FONCTIONS DE REFERENCES
Chapitre 5 Fonctions de références
I. LA FONCTION CARREE
1. Qu’est-ce qu’une fonction paire ?
Définition
On dit qu’une fonction 𝑓 définie sur un intervalle 𝐼 est paire si et seulement si :
§ L’ensemble de définition 𝐼 est symétrique par rapport à zéro.
§ ∀𝑥 ∈ 𝐼 on a 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) Remarque
Dire que 𝐼 est symétrique par rapport à zéro signifie que si 𝑥 ∈ 𝐼 alors −𝑥 ∈ 𝐼. Par exemple ℝ est symétrique par rapport à 0 mais l’intervalle [−1; 2].
Exemple
La fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥! est paire car :
§ ℝ est symétrique par rapport à 0.
§ 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)!= 𝑥² Application
Démontrer que la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = "
#!$" est paire.
Propriété
La fonction 𝑓 est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
2. La fonction carrée
Définition
On appelle fonction carrée, la fonction définie sur ℝ par :
𝒇(𝒙) = 𝒙²
Propriété
La fonction carrée est une fonction paire, donc sa représentation est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Démonstration Voir en amont.
Variation
La fonction carrée est décroissante sur ]−∞; 0] et croissante sur [0; +∞[
Démonstration sur ]−∞; 𝟎]
Soit 𝑎 ∈ ]−∞; 0] et 𝑏 ∈ ]−∞; 0] tels que 𝑎 ≤ 𝑏. On a alors :
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑏!− 𝑎! = (𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎)
Comme 𝑎 et 𝑏 sont négatifs, et que la somme de deux nombres négatifs est négative, il est clair que 𝑏 + 𝑎) ≤ 0.
Par ailleurs on sait que 𝑎 ≤ 𝑏. Donc 𝑏 − 𝑎 ≥ 0
Enfin, comme le produit de d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif on a : 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎) ≤ 0
D’après la définition d’une fonction décroissante (voir le chapitre précédent), on peut affirmer que la fonction carrée est décroissante sur ]−∞; 0]
Application
Démontrer que la fonction carrée est croissante sur [0; +∞[.
3. Représentation graphique de la fonction carrée
Définition
La représentation de la fonction carrée est une parabole de sommet O, l’origine du repère.
Comme cette parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on cherchera des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les points symétriques.
Tableau de valeur :
II. FONCTION DU SECOND DEGRE
1. Définition
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme, la fonction 𝑓 définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥!+ 𝑏𝑥 + 𝑐 On précise que 𝑎 ≠ 0.
Vocabulaire
𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont appelés les coefficients du polynôme.
Voici trois exemples de fonction polynômes du second degré :
§ 𝑓(𝑥) = 3𝑥!− 4𝑥 + 2
§ 𝑔(𝑥) = 𝑥²
§ ℎ(𝑥) = 4𝑥!− 4 Application
Identifier les coefficients des trois fonctions polynômes du second degré de l’exemple précédent.
2. Forme canonique
Théorème
Toute fonction polynôme du second degré du style 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥!+ 𝑏𝑥 + 𝑐 peut se mettre sous forme canonique :
𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝜶)𝟐+ 𝜷
On précise que :
§ α = − &
!'
§ 𝛽 = 𝑓(𝛼) Exemple
On considère la fonction 𝑓(𝑥) = 5𝑥!− 4𝑥 + 2. Alors la forme canonique de cette fonction est : 5 H𝑥 −2
5I
!
+6 5 Où 𝛼 =!( et 𝛽 =)(
Application
Dans l’exemple précédent, vérifier que 𝑓(𝑥) = 5(𝑥 − 2)!+)
( et déterminer la forme canonique de la fonction du second degré suivante :
𝑔(𝑥) = −7
8𝑥!+1 3𝑥 − 4 Remarque
La forme canonique est pratique car elle fait apparaître les coordonnées du sommet. En effet, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole qui possède un sommet. Alors le point 𝑆(𝛼; 𝛽) est le sommet de cette parabole.
3. Variation et représentation de la fonction trinôme
La fonction trinôme a les mêmes variations que la fonction carrée si 𝑎 > 0 et des variations contraires si 𝑎 < 0.
La représentation de la fonction trinôme est une parabole dirigée vers le haut si 𝑎 > 0 et dirigée vers le bas si 𝑎 < 0.
Application
Dresser le tableau de variation de la fonction polynôme du second degré suivante : 𝑓(𝑥) = −2𝑥!+ 5𝑥 + 7
III. LA FONCTION INVERSE
1. Qu’est-ce qu’une fonction impaire ?
Définition
On dit qu’une fonction est impaire sur son ensemble de définition 𝐼 si et seulement si :
§ L’ensemble de définition 𝐼 est symétrique par rapport à « zéro ».
§ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) Exemple
La fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 sur ℝ et la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) ="
# sur ℝ∗ sont impaires. En effet :
𝑓(−𝑥) = −𝑥 = −𝑓(𝑥)
La courbe représentative d’une fonction impaire 𝑓 est symétrique par rapport à l’origine du repère, il s’agit d’une symétrie centrale (par rapport à un point).
