Roméo veut offrir un bouquet de fleurs à sa bien-aimée. Le fleuriste lui propose :
un bouquet composé de 8 iris et de 5 roses, pour un prix total de 142 francs ;
un bouquet composé de 5 iris et de 7 roses, pour un prix total de 143 francs.
Calculer le prix d'un iris et le prix d'une rose.
Pour cela, vous appellerez x le prix d'un iris et y celui d'une rose, puis vous mettrez ce problème en équation. Enfin, vous vérifierez votre réponse par un calcul que vous écrirez sur la copie.
Correction :
Soit x le prix d'un iris et y celui d'une rose.
un bouquet composé de 8 iris et de 5 roses, pour un prix total de 142 francs donc 8x + 5y = 142
un bouquet composé de 5 iris et de 7 roses, pour un prix total de 143 francs donc 5x + 7y = 143
On obtient donc le système d équations suivant :
143 7
5
142 5
8 y x
y x
La méthode la plus "simple" est ici la méthode de combinaisons linéaires :
14 40 9
350 710
31 14
43414 710 25
40
434 31
710 25
40
710 1144 )
25 40 ( 56 40
710 25
40 1144 56
40
710 25
40
143 8 7 8 5 8
142 5 5 5 8 5
143 7
5
142 5
8
y x
y x
y y x
y x y
x
y x y x
y x
y x
y x
y x
y x
Vérification :
89 + 514 = 72 + 70 = 142 59 + 714 = 45 + 98 = 143
Le prix d'un iris est de 9F et celui d'une rose est de 14F.
Exercice : (Lyon 96)
Au restaurant la famille Metz a payé 224 F pour trois menus « Adulte » et un menu « Enfant
». La famille Walter a payé 188 F pour deux menus « Adulte » et deux menus « Enfant ».
1) En appelant x le prix d'un menu « Adulte » et y le prix d'un menu « Enfant », écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
2) Résoudre le système.
3) Donner le prix du menu « Adulte » et celui du menu « Enfant ».
Correction :
1)Soit x le prix d'un menu « Adulte » et y le prix d'un menu « Enfant»
Au restaurant la famille Metz a payé 224 F pour trois menus « Adulte » et un menu «Enfant».
Donc 3x + y = 224
La famille Walter a payé 188 F pour deux menus « Adulte » et deux menus « Enfant ».
Donc 2x + 2y = 188 soit x + y = 94 On obtient donc le système :
224 3
94 y x
y x
2)Par substitution de y :
2 65 130
29 65 94
94 224 2
94
224 ) 94 ( 3
94 224 3
94
x y
x
x y
x x
x y
y x
y x
Vérification : 65 + 29 = 94
365 + 29 = 195+29 = 224
3) le prix du menu « Adulte » est de 65F et celui du menu « Enfant » est de 29F.
Exercice : (Limoges 98)
Le périmètre d'un rectangle de longueur x et de largeur y est 140 mm.
En doublant la largeur initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le périmètre est égal à 176 mm.
Quelles sont les dimensions x et y du rectangle initial ? Correction :
Soit x la longueur du rectangle et y sa largeur (longueurs exprimées en mm) Le périmètre d'un rectangle de longueur x et de largeur y est 140 mm.
Donc 2x + 2y = 140 soit x + y = 70
En doublant la largeur initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le périmètre est égal à 176 mm.
2(2x) + 2(y - 7) = 176
soit 4x + 2y - 14 = 176 ou encore 4x + 2y=190 soit 2x + y = 95.
On obtient donc le système :
95 2
70 y x
y x
On le résout par substitution :
25 70 95
45 25 70 70
70 95 ) ( 2
x x y
y x y x
Le rectangle a donc pour largeur 25mm et pour longueur 45mm Vérification :
225 + 245 = 50 + 90=140 250 + 2(45-7)=100 + 76=176 Exercice : (Antilles 99)
Chez le fleuriste, un bouquet composé de 5 roses et de 3 glaieuls coûte 136 F. Un autre bouquet, composé de 2 roses et de 6 glaieuls, coûte l12 F.
Calculer le prix d'une rose et celui d'un glaieul.
Correction :
Soit x le prix d'une rose et y celui d'un glaieul.
Chez le fleuriste, un bouquet composé de 5 roses et de 3 glaieuls coûte 136 F.
Donc 5x + 3y = 136
Un autre bouquet, composé de 2 roses et de 6 glaieuls, coûte l12 F.
Donc 2x + 6y = 112 soit x + 3y = 56 On obtient donc le système suivant :
136 3
5
56 3
y x
y x
On le résout par combinaisons linéaires :
20 3 12
20 56
4 20 80
56 3 20
80 4
56 3
56 136 ) 3 ( 3 5
56 3 136 3
5
56 3
x y x
y x
y x
y x y x
y x y x
y x
Vérification :
20 + 312 = 20 + 36 = 56 520 + 312 = 100 + 36= 136
le prix d'une rose est de 20F et celui d'un glaieul est de 12F.
Exercice : (Rouen 98)
La somme de deux nombres est 134 ; leur différence est 126.
Trouver ces deux nombres en expliquant vos calculs.
(On peut appeler x et y les nombres cherchés et résoudre le système obtenu.)
Correction :
Soient x et y les nombres cherchés (x étant plus grand que y) La somme de deux nombres est 134 ;
Donc x + y = 134 leur différence est 126.
Donc x - y=126 On a donc le système :
126 134 y x
y x
On le résout par combinaisons linéaires :
130 4 126 126
2 4 8 126 8 2
126
126 134 ) (
y x
y y x
y
y x
y x y x
Vérification : 130+4=134 130-4=126
Les 2 nombres sont donc 134 et 126.
