Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications

2020

Mathématiques 1

MP

4 heures Calculatrice autorisée

Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications

La première partie établit des résultats utiles dans les parties suivantes, qui sont indépendantes entre elles.

Notations

On note⌊𝑥⌋la partie entière du nombre réel𝑥, c’est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à𝑥. On note𝒫l’ensemble des nombres premiers.

On note𝑚 ∧ 𝑛le plus grand commun diviseur (pgcd) des entiers naturels𝑚et 𝑛.

Si𝑎et 𝑏sont deux nombres entiers relatifs, on note⟦𝑎, 𝑏⟧ = {𝑘 ∈ ℤ | 𝑎 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑏}. L’ensemble des matrices carrées de taille𝑛à coefficients dansℂest notéℳ_𝑛(ℂ).

La matrice identité deℳ_𝑛(ℂ)est notée𝐼_𝑛.

Le terme d’indice (𝑖, 𝑗) d’une matrice 𝑀 ∈ ℳ_𝑛(ℂ) est noté 𝑚_𝑖𝑗 et on note 𝑀 = (𝑚_𝑖𝑗)(𝑖,𝑗)∈⟦1,𝑛⟧², ou plus simplement𝑀 = (𝑚_𝑖𝑗)lorsque la taille de𝑀est implicite.

Pour 𝑛 ∈ ℕ^∗, on note 𝒟_𝑛 l’ensemble des nombres entiers naturels divisant𝑛 et on écrit∑

𝑑|𝑛

= ∑

𝑑∈𝒟_𝑛

la somme sur tous les nombres entiers naturels𝑑divisant𝑛.

Unefonction arithmétiqueest une fonction𝑓 : ℕ^∗→ ℂ. L’ensemble des fonctions arithmétiques est noté 𝔸. On dit qu’une fonction arithmétique𝑓 ∈ 𝔸estmultiplicativesi

{𝑓(1) ≠ 0,

∀(𝑚, 𝑛) ∈ (ℕ^∗)² 𝑚 ∧ 𝑛 = 1 ⟹ 𝑓(𝑚𝑛) = 𝑓(𝑚)𝑓(𝑛).

On note𝕄l’ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.

On note𝟏,𝛿et 𝐈les fonctions arithmétiques

𝟏 : ∣ℕ^∗ → ℂ

𝑛 ↦ 1 𝛿 : ∣

ℕ^∗→ ℂ

𝑛 ↦ {1 si𝑛 = 1 0 si𝑛 ⩾ 2

𝐈 : ∣ℕ^∗→ ℂ 𝑛 ↦ 𝑛 On remarque que ces trois fonctions arithmétiques sont multiplicatives.

Si𝑓et𝑔sont deux fonctions arithmétiques, leproduit de convolutionde𝑓et𝑔est la fonction arithmétique notée 𝑓 ∗ 𝑔définie par

∀𝑛 ∈ ℕ^∗, (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑

𝑑|𝑛

𝑓(𝑑)𝑔 (𝑛 𝑑) .

I Quelques résultats utiles

I.A – Propriétés générales de la loi ∗

Q 1. Vérifier que𝛿est un élément neutre pour la loi∗. Pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗, on note𝒞_𝑛= {(𝑑₁, 𝑑₂) ∈ (ℕ^∗)²| 𝑑₁𝑑₂= 𝑛}.

Q 2. Justifier que, pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑

(𝑑₁,𝑑₂)∈𝒞_𝑛

𝑓(𝑑₁)𝑔(𝑑₂).

Q 3. En déduire que∗ est commutative.

Q 4. De même, en exploitant l’ensemble 𝒞′_𝑛 = {(𝑑₁, 𝑑₂, 𝑑₃) ∈ (ℕ^∗)³ | 𝑑₁𝑑₂𝑑₃ = 𝑛}, montrer que ∗ est associative.

Q 5. Que peut-on dire de(𝔸, +, ∗)?

I.B – Groupe des fonctions multiplicatives

Q 6. Soient𝑓et 𝑔deux fonctions multiplicatives. Montrer que si

∀𝑝 ∈ 𝒫, ∀𝑘 ∈ ℕ^∗, 𝑓(𝑝^𝑘) = 𝑔(𝑝^𝑘), alors𝑓 = 𝑔.

Q 7. Soient𝑚et 𝑛deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que l’application 𝜋 : ∣𝒟_𝑛× 𝒟_𝑚→ 𝒟_𝑚𝑛

(𝑑₁, 𝑑₂) ↦ 𝑑₁𝑑₂ est bien définie et réalise une bijection entre𝒟_𝑛× 𝒟_𝑚et 𝒟_𝑚𝑛.

