Analyse 2

Analyse 2

Prs. Z. ABDELALI et A. ZOGLAT

Dép. de Maths FSR

SMIA :S2

Programme

CH1- Techniques d’Intégration

CH2- Intégrale de Riemann

CH3- Intégrale généralisée

CH4- Équations différentielles

CH4- Équations différentielles : Sommaire

1 Introduction

2 Solution d’une équation différentielle du premier ordre Équation à variables séparables

Équation différentielle linéaire du premier ordre

3 Méthode de la variation de la constante

4 Équation différentielle de second ordre à coefficients constants Résolution de l’équation sans second membre

Résolution de l’équation avec second membre

Introduction

Dans de nombreuses situations, la modélisation mathématique d’un problème naturel prend la forme d’une équation qui contient une fonction inconnue ainsi que quelque une des ces dérivées. Ceci n’a rien de

surprenant car souvent ,devant un phénomène qui change constamment, on cherche à prédire le future sur la base du présent. Pour illustrer cela, voici quelques exemples.

Exemples

Évolution d’une population

Le modèle d’évolution que nous considérons ici suppose que la population croît à un taux proportionnel à sa taille. Cette hypothèse semble

raisonnable pour une population qui vit dans des conditions idéales (environnement illimité, nourriture abondante, absence de prédateurs, immunité contre les maladies ...)

Si l’on note N(t)la taille de la population à l’instantt, le taux de croissance de la population est la dérivée dN

dt (t). Notre hypothèse s’écrit alors : dN

dt (t) =kN(t), oùk est une constante de proportionnalité.

Exemples

Mouvement d’un ressort

Considérons le mouvement d’un objet de masse m accroché au bout d’un ressort suspendu au dessus du sol.

Les lois de la Physique indiquent que si, à partir de la position d’équilibre, le ressort est soumis à une force qui l’allonge ou le contracte de x unités alors le ressort va exercer une force de réaction F qui est proportionnelle à x : F =−kx

où k est la constante de raideur du ressort.

Exemples

Mouvement d’un ressort

Si l’on ignore toutes les autres forces (résistance de l’air, frottement ...,) alors, by la seconde loi de Newton (Force=masse×accélération), on a :

md²x

dt²(t) =−kx(t).

Dans ce modèle, c’est la dérivée seconde de la positionx(t)qui est proportionnelle qui est proportionnelle à x(t).

Définitions

Définition

On appelle équation différentielletoute équation qui contient une fonction inconnue ainsi que quelques unes de ses dérivées :

h(f⁽ⁿ⁾(x),f⁽ⁿ⁻¹⁾(x),. . .,f(x),x) =0,

où h :Rⁿ⁺²→_R est une fonction donnée,f est la fonction inconnue que l’on cherche à déterminer,f^(k) sa dérivéek^èmeetx est la variable.

L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre le plus élevé des dérivées citées dans l’équation.

Exemples

Exemple

1- L’équation différentiellef⁰(x) +xf(x) =0est du premier ordre.

2- L’équation différentielley⁰⁰+2y⁰+xy−x=0est du second ordre.

3- L’équation différentielle

y⁽⁴⁾+e^x+1y⁰⁰+xy−cosx =0 est d’ordre 4.

Solution d’une équation différentielle du premier ordre

La solution d’une équation différentielle consiste à trouver l’ensemble des fonctions qui la vérifient. L’objet de ce cours est de présenter quelques méthodes classiques de résolution de certains types d’équations différentielles du premier et du second ordre.

Nous allons dans ce paragraphe présenter quelques méthodes de résolution d’équations différentielles de premier ordre.

Équation à variables séparables

Définition

Une équation différentielle du premier ordre est une fonction donnée, est dite à variables séparables s’il est possible de l’écrire sous la forme suivante :

y⁰(x)h(y(x)) =g(x), où h et g sont des fonctions connues.

Exemples

Exemple

a- L’équationy⁰ =xy est à variables séparables. En effet, elle peut s’écrire sous la forme y⁰

y =_x.

b- L’équationy⁰ =

√x

e^y+1 est à variables séparables.

c- L’équationy⁰ =√

x+_e^y+1 est à variables séparables.

solution

Soity⁰(x)h(y(x)) =g(x)une équation différentielle à variables séparables.

En intégrant, par rapport à x, les membres de l’équation on obtient : Z

y⁰(x)h(y(x))dx =

Z

g(x)dx.

Ainsi, si l’on note H et G des primitives respectives de h etg, on a : H(y(x)) =G(x) +C.

Cette solution “implicite” peut conduire à une solution explicite.

