Sujet BTS blanc 1

BTS Blanc SE2 Mathématiques 3h

BTS Blanc

Epreuve de Mathématiques du Groupement A

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage d'un instrument de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

Exercice 1 (11points)

La puissance instantanée obtenue par le déchargement d’un dipôle dans un circuit est donnée par la fonction

P ( t ) = t

³

e

^−0.2t, où

t

représente le temps.

1. Pour déterminer le comportement de la fonction

^P : ] 0 , +∞ [ → ^R

aux bornes de son domaine de définition, calculer les limites :

a)

lim ( )

0

P t

t→₊

b)

lim P ( t )

t→+∞

c) La fonction

P (t )

admet-elle une asymptote horizontale ? Si oui, écrire son équation.

2. Etude des intervalles de monotonie de la fonction

P (t )

: a) Calculer la dérivée de la fonction

P (t )

.

b) Sur quel intervalle la fonction

P (t )

est croissante ? c) Sur quel intervalle la fonction

P (t )

est décroissante ?

d) Dresser le tableau de variations de la fonction

P (t )

sur son domaine

] ^{0 , +∞} [

. 3. Etude des points d’extremum de la fonction

P (t )

:

a) Quelles sont les conditions d’extremum d’une fonction ? b) A quel moment

t

m la puissance

P (t )

est maximale ? 4. Tangente au graphique et développement limité :

a) Entre quelles limites varie la puissance

P (t )

dans l’intervalle de temps ?

(On utilise .)

[ s s

t ∈ 10 , 20 ]

135 .

2

≈ 0 e

−

b) Sachant que l’équation de la tangente au graphique d’une fonction f, au point d’abscisse

t

0 est:

) ( ' ) ( )

( t

₀

t t

₀

f t

₀

f

y = + −

déterminer l’équation de la tangente en

t

₀

= 10

au graphique de la fonction

P (t )

. c) Cette tangente passe-t-elle par l’origine du repère orthonormé ?

d) Quel type de fonction représente cette tangente ?

e) Déterminer le développement limité à l’ordre 5, de

P (t )

, en

t = 0

. (Utiliser le formulaire)

Exercice 2) (9 points)

On considère un filtre dont la fonction de transfert

T

est définie sur l’intervalle

] 0 ; +∞ [

par la fonction:

1 2 )

( ω ω ω

j k T j

−

= −

,

où

k

est un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 et

j

est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est

2

π

. En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert

H

est définie sur

] 0 ; +∞ [

par :

( ( ) )

³

)

( ω T ω

H =

.

1. On note

ρ ( ω )

le module de

H ( ω )

:

ρ ( ω ) = H ( ω )

. a) Montrer que le module de

T ( ω )

est :

1 4 )

( ω

2

ω ω

+

= k

T

.

b) En déduire la formule du module

ρ ( ω )

, de

H ( ω )

. 2. Calcul d’un argument de

H ( ω )

:

a) Justifier qu’un argument du nombre complexe

( ^{− j ω k} )

^{3 est}

2 π

.

b) Justifier qu’un argument du nombre complexe

1 ω 2

− j

est égal à

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

arctan ω 2

.

c) En déduire qu’un argument de

H ( ω )

, noté

ϕ ( ) ω

, est défini sur

] 0 ; +∞ [

par la fonction :

( ) _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= 3 arctan 2 2

ω ω π

ϕ

.

3. Etude de la fonction

ϕ ( ) ω

:

a) En utilisant le graphique de la fonction arctan(x), donné en Annexe1, déterminer les limites de la fonction

ϕ ( ) ω

en 0 et en

+ ∞

.

b) En utilisant le formulaire, calculer la dérivée

^{ϕ '} ( ) ^ω

de la fonction

^ϕ ( ) ^ω

^.

c) Déterminer le signe de la dérivée

ϕ ' ( ) ω

sur l’intervalle

] 0 ; +∞ [

.

d) En utilisant les résultats de la question 3, compléter le tableau de variations suivant pour la fonction

ϕ ( ) ω

.

ω ] 0

+ ∞

( )

ϕ ω ' ] ] ( ) ω ϕ

4. Dans cette question, on considère pour la constante

k

la valeur

k=0,9.

Lorsque

ω

décrit l’intervalle

] 0 ; +∞ [

, le point d’affixe

H ( ) ω

décrit dans le plan complexe la courbe

C,

donnée dans l’Annexe 2.

On note

ω

₀la valeur de

ω

pour laquelle le module de

^H ( ) ^ω

est égal à 1.

a) Placer le point

M

₀, d’affixe

H ( ) ω

₀ sur la courbe donnée dans l’Annexe 2.

b) Calculer une valeur du nombre

ω

₀ arrondie à 10^-2 près (

k=0,9)

.

Annexe 1 :

Le graphique de la fonction arctan(x)

-10 -5 5 10 x

-^p 2 p 2 ArctanH^xL

Annexe 2 :

^{La c ur e} o b

C ,

de la fonction

H ( ) ω

, quand

ω

décrit l’intervalle

] 0 ; +∞ [

.

C -1

1 2 3 4 Re H ^H H ^w LL

-4 -3 -2 -1 1

Im H ^H H ^w LL