Q 8. En déduire que si𝑓 et𝑔sont deux fonctions multiplicatives, alors𝑓 ∗ 𝑔est encore multiplicative.

Q 9. Soit𝑓 une fonction multiplicative. Montrer qu’il existe une fonction multiplicative 𝑔 telle que, pour tout𝑝 ∈ 𝒫 et tout𝑘 ∈ ℕ^∗,

𝑔(𝑝^𝑘) = −

𝑘

∑

𝑖=1

𝑓(𝑝^𝑖)𝑔(𝑝^𝑘−𝑖) et qu’elle vérifie𝑓 ∗ 𝑔 = 𝛿.

Q 10. Que dire de l’ensemble𝕄muni de la loi∗? I.C – La fonction de Möbius

Soit𝜇la fonction arithmétique définie par

𝜇(𝑛) =

⎧{

⎨{

⎩

1 si𝑛 = 1

(−1)^𝑟 si𝑛est le produit de𝑟nombres premiers distincts

0 sinon

Q 11. Montrer que𝜇est multiplicative.

Q 12. Montrer que𝜇 ∗ 𝟏 = 𝛿.

Q 13. Soit𝑓 ∈ 𝔸, et soit𝐹 ∈ 𝔸telle que, pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,𝐹 (𝑛) = ∑

𝑑|𝑛

𝑓(𝑑). Montrer que, pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,

𝑓(𝑛) = ∑

𝑑|𝑛

𝜇(𝑑)𝐹 (𝑛

𝑑) . (I.1)

On note𝜑la fonction indicatrice d’Euler, définie par :

∀𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝜑(𝑛) = card{𝑘 ∈ ⟦1, 𝑛⟧ | 𝑘 ∧ 𝑛 = 1}.

Q 14. Démontrer que𝜑 = 𝜇 ∗ 𝐈.

I.D – Déterminant de Smith

Soient 𝑓 une fonction arithmétique,𝑛 ∈ ℕ^∗ et 𝑔 = 𝑓 ∗ 𝜇. On note𝑀 = (𝑚_𝑖𝑗) la matrice deℳ_𝑛(ℂ)de terme général𝑚_𝑖𝑗= 𝑓(𝑖 ∧ 𝑗). On définit aussi lamatrice des diviseurs𝐷 = (𝑑_𝑖𝑗)par :

𝑑_𝑖𝑗= {1 si𝑗divise𝑖, 0 sinon.

Soit𝑀 ′la matrice de terme général 𝑚′_𝑖𝑗= {𝑔(𝑗) si𝑗divise𝑖, 0 sinon.

Q 15. Montrer que𝑀 = 𝑀 ′𝐷^⊤, où𝐷^⊤ est la transposée de𝐷.

Q 16. En déduire que le déterminant de𝑀 vaut det 𝑀 =

𝑛

∏

𝑘=1

𝑔(𝑘). (I.2)

I.E – Séries de Dirichlet

Soit𝑓une fonction arithmétique. On définit, pour tout réel𝑠tel que la série converge, 𝐿_𝑓(𝑠) =

∞

∑

𝑘=1

𝑓(𝑘) 𝑘^𝑠 . On appelleabscisse de convergencede𝐿_𝑓

𝐴_𝑐(𝑓) = inf{𝑠 ∈ ℝ |la série∑𝑓(𝑘)

𝑘^𝑠 converge absolument}.

On convient que𝐴_𝑐(𝑓) = +∞s’il n’existe pas de réel𝑠tel que la série∑𝑓(𝑘)

𝑘^𝑠 converge absolument.

Q 17. Montrer que si𝑠 > 𝐴_𝑐(𝑓), alors la série∑𝑓(𝑘)

𝑘^𝑠 converge absolument.

Q 18. Soient𝑓et𝑔deux fonctions arithmétiques d’abscisses de convergence finies. Montrer que si, pour tout 𝑠 > max(𝐴_𝑐(𝑓), 𝐴_𝑐(𝑔)), 𝐿_𝑓(𝑠) = 𝐿_𝑔(𝑠), alors𝑓 = 𝑔.

Q 19. Soient𝑓et 𝑔deux fonctions multiplicatives d’abscisses de convergence finies. Montrer que, pour tout 𝑠 > max(𝐴_𝑐(𝑓), 𝐴_𝑐(𝑔)),

𝐿_𝑓∗𝑔(𝑠) = 𝐿_𝑓(𝑠)𝐿_𝑔(𝑠). (I.3)

II Matrices et endomorphismes de permutation

Dans cette partie𝑛est un entier naturel non nul.

