ACAD´EMIE DE MONTPELLIER Session 2002
BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR
GEOMETRE TOPOGRAPHE
Epreuve : MATHEMATIQUES Dur´ee : 3 Heures Coefficient : 2
La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
L’usage du formulaire officiel de math´ematiques et des instruments de calcul est autoris´e.
- SUJET -
Exercice I (11 points)
Dans tout le probl`eme, le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;~ı , ~) (unit´e : 5 cm).
On consid`ere les droites (∆) et (∆0) d’´equations respectives x= 1 etx=−1.
Une droite variable (D) passant par O et de coefficient directeur t (t∈IR) coupe (∆) en P. La parall`ele `a (O;~ı) passant parP coupe (∆0) en P0.
1°) Faire une figure qui sera compl´et´ee dans les questions suivantes.
2°) SoitM(x;y) le projet´e orthogonal de P0 sur la droite (D).
a) D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs −→
OP et −−→
P0M.
b) En d´eduire que les coordonn´ees de M sont donn´ees par : x= t2−1
t2+ 1 ety=t.t2−1 t2 + 1. 3°) On d´esigne par (C) la courbe d´efinie param´etriquement par :x(t) = t2−1
t2+ 1 ety(t) =t.t2−1 t2+ 1 . a) En ´etudiant la parit´e des fonctions x et y, donner un intervalle d’´etude suffisant pour
l’´etude des variations de x et de y et pour le trac´e de (C).
b) V´erifier que
x0(t) = 4t
(t2+ 1)2 et y0(t) = (t2 + 2−√
5)(t2+ 2 +√ 5) (t2+ 1)2 . c) ´Etudier les variations des fonctionsx ety.
d) D´eterminer les points d’intersection de (C) avec l’axe (O;~ı) et les ´equations des tangentes
`
a (C) en ces points.
4°) Tracer la courbe (C) sur la figure du 1◦.
Exercice II (9 points)
L’espace est rapport´e `a un rep`ere orthonormal de sens direct (O;~ı , ~ , ~k).
Sur la sph`ere (Σ) de centre O et de rayon 1, on consid`ere les points :
N de coordonn´ees cart´esiennes (0 ; 0 ; 1) S de coordonn´ees cart´esiennes (0 ; 0 ;−1) A
8<
:
longitude 90◦ Est
latitude 30◦ Sud B
8<
:
longitude 0◦ latitude 0◦
Rappels : dans un triangle sph´erique (ABC), avec les notations usuelles, on a les relations :
cosa= cosbcosc+ sinbsinccos ˆA et sin ˆA
sina = sin ˆB
sinb = sin ˆC sinc. 1°) a) Faire une figure : placer les pointsN, S,A et B.
b) Justifier que les coordonn´ees cart´esiennes deAet deBsont respectivement 0 ;
√3 2 ; −1
2
!
et (1 ; 0 ; 0).
2°) D´eterminer les ´el´ements du triangle sph´erique (SAB).
3°) SoitT l’inversion de pˆole N et de puissance 4.
a) Quelle est l’image de la sph`ere (Σ) par l’inversion T ?
b) Soient A0 etB0 les images respectives deA et de B par l’inversion T. En utilisant la relation −−−→
N M0 = 4 N M2
N M−−→, o`u M0 d´esigne l’image par T d’un point M
quelconque, calculer les coordonn´ees cart´esiennes de A0 et de B0. Placer les points A0 etB0 sur la figure.
4°) a) En d´eduire la distanceA0B0.
b) Calculer la diff´erenced entre la distance A0B0 et la longueur du petit arc de grand cercle d’extr´emit´es A etB.
5°) La Terre est assimil´e `a la sph`ere (Σ), dont on exprime maintenant le rayon en kilom`etres, en prenant R = 6380 km.
Exprimer la diff´erence d en kilom`etres, arrondie au km pr`es.
