GMP - Maths S2- Séance 1. Généralités, ED du 1er ordre linéaires homogènes à coefficients constants.
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Exercice 1 - Compléter le tableau
Exercice 2 -
Exercice 3 - QCM
1) L’équation différentielle y’ – xy= 5 est :
linéaire homogène à coefficient constant du second ordre
2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ?
x−yy′=0 y′ − =xy x2 2y′ = y2 y x
′ + =y 0 3) L’équation différentielle y′′−x y2 ′+ + =y 1 0 est :
homogène du premier
ordre
à variables
séparables linéaire
4) Parmi les fonctions proposées, laquelle est une solution de xy′ + =y 1 ?
y= +1 x y= −1 x 1
y 1
= + x 1
y 1
= −x
Exercice 4 -
Trouver la solution des équations différentielles qui vérifie les conditions données :
. y′ + y=
a 3 0 et f (0) = 2
. 1y′ + y=
b 3 0
2 et f (0) = 1
Exercice 5 -
Population microbienne. La vitesse d’augmentation d’une population microbienne est à chaque instant proportionnelle – d’un facteur k – à la quantité de microbes vivants. Combien de temps faut-il pour dou- bler cette population ?
ordre linéaire linéaire ho- mogène
coefs cons- tants
yy ′ − = x
20
xy '
′′ + y1 = 0
xy ′ − = y
2 4
y ′ − = y sin x 2
y ′′ − + y ′ 2 y + = x 0
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Exercice 6 -
Dans cet exercice, les températures sont exprimées en degrés celcius et le temps en heures.
La vitesse de refroidissement de la surface d’un matériau est proportionnelle à sa différence de tempéra- ture avec l’air ambiant (maintenu ici à 20°C). Si on note T(t) la température de la surface au bout d’un temps t, alors on a :
(E) : T’(t) = –a(T(t) – 20) : ED linéaire non homogène où a est une constante réelle positive.
1) En notant y(t) = T(t) – 20, montrer que la fonction y vérifie : y’ = –ay.
2) Donner la solution générale y(t) et en déduire l’expression de T(t).
3) On constate que T(0) = 100 et T(0,25) = 60. Trouver les valeurs des constantes présentes dans l’ex- pression trouvée en question 3 puis écrire l’expression définitive T(t).
Exercice 7 -
La vitesse ( ) d’un objet relié à un parachute suit l’équation différentielle :
’( ) + ( ) =
où est la masse totale du système et est le coefficient d’accélération de la pesanteur.
1) Montrer qu’il existe une fonction constante solution particulière de cette équation différentielle.
2) Déterminer l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
3) Donner la solution de l’équation différentielle si on suppose la vitesse initiale nulle : (0) = 0.
4) Calculer la vitesse limite du système, c’est-à-dire lim
→ ( ).
5) Au bout de temps le système atteindra-t-il 90% de sa vitesse limite ?