On note 𝔖_𝑛 le groupe des permutations de ⟦1, 𝑛⟧. On notera la composition des permutations de manière multiplicative ; par exemple, si𝛾et 𝜎sont deux permutations de 𝔖_𝑛,𝛾³𝜎²= 𝛾 ∘ 𝛾 ∘ 𝛾 ∘ 𝜎 ∘ 𝜎.

On dit que deux permutations 𝜎 et 𝜏 de 𝔖_𝑛 sont conjuguées s’il existe une permutation 𝜌 ∈ 𝔖_𝑛 telle que 𝜏 = 𝜌𝜎𝜌⁻¹.

Pour ℓ ∈ ⟦2, 𝑛⟧, on rappelle que, dans 𝔖_𝑛, uncycle de longueur ℓ est une permutation𝛾 ∈ 𝔖_𝑛 pour laquelle il existeℓéléments deux à deux distincts𝑎₁, …, 𝑎_ℓ de⟦1, 𝑛⟧tels que

𝛾(𝑥) =

⎧{

⎨{

⎩

𝑥 si𝑥 ∉ {𝑎₁, …, 𝑎_ℓ}, 𝑎_𝑖+1 si𝑥 = 𝑎_𝑖 pour𝑖 ⩽ ℓ − 1, 𝑎₁ si𝑥 = 𝑎_ℓ.

L’ensemble Supp(𝛾) = {𝑎₁, …, 𝑎_ℓ} est appelé support du cycle 𝛾 et on note 𝛾 = (𝑎₁ 𝑎₂ ⋯ 𝑎_ℓ). On rappelle le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration.

Toute permutation𝜎 ∈ 𝔖_𝑛 se décompose de manière unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de cycles𝛾₁, …, 𝛾_𝑟 à supports disjoints :𝜎 = 𝛾₁⋯𝛾_𝑟.

À toute permutation𝜎 ∈ 𝔖_𝑛, on associe la matrice de permutation𝑃_𝜎= (𝑎_𝑖𝑗) ∈ ℳ_𝑛(ℂ)où 𝑎_𝑖𝑗= {1 si𝑖 = 𝜎(𝑗),

0 sinon.

II.A – Similitude de deux matrices de permutation

L’objectif de cette sous-partie est de démontrer la propriété (S) suivante.

Les matrices de permutations𝑃_𝜎 et 𝑃_𝜏 sont semblables si et seulement si les permutations 𝜎et 𝜏sont conjuguées.

Q 20. Pour toutes permutations𝜌,𝜌′ ∈ 𝔖_𝑛, montrer que𝑃_𝜌𝜌′ = 𝑃_𝜌𝑃_𝜌′. En déduire que, pour toutes permu- tations𝜎, 𝜏 ∈ 𝔖_𝑛, si 𝜎et 𝜏sont conjuguées alors𝑃_𝜎et 𝑃_𝜏 sont semblables.

Q 21. On considère, dans cette question uniquement, 𝑛 = 7 et les cycles 𝛾₁ = (1 3 7) et 𝛾₂ = (2 6 4). On considère également une permutation𝜌 ∈ 𝔖₇telle que𝜌(1) = 2,𝜌(3) = 6et𝜌(7) = 4. Vérifier que𝜌𝛾₁𝜌⁻¹= 𝛾₂. Q 22. Plus généralement, montrer que, dans𝔖_𝑛, deux cycles de même longueur sont conjugués.

Pour𝜎 ∈ 𝔖_𝑛 etℓ ∈ ⟦2, 𝑛⟧, on note𝑐_ℓ(𝜎)le nombre de cycles de longueurℓdans la décomposition de𝜎en cycles à supports disjoints. On note𝑐₁(𝜎)le nombre de points fixes de𝜎:

𝑐₁(𝜎) = Card{𝑗 ∈ ⟦1, 𝑛⟧, 𝜎(𝑗) = 𝑗}.

Q 23. Montrer que𝜎 ∈ 𝔖_𝑛 et𝜏 ∈ 𝔖_𝑛 sont conjugués si et seulement si, pour toutℓ ∈ ⟦1, 𝑛⟧,𝑐_ℓ(𝜎) = 𝑐_ℓ(𝜏 ). La matrice-ligne s’appelle le type cycliquede 𝜎. On vient donc de démontrer que

Pour tout𝜎 ∈ 𝔖_𝑛, on note𝜒_𝜎 le polynôme caractéristique de la matrice𝑃_𝜎:𝜒_𝜎(𝑋) = det(𝑋𝐼_𝑛− 𝑃_𝜎). Q 24. Soitℓ ∈ ⟦2, 𝑛⟧et soit𝛾 ∈ 𝔖_ℓ un cycle de longueurℓ. Montrer que𝜒_𝛾(𝑋) = 𝑋^ℓ− 1.

