Télémétrie laser et cinématique relativiste

Télémétrie laser et cinématique relativiste

Jean Parizet, 20 mai 2008

Début de Topométrie : mesure des distances Didier Bouteloup IGN/ENSG.

Les mesures de distances électroniques datent de la 2ème guerre mondiale avec l’apparition des radars. Les premiers distance-mètres à usage géodésique apparaissent aux environs de 1960 (Géo- dimètre - Telluromètre), ils permettent de mesurer des distances de plusieurs dizaines de km quasi instantanément, alors qu’elles auraient nécessité auparavant plusieurs mois à plusieurs personnes (bases mesurées au fil invar).

On mesure le temps de propagation aller-retour d’un train d’onde à très grosse énergie émis en très peu de temps. Cette méthode est utilisée pour les distances (terre lune-terre satellites) énormes mais également dans les dispositifs de mesures sans prisme. L’équation d’une telle mesure s’exprime simplement : D=¹₂.c.∆t.

Pour obtenir un appareil de mesure d’une précision de l’ordre de 1mm à 100m, il faut mesurer le temps avec une précision de l’ordre de 10⁻⁵s et une résolution de l’ordre de 10⁻¹²s.

Vérifions que ce principe de télémétrie s’explique en cinématique relativiste.

1 Conventions géométriques

L’espace temps E est muni de la forme de Minkovski Q de forme bilinéaire as- sociée Φ, avec orientations temporelle et spatiale. Un point de E (événement) peut être repéré à partir d’un point O₀ et d’une droite issue de O₀ orientée vers le futur parτ unitaire ; cette droite est considérée comme la droite d’univers D(O) d’un ob- servateur galiléen O et l’abscisse sur la droite d’origine en O₀ selon τ est le temps propre de l’observateur.

Un point M de l’espace temps est alors repéré en considérant l’hyperplan affine issu de M de direction l’hyperplan E_τ Φ-orthogonal àD(O) qui rencontre cette droite en O_t (d’abscisse t) d’où M=O₀+tτ+~r avec ~r ∈E_τ; cet hyperplan est l’espace de O à l’instantt de son temps propre que l’on noteE_t(O).

Si la droite (O₀M) appartient au cône de lumière de sommet O :Q(M−O0)qui est nulle s’écrit : t²− ||~r||²= 0.

Si M est mobile de courbe d’univers une droite temporelleD(M), c’est un obser- vateur galiléen. En effet en la paramétrant par le temps propre de O

M(t) = O₀+tτ +~r(t) avec d²M

dt² = d²~r(t) dt² = 0 soit~r(t) =~r₀+t~voù ~r₀ et~v sont des vecteurs de E_τ.

Interprétons par rapport à O :M(t)−Ot=~r0+~vt; ainsi dans l’espace propre de O le mouvement de M est rectiligne uniforme de vitesse~v par rapport à O.

La quadrivitesse de M est le vecteur unitaire orienté, commeτ, vers le futur ; à priori t⁰ étant le temps propre de M,dM/dt=τ⁰ est unitaire or :

τ⁰ = dM

= dM

· dt

= dt

(τ +~v)

PuisqueQ(τ⁰) = 1,Q(τ+~v) = 1− ||~v||² :τ⁰ =γ(τ+~v) avec γ²(1− ||~v||²) = 1 donc γ >0 etdt=γdt⁰.

Il est commode de faire intervenir la Φ-perpendiculaire commune à D(O) et D(M)

—ce qui permet de préciser la derniére relation—. Soit t0 tel que~a=~r0 +~vt0 soit orthogonal à~v (en supposant~v non nul sinon O et M sont en repos relatif), c’est à dire ||~v||²t₀ = −~r₀·~v, et en prenant O_t0 et M(t₀) pour origines des temps propres des observateurs il vient

M(0) = O₀+~anoté M₀,M(t) = O₀+tτ +~a+~vt= M₀+t(τ +~v)

ou encore M(t) = M₀ + (t/γ)(τ +~v) = M₀ +t⁰(τ +~v) avec t⁰ = t/γ qui précise dt = γdt⁰. Remarquons que ~a orthogonal à ~v est aussi Φ-orthogonal à τ car dans E_τ, donc aussi à τ⁰ : la droite (O₀ M₀) est Φ-perpendiculaire commune aux droites d’univers. On pose~v=v~i(~iunitaire de E_τ) vitesse de M par rapport à O ; de même avec~i⁰ =γ(~i−vτ) (unitaire), −v~i⁰ est la vitesse de O par rapport à M.