Exemples

Exemple

Résoudre l’équation différentielley⁰ =x²y. On a alors y⁰ =x²y ⇐⇒ ^y

0

y =x²

⇐⇒

Z y⁰ ydx =

Z x²dx

=⇒ ln|y(x)|= ^x

3

3 +C D’où : y(x) =k expx³

3 .

Exemples

Exemple

Résoudre l’équation différentielle dy

dx = ^6x

2

2y+cosy. On a dy

dx = ^6x

2

2y+cosy ⇐⇒ (3y+cosy)dy =6x²dx

⇐⇒

Z

(3y+cosy)dy =

Z

6x²dx

=⇒ y²+siny =2x³+C On obtient ici une solution implicite.

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Définition

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation différentielle de la formey⁰(x) =a(x)y(x) +b(x), oùa etb sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle ouvert donné de R. L’équation y⁰(x)−a(x)y(x) =0 est dite homogène. On l’appelle aussi l’équation sans second membre.

Remarque

Il est clair qu’une équation différentielle linéaire et homogène est une équation à variable séparables.

Théorème

Soit f₀ une solution particulière de l’équation différentielle

y⁰(x) =a(x)y(x) +b(x). Alors une fonctionf est solution de cette équation si, et seulement si, f −f₀ est une solution de l’équation sans second membre.

Démonstration.

=⇒

Évident.

⇐=

On a(f −f0)⁰(x) =a(x)(f −f0)(x)et f₀⁰(x) =a(x)f0(x) +b(x). On obtient le résultat en sommant les membres de ces égalités.

Remarque

Pour résoudre l’équation différentielle linéaire

y⁰(x) =a(x)y(x) +b(x), on procède suivant les étapes suivantes : 1- On résout d’abord l’équation sans secondy⁰(x)−a(x)y(x) =0.

2- On cherche une solution particulière de l’équation y⁰(x) =a(x)y(x) +b(x).

3- On calcule la somme des deux solutions précédentes et obtient la solution générale.

Exemples

Exemple 1

Soit l’équation différentielle xy⁰(x) =y(x) +x². L’équation homogène xy⁰(x)−y(x) =0 est à variables séparables, donc en séparant les variables puis en intégrant par rapport à x on obtient

ln|y(x)|=ln|x|+C, ou encore y(x) =Kx.

La fonction y₀(x) =x² est une solution solution particulière de l’équation.

D’après le théorème précédent, la fonction f(x) =Kx+x² est la solution générale.

Exemples

Exemple 2

Résoudre l’équation différentielle : y⁰(x)−2y(x) =x²e^2x Indication

Pour l’équation différentielle xy⁰(x) +ay(x) =P(x)_e^ωx, où a etω sont des constantes réelles etP(x) est une fonction polynomiale.

1- Siω 6=−a, on cherche une solution particulière de la formeQ(x)e^ωx, où Q(x)est une fonction polynomiale de même degré queP(x). 2- Si ω=−a, on cherche une solution particulière de la forme

x Q(x)e^ωx, où Q(x) est une fonction polynomiale de même degré

Exemples

Exemple 2 (suite)

La solution de l’équation homogène est y₀(x) =ce^−2x,où c est une constante. D’après l’indication, on doit chercher une solution particulière de la forme y_p(x) =bx³e^2x, avecb ∈_R. On a alors

y_p⁰(x)−2y_p(x) = (3bx²+2bx³−2bx³)e^2x =3bx²e^2x Ainsi, il suffit de prendre b = ¹

3 pour obtenir une solution particulière. La solution générale est donc donnée par :

yG(x) = ¹

3x³e^2x+ce^−2x,où c est une constante.

Exercices

1- Trouver la solution de l’équation différentielle x²y⁰+xy =1 définie pourx >0 et vérifianty(1) =2.

2- Résoudre l’équation différentielley⁰+2xy =1.

3- Résoudre l’équation différentiellex²y⁰+2xy =cos²x.

4- Résoudre l’équation différentielley⁰ =x+y sous la condition y(0) =2.

Méthode de la variation de la constante

Soit l’équation différentielle y⁰(x) +a(x)y(x) =b(x), où a,b :I →_R sont des fonctions continues.

La méthode de la variation de la constante, pour résoudre cette équation, consiste à :

1- Trouver la solution de l’équation homogèney⁰(x) +a(x)y(x) =0.

Notons y0 cette solution.

2- Trouver une solution particulière, de l’équation

y⁰(x) +a(x)y(x) =b(x), de la forme y_p(x) =u(x)y0(x), où u :I →_R est une fonction dérivable.