2. Etude de la fonction inverse
Définition
On appelle fonction inverse, la fonction définie sur ℝ∗ par : 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙
Propriété
§ La fonction inverse est une fonction impaire comme vu précédemment.
§ La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞; 0[ et strictement décroissante sur ]0; +∞[.
Démonstration
Le premier point a été démontré en amont. Démontrons que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞; 0[.
Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels appartenant à l’intervalle ]−∞; 0[ tels que 𝑎 < 𝑏.
On calcule la différence suivante :
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) =1 𝑏−1
𝑎= 𝑎 𝑎𝑏− 𝑏
𝑎𝑏=𝑎 − 𝑏 𝑎𝑏
Or 𝑎 et 𝑏 sont tous les deux strictement négatifs puisqu’ils appartiennent à l’intervalle ]−∞; 0[. Par ailleurs, 𝑎𝑏 > 0 car le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif.
Par quotient d’un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif, on a : 𝑎 − 𝑏
𝑎𝑏 < 0 Par conséquent :
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) < 0 𝑓(𝑏) < 𝑓(𝑎)
On conclut donc que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞; 0[.
Application
A vous de démontrer qu’elle est strictement décroissante sur ]0; +∞[.
Ainsi, on obtient le tableau de variation suivant :
3. Représentation de la fonction inverse
Définition
La représentation de la fonction inverse est une hyperbole centrée à l’origine.
Comme cette hyperbole est symétrique par rapport à l’origine, on cherchera des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les points symétriques.
4. Fonction homographique
Définition
On appelle fonction homographique, une fonction 𝑓 définie sur ℝ\{𝛼} qui peut se mettre sous la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥 − 𝛼+ 𝛽
§ La représentation d’une fonction homographique est une hyperbole centrée en Ω(𝛼; 𝛽).
§ Si 𝑎 > 0, les variations de la fonction
homographique sont identiques à la fonction inverse.
§ Si 𝑎 < 0, les variations de la fonction
homographique sont contraires à la fonction inverse.
Application
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle tel que 𝐴𝐵 = 2 et 𝐴𝐷 = 1. A tout réel positif 𝑥, on associe le point 𝑀 tel que les points 𝐴, 𝐵 et 𝑀 sont alignés dans cet ordre avec 𝐵𝑀 = 𝑥. On note 𝐼 le milieu du segment [𝐵𝑀]. La droite (𝑀𝐶) coupe (𝐴𝐷) en 𝑁. Déterminer la position du point 𝑀 pour que 𝐷𝑁 = 𝐴𝐼. Voici une figure pour
IV. LA FONCTION RACINE CARREE
1. Etude de la fonction racine carrée
Définition
On appelle fonction racine carrée, la fonction définie sur ℝ+ par : 𝑓(𝑥) = √𝑥 Propriété
La fonction racine carrée est croissante sur ℝ+ Démonstration
Soient deux réels 𝑎 et 𝑏 appartenant à l’intervalle ℝ+ tels que 𝑎 < 𝑏.
On calcule la différence suivante :
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = √𝑏 − √𝑎 =^√𝑏 − √𝑎_ × ^√𝑏 + √𝑎_
1 × √𝑏 + √𝑎 =√𝑏!− √𝑏!
√𝑏 + √𝑎 = 𝑏 − 𝑎
√𝑏 + √𝑎 Comme la racine d’un nombre positif est toujours positive, on a √𝑏 + √𝑎 > 0.
Comme 𝑎 < 𝑏 alors 𝑏 − 𝑎 > 0.
Or le quotient de deux nombres positifs est strictement positif. Donc : 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑏 − 𝑎
√𝑏 + √𝑎> 0 Donc la fonction racine carrée est croissante sur ℝ+
Ainsi on a :
2. Représentation
Théorème
La représentation graphique de la fonction racine carrée est une demi-parabole.
V. LA FONCTION CUBE
1. Etude de la fonction cube
Définition
On appelle la fonction cube, la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥, Propriété
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère. En effet, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, on a :
𝑓(−𝑥) = (−𝑥), = −𝑥 × (−𝑥)!= −𝑥,= −𝑓(𝑥) Propriété
La fonction cube est croissante sur ℝ.
Démonstration
Soient deux réels 𝑎 et 𝑏 appartenant à l’intervalle ℝ tels que 𝑎 ≤ 𝑏.
On calcule la différence suivante :
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑏,− 𝑎, = (𝑎 − 𝑏)(𝑎!+ 𝑎𝑏 + 𝑏!) Or 𝑎 − 𝑏 ≤ 0 car 𝑎 ≤ 𝑏.
Et 𝑎!+ 𝑎𝑏 + 𝑏! ≥ 0 car le carré d’un nombre est toujours positif et 𝑎 et 𝑏 sont de même signe.
Donc 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) ≥ 0 ainsi la fonction cube est croissante sur ℝ.
Ainsi :
La fonction cube étant impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. On calculera des points pour des abscisses positives, puis on prendra ensuite les symétriques par rapport à l’origine.