Avec ce choix des origines temporelles, puisque M_t⁰ = O_t−tτ +~a+t⁰τ⁰ : M_t⁰ ∈ E_t(O)⇔Φ(−tτ +~a+t⁰τ⁰, τ) = 0 ou t=γt⁰,

Ot∈ E_t⁰(M)⇔Φ(−tτ +~a+t⁰τ⁰, τ⁰) = 0 ou t⁰ =γt.

2 Émission d’un éclair lumineux de O vers M

Supposons qu’à l’instanttdu temps propre de O celui-ci envoie un éclair lumineux vers M qu’il atteint à l’instant t⁰ du temps propre de M. Puisque

Q(M_t⁰ −O_t) =t²−2γtt⁰+t⁰²−a² où a=||~a||, t⁰ est la racine de

t⁰²−2γtt⁰+t²−a² = 0 (1)

vérifiant Φ(−−−→

O_tM_t⁰, τ)<0d’où avec γ²−1 =γ²v² t⁰ =γt+p

γ²t²−t²+a² soit t⁰ =γt+p

γ²t²v²+a².

γt⁰ étant l’instant pour O dans son temps propre où le éclair atteint M, la durée de son trajet pour O est

∆t=γt⁰−t=γ²v²t+γp

γ²t²v²+a².

Réflexion de l’éclair vers O

L’éclair reçu en M_t⁰ est renvoyé vers O qu’il atteint à l’instantt⁰⁰ du temps propre de O. Comme précédemmentt⁰⁰ est racine de

t⁰⁰²−2γt⁰t⁰⁰+t²−a² = 0 (2)

En éliminanta² entre (1) et (2) :t⁰⁰²−t²−2γt⁰(t⁰⁰−t) = 0 soit puisquet⁰⁰6=t t⁰⁰ = 2γt⁰−t=t+ 2∆t

Or en résolvant (1) par rapport à t(qui doit vérifier t < γt⁰) t=γt⁰−p

γ²t⁰²v²+a² d’où

∆t=p

γ²t⁰²v²+a². Interprétation en terme de distance

Considérons dans l’espace temps l’éclair lumineux allant de O_t vers M_t⁰ puis réfléchi vers O_t⁰⁰.

- -

i

6

~ a

~ a Ot⁰⁰

τ

Oγt⁰

Ot

A0= M0

6 τ⁰ τ τ

v~i

A_γt0

Oγt⁰ milieu de [Ot Ot⁰⁰]

O0

Mt⁰

D(O) D(M)

6

v~i

τ⁰=γ(τ+v~i)

Plaçons nous dans l’espace physique de O à l’instant γt⁰ de son temps propre. S’y trouvent avec O_γt⁰ les points M_t⁰ et A_γt⁰ (A au repos par rapport à O et coïncidant à l’instant initial avec M₀) : ils forment un triangle rectangle car −−−−−→

A_γt⁰M_t⁰ = (γt⁰)v~i et que−−−−−→

O_γt⁰A_γt⁰ =~aestΦ-orthogonal à τ etτ⁰ donc à~i. Ainsi O_γt⁰M_t⁰ =p

γ²t⁰²v²+a² = ∆t= t⁰⁰−t 2 :

∆t= t⁰⁰−t

2 est la distance OM

dans l’espace de O à l’instant où l’éclair lumineux atteint M.

3 Télémétrie en cinématique galiléenne

Avec les notations précédentes, imaginons un éclair lumineux envoyé de O vers M en mouvement uniforme par rapport à O.

Á l’instant initial (du temps universel) M est en M(0) au pied de la perpendiculaire issue de O à la trajectoire rectiligne de M (on retrouve−−−−→

OM(0) =~a).

1.L’éclair est émis à l’instanttet atteint M à l’instant t+ ∆t.

6

O

• -

•

• M(0)

~a

v~i M(t) M(t+ ∆t)

La lumière (de vitesse 1) parcourt OM(t+ ∆t) dans le temps ∆t; dans le triangle rectangle OM(0)M(t+ ∆t):

(∆t)² =a²+v²(t+ ∆t)²

∆test la racine positive de l’équation

(1−v²)(∆t)²−2v²t∆t−a²−v² = 0 Siv>1 l’éclair ne rattrape pas M. Supposonsv <1 :

∆t= v²t+p

(1−v²)a²+v²t² 1−v²

Il est commode de poser γ² = 1/(1−v²):

∆t=γ²v²t+γp

a²+γ²v²t²= (γ²−1)t+γp

a²+γ²v²t² Ainsit+ ∆t=γh

γt+γp

a²+γ²v²t²i

=γt⁰

Remarquons que l’on retrouvet⁰temps propre de M de l’étude précédente lorsque l’éclair atteint M, et qu’alorst+ ∆t=γt⁰ est le temps propre de O à cet instant.