On pourra se ramener au cas𝛾 = (1 2 ⋯ ℓ)et considérer la matrice

Γ_ℓ=

⎛⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1

1 0 ⋯ ⋯ 0 0

0 1 ⋱ ⋮ 0

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮

⋮ ⋱ 1 0 0

0 ⋯ ⋯ 0 1 0

⎞⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_ℓ(ℂ).

Q 25. Montrer que si𝜎 ∈ 𝔖_𝑛, alors𝜒_𝜎(𝑋) =

𝑛

∏

ℓ=1

(𝑋^ℓ− 1)^{𝑐ℓ(𝜎)}.

On pourra justifier que𝑃_𝜎est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la formeΓ_ℓ (ℓ ⩾ 1), oùΓ_ℓ est définie ci-dessus siℓ ⩾ 2et où Γ_ℓ= (1)siℓ = 1.

Q 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de𝜒_𝜎 et de𝜒_𝜏, montrer que si𝑃_𝜎 et𝑃_𝜏sont semblables, alors, pour tout𝑞 ∈ ⟦1, 𝑛⟧,

𝑛

∑

ℓ=1 𝑞|ℓ

𝑐_ℓ(𝜎) =

𝑛

∑

ℓ=1 𝑞|ℓ

𝑐_ℓ(𝜏 ).

(On somme sur les valeurs deℓmultiples de 𝑞et appartenant à⟦1, 𝑛⟧.) Q 27. En déduire la propriété (S).

On pourra calculer𝑇_𝜎𝐷où𝑇_𝜎 est le type cyclique de𝜎et𝐷 est la matrice des diviseurs définies au I.D.

II.B – Endomorphismes de permutation

Dans cette sous-partie, 𝐸est un ℂ-espace vectoriel de dimension𝑛 ⩾ 1. On dit qu’un endomorphisme 𝑢de𝐸 est un endomorphisme de permutation s’il existe une base (𝑒₁, …, 𝑒_𝑛) de 𝐸 et une permutation𝜎 ∈ 𝔖_𝑛 telles que𝑢(𝑒_𝑗) = 𝑒_𝜎(𝑗) pour tout𝑗 ∈ ⟦1, 𝑛⟧.

On noteId_𝐸l’identité de𝐸.

On noteTr(𝑢)la trace d’un endomorphisme𝑢de𝐸et 𝜒_𝑢 son polynôme caractéristique.

Q 28. Montrer que𝑢est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice de permutation.

Q 29. Soit 𝑢 un endomorphisme de permutation de 𝐸. Montrer que 𝑢 est diagonalisable et que sa trace appartient à⟦0, 𝑛⟧.

Q 30. Soient 𝐴, 𝐵 deux matrices diagonalisables de ℳ_𝑛(ℂ). Montrer que 𝐴 et 𝐵 sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme caractéristique.

Q 31. Soit𝑢un endomorphisme de𝐸tel que𝑢²= Id_𝐸. Montrer que𝑢est un endomorphisme de permutation si et seulement siTr(𝑢)est un entier naturel.

Q 32. Étudier si l’équivalence de la question précédente subsiste lorsqu’on remplace l’hypothèse𝑢² = Id_𝐸 par𝑢^𝑘 = Id_𝐸 pour𝑘 = 3, puis pour𝑘 = 4.

Q 33. Soit𝑢un endomorphisme de𝐸. Montrer que𝑢est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il vérifie les deux conditions suivantes :

(a) il existe des entiers naturels𝑐₁, …, 𝑐_𝑛 tels que𝜒_𝑢=

𝑛

∏

ℓ=1

(𝑋^ℓ− 1)^𝑐ℓ ; (b) il existe𝑁tel que𝑢^𝑁= Id_𝐸.

Q 34. Soient𝑢et𝑣 deux endomorphismes de𝐸tels que, pour tout𝑘 ∈ ℕ,Tr(𝑢^𝑘) = Tr(𝑣^𝑘). Montrer que𝑢 et𝑣 ont même polynôme caractéristique.

Q 35. Soit𝑢un endomorphisme diagonalisable de𝐸. Montrer que𝑢est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il existe des entiers naturels𝑐₁, …, 𝑐_𝑛 tels que, pour tout𝑘 ∈ ℕ,

Tr(𝑢^𝑘) =

𝑛

∑

ℓ=1 ℓ|𝑘

ℓ𝑐_ℓ.