D’une part, y est solution de l’équationy⁰(x) +a(x)y(x) =b(x)si, est seulement si, y =y0+yp et d’autre part on a y0(x) =e^−Ra(t)dt. La méthode de la variation de la constante est donc un moyen pour déterminer une solution particulière.

La solution y_p =u(x)y0 vérifie l’équationy_p⁰ +a(x)y_p =b(x). Or y_p⁰ =u⁰(x)y0+u(x)y₀⁰. En remplaçant dans l’équation précédente, on obtientu⁰(x)y0 =b(x), d’où

u(x) =

Z b(x) y0(x)^dx.

Exemple

Soit l’équation différentielle

(E) y⁰ = ^xy

1+x² +x.

La solution de l’équation homogène y⁰

y = ^x

1+x² est donnée par y0(x) =C√

1+x²oùC ∈_Rest une constante.

Une solution particulière de(E)est donnée pary_p(x) =u(x)√ 1+x², où u(x) =

Z x

√1+x² =√

1+x²+C. Ainsi la solution générale de(E)est donnée par

y(x) =C√

1+x²+1+x², oùC ∈_Rest une constante.

Équation différentielle de second ordre à coefficients constants

Définition

On appelle équation différentielle de second ordre à coefficients constants toute équation de la forme y⁰⁰+by⁰+cy =a(x),où a:I →_R est une fonction continue et b et c sont des constantes réelles.

Pour résoudre une telle équation, on procède en deux étapes :

1- On cherche la solution y₀ de l’équation sans second membre, puis 2- une solution particulièrey_p de l’équation avec second membre.

Résolution de y

+ by

+ cy = 0

Définition

Une solution de l’équation différentielle y⁰⁰+by⁰+cy =0 st une fonction réelle y deux fois dérivable telle que, pour tout x ∈_R, on a

y⁰⁰(x) +by⁰(x) +cy(x) =0 . Proposition

Si y₁ ety₂ sont des solutions de l’équation différentielle y⁰⁰+by⁰+cy =0 et si αet βsont des nombres réels, alors la fonction αy1+βy2 est aussi solution de cette équation.

La démonstration de cette proposition est évidente.

Résolution de y

+ by

+ cy = 0

Remarque

Il est évident que la fonction nulley ≡0est solution de l’équation.

Ainsi l’ensemble des solutions de l’équationy⁰⁰+by⁰+cy =0est un sous-espace de l’espace vectorielle des fonctions réelles.

Définition

L’équation r²+br+c =0 s’appelle l’équation caractéristique de l’équation différentielley⁰⁰+by⁰+cy =0.

Théorème

Si r est une solution de l’équation caractéristique, alors la fonction

Proposition

Soit l’équation différentielle y⁰⁰+by⁰+cy =0.

1- Si l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r1 etr2, alors les solutions de l’équation sont les fonctions y :R→_R définies par y(x) =C1e^r1x+C2e^r2x , où C1 et C2 sont des constantes réelles.

2- Si l’équation caractéristique a une racine réelles doubler, alors les solutions de l’équation sont les fonctionsy :R→_R définies par y(x) =C1xe^rx+C2e^rx , oùC1 et C2 sont des constantes réelles.

3- Si l’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes r1 =α+ıβ etr2 =α−ıβ, alors les solutions sont les fonctions y :R→_Rdéfinies pary(x) =e^αx

C1cosβx+C2sinβx

, où C1 et

Démonstration de 1-

Si r1 etr2 sont deux racines distinctes de l’équation caractéristique r²+br+c =0 alorsr₁+r₂ =−b etr₁r₂ =c. Donc l’équation s’écrit y⁰⁰+ (r1+r2)y⁰+r1r2y =0. Soity une fonction deux fois dérivable et soit f la fonction définie parf(x) =e^−r1xy(x). On a donc

y⁰(x) = (f⁰(x) +r1f(x))e^r1x ety⁰⁰(x) = (f⁰⁰(x) +2r₁f⁰(x) +r₁²f(x))e^r1x. D’oùy⁰⁰+ (r₁+r₂)y⁰+r₁r₂y = (f⁰⁰(x) + (r₁−r₂)f⁰(x))e^r1x. Ainsi y est solution de l’équation si, et seulement si,f⁰⁰(x) + (r1−r2)f⁰(x) =0, donc si, et seulement si, f⁰ est solution de y⁰+ (r₁−r₂)y =0. Donc

f⁰(x) =C1e^(r1−r2)x, d’où f(x) = ^C1 r1−r2

e^r2x+C2 et donc y(x) = ^C1

r −r e^r2x+C₂e^r1x, où C₁ etC₂ sont deux constantes.