2.Puis l’éclair se réfléchit de M vers O. Pour préciser cette réflexion, deux points de vue sont possibles :

• ou le trajet lumineux inverse prend le même chemin que celui de l’aller et atteint O au bout du temps ∆t de l’aller ; et l’intervalle entre les deux éclairs émis et reçu en O donne comme précédemment le double de la distance OMt+∆t,

• ou on tient compte du mouvement de M. En repérant le mouvement par rapport à M on est amené à considérer O en mouvement de vitesse −v~i et on reprend les calculs précédents en changeantten t+ ∆t=t1.

Représentons le mouvement de O par rapport à M, avec les différentes positions de O aux tempst,t₁ ett₁+ ∆t₁

? O(0)

•

• +

• O(t1)

−~a

-v~i

M

O(t) O(t1+ ∆t1)

Alors

∆t₁= (γ²−1)t₁+γp

a²+γ²v²t²₁>∆t

Dans ce cas le demi écart entre les deux éclairs émis et reçu en O est la moyenne des distances de O à M(t+ ∆t) et de O à M(t1+ ∆t1).

Le premier point de vue est celui généralement admis. Il est plus simple et aussi implicitement en accord avec la cinématique relativiste :

1) supposer que le temps du trajet de l’éclair réfléchi est celui de l’incident revient à supposer que la vitesse de M n’influe pas sur celle de la lumière,

2) t+∆tett⁰ sont en cinématique relativiste les temps propres de O et M lorsque l’éclair émis par O rencontre M,

3) et ∆t=OM(t+ ∆t) =O_γt⁰M_t⁰.

Remarque Lorsque O et M sont en repos relatif, il est clair que l’on obtient le même résultat dans les deux points de vue :

en cinématique classique , en notant −−→

OM =~a, de module a>0, ∆t=a, et en cinématique relativiste avec

−−−−−−−−−−→

O(t)M(t + ∆t) =−−−−−−→

O(t)O(0) +−−−−−−→

O(0)M(0) +−−−−−−−→

M(0)(M(t) +−−−−−−−−−−−→ M(t)M(t + ∆t)

=−tτ +~a+tτ+ ∆t τ soit

−−−−−−−−−−→

O(t)M(t + ∆t) =~a+ ∆t τ d’où Q(−−−−−−−−−−→

O(t)M(t + ∆t)) = (∆t)²−a² = 0 =⇒∆t=a

Considérons maintenant un exemple connu faisant intervenir encore des éclairs lumineux et permettant comme précédemment de voir les différences entre traitement classique et traitement relativiste.

4 À propos d’une expérience ferroviaire imaginée par Einstein

Einstein imagina l’expérience de pensée suivante¹.

Sur le quai d’une gare se trouve un observateur O situé exactement au milieu de deux émetteurs d’éclairs lumineux A et B. À un même instant (pour O) ces derniers émettent deux éclairs qui donc arrivent simultanément en O.

Supposons qu’un train traverse la gare à grande vitesse, allant de A vers B, et que lorsque le contrôleur M du train passe juste devant O il reçoit les deux éclairs. Pour M les émissions de ces éclairs sont-elles simultanées ? En le temps propre de O :

∆t=tB−tA= 0.

Selon le raisonnement d’Einstein, avant que M passe devant O il était plus proche de A que de B. L’éclair émis par B ayant un trajet plus long que celui émis par A —donc durant un temps plus long car les deux éclairs se propagent à la même vitesse de la lumière par rapport à O et à M— ils parviennent simultanément en O et M lorsqu’ils sont en vis à vis ; ainsi B a dû émettre son éclair pour M avant A et dans le temps propre de M : ∆t⁰ =t⁰_B−t⁰_A<0.

Reprenons la question en cinématique relativiste puis en cinématique classique.

1. Dans l’espace propre de O, O est au milieu de [AB] segment parallèle au quai de la gare (dans la traversée de la gare le train a une trajectoire parallèle au quai).

Notons −→

OA =−d~i, −→

OB =d~i (~i unitaire). M₀ étant la position de M lorsqu’il passe

1cf J. Hadlik et M ChrysosIntroduction à la relativité restreinteDunod 2001

en face de O (M₀ et O₀ sont à l’origine des temps propres de M et de O), ce point est dans l’espace de O à cet instant ; posons² −−−→

OM₀ =a~j (~j unitaire et orthogonal à

~i). Les horloges en A,O et B sont synchronisées.