Exercice : (Asie 99)
Deux cahiers et trois stylos coûtent 60 F.
Trois cahiers et deux stylos coûtent 10 F de plus.
Calculer le prix d'un cahier et le prix d'un stylo.
Correction :
Soit x le prix d'un cahier et y celui d'un stylo.
Deux cahiers et trois stylos coûtent 60 F.
Donc 2x + 3y = 60
Trois cahiers et deux stylos coûtent 10 F de plus.
Donc 3x + 2y = 60 + 10 = 70
On obtient donc le système suivant :
70 2 3
60 3 2
y x
y x
On résout ce système par combinaisons linéaires :
6 18 32 140
8 140 8 4 6
5 8 40
140 4
6
40 5
140 4
6
140 180 ) 4 6 ( 9 6
140 4
6
180 9
6
70 2 2 2 3 2
60 3 3 3 2 3
70 2
3
x y x
y y x
y
y x
y x y x
y x
y x
y x
y x
y x
Vérification :
218 + 38 = 36 + 24 = 60 318 + 28 = 54 + 16 = 70
Le prix d'un cahier est de 18F et le prix d'un stylo est de 8F.
Exercice : (Lille 97)
Il manque deux lames à un petit « métallophone» : celle donnant le ré et celle donnant le si.
Les lames sont découpées dans une barre plate.
Les longueurs des lames et les notes correspondantes sont données dans le tableau suivant :
Note do ré mi fa sol la si do
Longueur (mm) 124 110 107 101 95 88
La longueur totale des lames est égale à 832 mm et la lame du ré a pour longueur 1,3 fois celle du si.
Trouver les longueurs des lames correspondant aux notes ré et si.
Correction :
Soit x la longueur de lame correspondant à ré et y la longueur des lame correspondant à si.
La longueur totale des lames est égale à 832 mm Donc 124 + x + 110 + 107 + 101 + 95 + y + 88 = 832 Soit x + y + 625 = 832 ou encore : x + y = 832 - 625 = 207 La lame du ré a pour longueur 1,3 fois celle du si.
Donc x = 1,3y
On obtient donc le système suivant :
117 90 3 , 1 3 , 1
3 90 , 2 207 3 , 1
207 3
, 1
3 , 1
y x
y y x
y y
y x
Vérification : 90 + 117 = 207 1,3 90 = 117
La longueur de lame correspondant à ré est 117mm et la longueur des lame correspondant à si est 90mm.
Exercice : (Caen 97)
Déterminer deux nombres sachant que leur somme est 286 et que si l'on divise le plus grand par le plus petit, le quotient est 4 et le reste est 21.
Correction :
Soit x le plus grand nombre et y le plus petit.
Leur somme est 286.
Donc x + y = 286
Si l'on divise le plus grand par le plus petit, le quotient est 4 et le reste est 21.
Donc 4y + 21 = x soit 4y - x = -21 On obtient donc le système :
21 4
286 x y
y x
On résout ce système par combinaisons linéaires :
5 53 265
233 53 286 286
286 21 5
286
286 21 ) ( 4
286 21 4
286
y y x
y y x
y x x y
y x x y
y x
Vérification : 233 + 53 = 286
Si je divise 233 par 53, "il y va" 4 fois et il reste 21.
Les 2 nombres sont 233 et 53.
Exercice : (Japon 97)
Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 cm. Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de 56 cm.
Correction :
Soit x la longueur du rectangle et y sa largeur.
Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 cm.
Don 2x + 2y = 36 soit x + y = 18
Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de 56 cm.
23x + 22y = 36+56 = 92 soit 6x + 4y = 92 ou encore 3x + 2y = 46 On obtient donc le système :
46 2 3
18 y x
y x
On le résout par substitution de x :
8 46 54
10 8 18 18
46 2 3 54
18
46 2 ) 18 ( 3
18 46 2 3
18
y y x
y y
y x
y y
y x
y x
y x
Vérification :
210 + 28 = 20 + 16 = 36 230 + 216 = 60 + 32 = 92
Le rectangle a pour longueur 10 cm et pour largeur 8cm.
Exercice : (Grenoble 99)
Les employés d'une petite entreprise sont classés en quatre catégories A, B, C et D.
Pour chaque catégorie, le salaire mensuel en francs de chaque employé, ainsi que le nombre d'employés, est donné dans un tableau.
Voici le tableau pour les mois de janvier et de février :
Catégorie A Catégorie B Catégorie C Catégorie D
Salaire mensuel en francs
7000 9000 10000 12000
Nombre d'employés en janvier
3 4 8 5
Nombre d'employés
en février 6 x y 7
1. Calculer le salaire mensuel moyen des employés de cette entreprise en janvier.
2. On sait qu’en février, il y a quatre fois plus d'employés dans la catégorie C que dans la catégorie B et que le montant total des salaires est de 273 000 F.
a) Exprimer y en fonction de x.
b) Calculer x et y.
Correction : 1)
20 9850 197000 5
8 4 3
12000 5
10000 8
9000 4 7000
3
Le salaire moyen en Janvier est de 9850 F.
2) a) y=4x
b) Le montant total des salaires est de 273 000 F
Donc 67000 + x9000 + y10000 + 712000 = 273000 Soit 9000x + 10000y = 273000-42000-84000=147000 En divisant par 1000, on obtient : 9x + 10y = 147 Finalement, on obtient le système suivant :
147 10
9
4 y x
x y
On le résout par substitution de y :
49 3
1474 3 12 4
147 49
4
147 4
10 9
4
x x y
x x y
x x
x y
Vérification : 12 = 34
93 + 1012 = 27 + 120 = 147
En Février, il y a donc 3 employés de la catégorie B et 12 employés de la catégorie C.
