette fréquence. Représenter le spectre Sf(f) du signal filtré sf(t) puis le spectre Sf,e(f) du signal échantillonné correspondant sf,e(t) en fonction de la fréquence, puis enfin le spectre S(ν) (avec ν=f/fe) du signal s[k] présent en sortie de l’échantillonneur.

3) Indiquer les difficultés de réaliser physiquement un tel système.

4) Pour faciliter la réalisation de ce système, on décide d’utiliser un filtre d’ordre moins important que le précédent. Montrer que cette contrainte impose d’échantillonner le signal à une fréquence fe’ supérieure à fe (=sur-échantillonner).

5) On choisit fe’=2fe. Représenter le spectre S’(ν) du signal s’[k] en sortie de l’échantillonneur travaillant à fe’ et agissant sur s(t).

6) Déterminer la bande de transition (idéale) maximale du filtre anti-repliement à réaliser.

Représenter sa réponse en fréquence Ha(f), le nouveau spectre Sf’(f) du signal filtré sf’(t) ainsi que les spectres Sf,e’(f) et Sf’(ν) du signal sf’[k] en sortie de l’échantillonneur précédé du filtre anti-repliement. Préciser l’intérêt de ce filtre par rapport au précédent.

7) Une fois échantillonné, le signal discret doit être réduit en cadence du même facteur que le facteur N de sur-échantillonnage pour atteindre le débit d’échantillons initialement souhaité. Représenter le spectre Sf(f) du signal obtenu après réduction de cadence. Quel traitement préalable doit être appliqué au signal sf’[k] pour éviter le recouvrement des spectres ? Représenter la réponse en fréquence Hn(ν’) du filtre numérique à utiliser.

8) Représenter la chaîne complète de conversion analogique-numérique réalisée sous forme de schéma-blocs.

9) Aurait-on pu se passer du filtre anti-repliement analogique ?

fmax

-fmax 0

S(f)

f A

Solution

1) H(f)=1 pour –fu<f<fu, 0 sinon :

2) Rappel du spectre du signal :

Spectre du signal filtré :

Pour respecter la condition d’échantillonnage de Shannon, il faut fe≥2fu. On prend fe=2fu, la fréquence la plus basse respectant la condition de Shannon. Le spectre du signal filtré et échantillonné devient donc :

En fréquences réduites (ν=f/fe), le spectre devient :

(comme le spectre ne fait plus référence à la fréquence d’échantillonnage, on considère les échantillons comme une séquence discrète s[k]).

3) Problème : un filtre analogique à pente très raide nécessite beaucoup de composants et est donc coûteux.

4) Si l’on augmente fe, les duplicata du spectre principal s’écartent les uns des autres. On peut donc faire disparaître le chevauchement des spectres dans la bande utile.

fu

-fu 0

fu

-fu 0 fe

-fu 0 fu

1

fmax

-fmax 0

Ha(f)

S(f)=TF{s(t)}

f

f

f

f Sf,e(f)=TF{sf,e(t)}

A

A

Afe

Sf(f)=TF{sf(t)}

1/2

0 1 ν=f/fe

Afe

-1/2

S(ν)=TF{s[k]}

On peut également se permettre d’utiliser un filtre analogique d’ordre moins grand que le précédent (donc moins coûteux).

5) Avec fe’=2fe=4fu, le spectre du signal sur-échantillonné devient :

soit, en fréquences réduites :

6) Pour éviter le chevauchement des spectre dans la bande utile ]-1/4,1/4[, il faut utiliser un filtre anti-repliement dont la bande de transition maximale est [fu,3fu] (pour éviter d’alourdir les notations, on l’appellera également H(f)) :

Le spectre du signal après filtrage devient :

puis après échantillonnage :

soit, en fréquences réduites :

fe

-fu 0 fu

f_u 0

fu

-fu 0 -f_u -fe

fu

-fu 0 f'e

0 1/4 1

S’(ν)=TF{s’[k]}

-1 -1/4

f S_e’(f)=TF{s_e’(t)}

3fu

1 Ha(f)

1/4

0 1

f

f f

ν'

ν'=f/f’e=ν/2

Sf’(f)=TF{sf’(t)}

Sf,e’(f)=TF{sf,e’(t)}

Sf’(ν’)=TF{sf’[k]}

Ainsi il n’y a plus de chevauchement dans la bande utile.

L’ordre du filtre anti-repliement peut être très inférieur au précédent, donc moins coûteux à réaliser.

7) La réduction de cadence provoque l’apparition de nouveaux duplicata du spectre principal, tous les 1/N=1/2 (en fréquences réduites ν’). Entre ν’=0 et ν’=1, un nouveau duplicata apparaît pour ν’=1/2.

Le sur-échantillonnage n’aurait donc aucune utilité si la réduction de cadence intervenait directement sur le signal échantillonné. Il faut donc préalablement appliquer un filtre numérique d’ordre important à ce signal pour éliminer les fréquences inutiles. La fonction de transfert de ce filtre est :

H(f)=1 pour

N 2 f k N 2

k < <

− avec k entier relatif et N=2 ici, 0 ailleurs.