Dans l’espace temps, τ et τ⁰ sont les quadrivitesses de O (et de A et B) et de M. v ,étant la vitesse de M par rapport à O : τ⁰ = γ(τ +v~i) où γ positif vérifie γ²(1−v²) = 1.

2.Considérons les éclairs lumineux issus de A et B, et atteignant O et M à l’instant 0 (pour l’un et l’autre des temps propres).

Éclats vers O₀.

tétant l’instant d’émission de l’éclair issu de A, le vecteur

O₀−A_t= O₀−A₀+ A₀−A_t=−tτ +d~i est isotrope :t² =d²ett <0 car orienté vers le futur donct=−d. Ce vecteur s’écritd(τ+~i), et l’éclair issu de B vers O₀ correspond au vecteurO0−B−d =d(τ −~i)(en changeant~ien -~i).

Éclats vers M₀.

De manière analogue, t étant l’instant d’émission de l’éclair issu de A, le vecteur correspondant à l’éclair parvenant en M₀

M₀−A_t=−tτ +d~i+a~j est isotrope orienté vers le futur sit₁ =−√

d²+a². Et de même M0−Bt=−tτ −d~i+e~j

avec la même valeur t1 =−√

d²+a² de t correspond à l’éclair issu de B atteignant M₀.

Illustrons par une figure :

6

* a~j

D(M) D(O)

I

-

1 τ

~i τ⁰

~i⁰

O0

A0 B0

At₁ Bt₁

M−d/γ

O−d

B−d

A−d

M0

D(A) D(B)

*

*

*

M_t⁰

B

M_t⁰

A

M

3. Les droites de la figure issues de A_t1 et B_t1 joignent ces points aux positions de M correspondant aux départs des éclairs dans les espaces des positions de M.

Pour l’éclair issu de A, t⁰_Aétant l’instant propre de M à son émission, le vecteur de genre espace−−−−−→

At1M_t⁰

A =−t₁τ +d~i+a~j+t⁰_Aτ⁰ de E_t⁰

A(M)

2pour éviter une collision

estΦ-orthogonal à τ⁰. Or³ τ =γ(τ⁰−v~i⁰),~i=γ(~i⁰−vτ⁰) d’où Φ(−−−−−→

A_t1M_t⁰

A, τ⁰) =−γt₁−dγv+t⁰_A= 0⇒t⁰_A=γ(t₁+dv) et alors : −−−−−→

A_t1M_t⁰

A =γ(vt₁+d)~i⁰+a~j —d’où la construction de M_t⁰

A. De manière analoguet⁰_B =γ(t1−dv), −−−−→

Bt1M_t⁰

B=γ(vt1−d)~i⁰+e~j.

−−−−−→

At1M_t⁰

A+−−−−→

M_t⁰

BBt1 = 2γd~i⁰, et2γdest la longueur de AB dans l’espace de M car

−→AB = 2d~i= 2dγ(~i⁰−vτ⁰).

On retrouve l’intuition initiale : ∆t⁰ = t⁰_B−t⁰_A = −2γd v < 0. Les émissions si elles sont simultanées pour O, situées dans E_t1(O), elles ne le sont pas pour M car situées dansE_t⁰

A(M)etE_t⁰

B(M)espaces propres différents du fait du mouvement de M par rapport à O.

En cinématique classique

- 6 a~j

O M(0)

A B

d~i

I

Le temps est le temps universel. Les deux éclairs qui partent de A et B atteignent simultanément M à l’instantt= 0. Selon la symétrie leurs départs sont aussi simul- tanés et la durée de leurs trajets est AM(0) (la vitesse de la lumière étant l’unité) :

AM(0)=√

d²+a² et on retrouve t₁ =−√

d²+a².

Remarquons que t⁰_A'γt1 't⁰_B (on voit encore intervenir le "cœfficient relativiste"

entre les temps propres) car t⁰_A γt1

= 1 +dv t1

et dv

|t₁| = dv

√

d²+a² < v : pour un TGV ( roulant à 180 km/h)

v= 1.67 10⁻⁷. Sid= 100meta= 10mavec√

d²+a² '100,5: t₁ '459,2ns, et l’erreurt⁰_A−γt₁ est de l’ordre de0,1ps (γ−1'v²/2 = 1.4 10⁻¹⁴).

· · − · · · − · · − − − · · − · − · − · ··

3avec~i⁰=γ(~i+vτ),(τ,~i,~j, ~k)et(τ⁰,~i⁰,~j, ~k)sontQ-orthonormées directes.