(On somme sur les valeurs deℓdivisant𝑘et appartenant à⟦1, 𝑛⟧.)

III Valeurs propres de la matrice de Redheffer

On définit la matrice de Redheffer par 𝐻_𝑛= (ℎ_𝑖𝑗)(𝑖,𝑗)∈⟦1,𝑛⟧² où

ℎ_𝑖𝑗=

⎧{

⎨{

⎩

1 si𝑗 = 1,

1 si𝑖divise𝑗et𝑗 ≠ 1, 0 sinon.

On définit également la fonction de Mertens 𝑀, en posant, pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝑀 (𝑛) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝜇(𝑘) où 𝜇 est la fonction de Möbius définie au I.C.

Q 36. Soient𝐴_𝑛 = (𝑎_𝑖𝑗)(𝑖,𝑗)∈⟦1,𝑛⟧² la matrice de terme général

𝑎_𝑖𝑗=

⎧{

⎨{

⎩

𝜇(𝑗) si𝑖 = 1, 1 si𝑖 = 𝑗,

0 sinon

et𝐶_𝑛 = 𝐴_𝑛𝐻_𝑛. En calculant les coefficients de 𝐶_𝑛, montrer quedet 𝐻_𝑛= 𝑀 (𝑛).

Pour le calcul du terme d’indice(𝑖, 𝑗)de𝐶_𝑛, on pourra distinguer le cas𝑖 = 𝑗 = 1, le cas𝑖 > 1,𝑗 = 1et le cas𝑖 > 1,𝑗 > 1.

On note𝜒_𝑛 le polynôme caractéristique de𝐻_𝑛, de sorte que 𝜒_𝑛(𝜆) = det(𝜆𝐼_𝑛− 𝐻_𝑛)pour tout réel𝜆.

Pour𝜆réel distinct de 1, on définit par récurrence la fonction arithmétique𝐛, en posant𝐛(1) = 1et, pour tout entier naturel𝑗 ⩾ 2,

𝐛(𝑗) = 1 𝜆 − 1 ∑

𝑑|𝑗, 𝑑≠𝑗

𝐛(𝑑).

On définit également la matrice𝐵_𝑛(𝜆) = (𝑏_𝑖𝑗)(𝑖,𝑗)∈⟦1,𝑛⟧² de terme général

𝑏_𝑖𝑗=

⎧{

⎨{

⎩

𝐛(𝑗) si𝑖 = 1, 1 si𝑖 = 𝑗, 0 sinon.

Q 37. En calculant le produit𝐵_𝑛(𝜆)(𝜆𝐼_𝑛− 𝐻_𝑛), montrer que 𝜒_𝑛(𝜆) = (𝜆 − 1)^𝑛− (𝜆 − 1)^𝑛−1

𝑛

∑

𝑗=2

𝐛(𝑗).

Dans toute la suite du problème, on suppose que𝜆est un réel distinct de 1 et on pose 𝑤 = 1 𝜆 − 1. On pose de plus𝐟 = (1 + 𝑤)𝛿 − 𝑤𝟏.

Q 38. Montrer que𝐟 ∗ 𝐛 = 𝛿.

Q 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la sous-partie I.E, exprimer, pour des valeurs du réel𝑠à préciser,𝐿_𝐟(𝑠)en fonction de𝑤et 𝐿_𝟏(𝑠).

On notelog₂ la fonction logarithme en base 2, définie parlog₂(𝑥) = ln(𝑥)

ln(2) pour tout réel𝑥 > 0.

Q 40. Montrer que, pour𝑠réel suffisamment grand, 1

𝐿_𝐟(𝑠)= 1 +

∞

∑

𝑚=2

𝑚^−𝑠

⌊log₂𝑚⌋

∑

𝑘=1

𝑤^𝑘𝐷_𝑘(𝑚)

où𝐷_𝑘(𝑚)est le nombre de manières de décomposer l’entier𝑚en un produit de𝑘facteurs supérieurs ou égaux à 2, l’ordre de ces facteurs étant important.

Q 41. Pour𝑛 ⩾ 1, on pose𝑆_𝑘(𝑛) =

𝑛

∑

𝑚=2

𝐷_𝑘(𝑚). Déduire de la question précédente que

𝜒_𝑛(𝜆) = (𝜆 − 1)^𝑛−

⌊log₂𝑛⌋

∑

𝑘=1

(𝜆 − 1)^{𝑛−𝑘−1}𝑆_𝑘(𝑛).

Q 42. Montrer enfin que𝐻_𝑛 possède 1 comme valeur propre et que sa multiplicité est exactement 𝑛 − ⌊log 𝑛⌋ − 1.