On retrouve bien le premier spectre du signal échantillonné, sans recouvrement des spectres dans la bande utile :

On retrouve bien une fonction de ν ; tout s’est donc passé comme si le filtrage avait été effectué sur le signal échantillonné à fe. En effet, si on revient aux fréquences non réduites :

8) cf cours

9) Avec fe’=2,5fe=5fu, il n’y aurait plus eu de chevauchement entre les spectres dans la bande utile (voir schéma question 5)), donc le filtrage anti-repliement analogique n’aurait plus été nécessaire. Par contre le filtrage numérique reste indispensable.

0 1

1/2

0 1

0 1/2 1

ν

1 ν'

Sf’(ν)=TF{sf’[k]}

Hn(ν’)

Sf’(ν’)=TF{sf’[k]}

fu

0 f

Sf,e(f)=TF{sf,e(f)}

fe

ν'’=2ν’=ν

1/4 -1/4

Exercice 2 : Transformée de Fourier (TF) d’un signal à temps discret et TF discrète (TFD)

On souhaite réaliser la transformée de Fourier d’un signal sur un ordinateur.

Ce signal est un signal sinusoïdal, de fréquence f=1Hz, défini par : )

t cos(

) t (

s = ω

1) Rappeler (sans démonstration) son spectre complexe (module, ou amplitude, et phase).

Troncature

2) Pour pouvoir étudier physiquement ce signal, on est obligé de le limiter dans le temps. On réalise ici une troncature simple, équivalent à une multiplication par un signal porte. On choisit une troncature sur une durée de 4 secondes.

a) Donner l’expression du spectre du signal tronqué.

b) Représenter (en utilisant directement les résultats de cours) le module d’amplitude de ce signal ainsi tronqué.

Echantillonnage

3) On choisit d’échantillonner ce signal à la fréquence fe=4 Hz.

a) Vérifier si cette fréquence est correcte (en justifiant la réponse).

b) Donner les valeurs des N échantillons obtenus.

c) Donner l’expression du signal non-tronqué échantillonné.

d) Représenter son spectre sur un intervalle allant de –fe à 2fe.

e) Donner l’expression de la TF (à temps discret) de ce signal (la démonstration n’est pas demandée).

TFD

On rappelle que la TFD consiste en un échantillonnage fréquentiel (dans le but de réaliser la TF à l’aide d’un système numérique, ordinateur ou autre), du spectre du signal lui-même échantillonné dans le temps.

Le nombre N d’échantillons (on parle de "points") du spectre est le même que le nombre d’échantillons du signal, entre 0 et fe, soit pour un pas d’échantillonnage de fe/N.

4) Donner les valeurs des points de la TFD du signal. Les comparer avec celles que l’on aurait obtenues avec un signal de durée infinie .

5) Même question que la précédente (mêmes paramètres de troncature et d’échantillonnage), mais avec un signal de fréquence 1,2Hz.

Solution

1) Spectre (complexe) :

[

]

2 ) 1 f (

S = δ − ₀ +δ + ₀ Il est réel pur, donc égal à son module.

Son spectre de phase est nul.

2) Le spectre du signal tronqué est (voir TD2) :

[

]

2 ) T f (

S_T = π + ₀ + π − ₀

où T est la durée de la fonction porte.

Application numérique :

[

]

2 ) f (

S_T = π + ₀ + π − ₀

Cette fonction complexe étant réelle, son module est simplement sa valeur absolue : ))

f f ( 4 sin(

)) f f ( 4 ( c sin 2 ) f (

S_T = π + ₀ + π − ₀

3) a) Cette fréquence d’échantillonnage est correcte car la fréquence d’échantillonnage fe

minimale est 2fmax=2f0=2Hz.

b) Les N=16 échantillons sont (4 périodes de 1 seconde, avec 4 échantillons par période) : 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0

c) L’expression du signal échantillonné est :

) nT t ( ) t ( s ) t (

s _e

n

e =

∑

−∞

=

) nT t ( ) nT (

s _e

n

e δ −

=

∑

−∞

d) Spectre de fréquence : le signal étant tronqué, son spectre principal est composé de 2 sinus =

cardinaux, et comme il est échantillonné ce spectre est périodisé de période fe (et son amplitude multipliée par 1/Te).

e) La transformée de Fourier du signal échantillonné est définie par : )

nf f ( T S ) 1 f (

S _e

en

e =

∑

−∞

=

avec S(f) le spectre du signal non-échantillonné :

[

]

2 ) T f (

S = π + ₀ + π − ₀

4) Pour obtenir les valeurs des N=16 points de la TFD, il faut échantillonner la TF obtenue précédemment à la fréquence fe/N=1/4. Le sinus cardinal du spectre principal est centré en 1 ; il possède une largeur de 2/T=2/4=1/2. Ses passages à 0 se situent à 1-1/4, 1-1/2, 1-3/4, 1+1/4, 1+1/2, 1+3/4, etc. L’échantillonnage en fréquence prélève donc les passages à 0, sauf pour f=1, soit, pour le 5^e point et pour son symétrique par rapport à fe/2=2, soit pour le 13^e point, comme le montre la figure suivante :

1 2 3 f_e=4 f(Hz)

0

Le résultat de la TFD est donc :

0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

Interprétation : on ne "voit" pas le sinus cardinal dans le résultat de la TFD.

5) L’échantillonnage en fréquence n’étant pas synchronisé sur l’échantillonnage en temps, le résultat de la TFD va donner des valeurs intermédiaires entre 0 et 1.

1 2 3 fe=4 f(Hz)

0