Démonstration de 2-

Suivant les mêmes étapes du cas précédent, on voit que y est solution de l’équation si, et seulement si, f est solution de l’équation y⁰⁰ =0. D’où f(x) =C1x+C2, et doncy(x) =C1xe^rx +C2e^rx

Démonstration de 3-

Il suffit de reprendre les étapes de la démonstration de 1-. Les détails sont laissés en exercice.

Exemple

Résoudre l’équation différentielle 1- y⁰⁰+y⁰−6y =0

2- 4y⁰⁰+12y⁰+9y =0

Résolution de l’équation y

+ by

+ cy = h ( x )

Considérons (E) y⁰⁰+by⁰+cy =h(x) oùh est une fonction connue.

Théorème

La solution généraley de(E)est la somme de la solution générale y₀ de l’équation homogène et d’une équation particulière yp de (E).

Démonstration.

Une fonction y est solution de (E) si, et seulement si, y⁰⁰+by⁰+cy =y_p⁰⁰+by_p⁰ +cyp.

Résolution de l’équation y

+ by

+ cy = h ( x )

Proposition

Soit P(x)un polynôme. L’équation (E) y⁰⁰+by⁰+cy =P(x)e^rx admet comme solution particulière la fonction y_p(x) =Q(x)e^rx, oùQ(x)est un polynôme tel que :

1- deg(Q)=deg(P), sir n’est pas une racine de l’équation caractéristique.

2- deg(Q)=deg(P)+1, sir est une racine simple de l’équation caractéristique.

3- deg(Q)=deg(P)+2, sir est une racine double de l’équation caractéristique.

Exemple

Soit l’équationy⁰⁰+b²y =cos(ωx), oùb>0etω>0sont deux constantes données.

Pour trouver une solution particulière, nous allons chercher une solution particulière dansCde l’équationy⁰⁰+b²y =_e^ıωx _{puis nous} restreindre à sa partie réelle.

Les racines de l’équation caractéristique sontıbet−ıb

Exemple

1- Siω6=balors on cherche une solution particulière de la forme y_p(x) =Ce^ıωx =Ccosωx+ıC sinωx.

2- Siω=balorsıωest une racine simple de l’équation

caractéristique. On cherche alors une solution particulière de la formey_p(x) =Cxe^ıωx.

5Rappelons que dans ces deux cas, il ne faut conserver que la partie réelle des solutions particulières obtenues.

Cas de l’équation y

+ by

+ cy = α cos ( ωx ) + β sin ( ωx )

Considérons l’équation différentielle y⁰⁰+by⁰+cy =αcos(ωx) +βsin(ωx).

1- Siiω est une solution de l’équation caractéristique r²+br+c =0, on cherche une solution particulière de la forme :

yp(x) =Axcos(ωx) +Bxsin(ωx).

2- Siiω n’est pas une solution de l’équation caractéristique, , on cherche une solution particulière de la forme :

Équations spéciales

Définition

Uneéquation de Bernoulli est une équation différentielle de la forme : (EB) y⁰ =a(x)y+b(x)y^α,

où a,b:I →_R sont deux fonctions dérivables et à dérivées continues et α est un nombre réel différent de 1.

Remarque

En effectuant le changement de variablesz(x) =y^1−α(x), on a (EB) ⇐⇒ ^z

0

=a(x)z+b(x).

Définition

Uneéquation de Riccati est une équation différentielle de la forme : (ER) y⁰ =a(x)y+b(x)y²+c(x),

où a,b,c :I →_R sont deux fonctions dérivables et à dérivées continues.

Remarque

Siypest une solution particulière de(ER), alors en effectuant le changement de variablesz(x) =y(x)−y_p(x)on obtient

(_ER)⇐⇒z⁰(x) = [a(x) +2b(x)yp(x)]z(x) +b(x)z²(x), qui est une équation de Bernoulli avecα=2.

Un exemple d’équation d’Euler

Résoudre l’équation différentielle d’Euler











x²y⁰⁰+xy⁰+y = 0 y(1) = 1 y⁰(1) = 0 Nous allons procéder au changement de variable t =ln(x)⇐⇒x =e^t. L’équation différentielle devient alors :(e^t)²y⁰⁰(e^t) +e^ty⁰(e^t) +y(e^t) =0, où y⁰ = ^dy

d e^t ety⁰⁰= ^d

2y

(_{d e}^t)². Posons alors z(t) =y(e^t), de sorte que z⁰(t) =e^ty⁰(e^t) etz⁰⁰(t) =z⁰(t) +e^2ty⁰⁰(e^t). En reportant dans l’équation différentielle précédente, on obtientz⁰⁰+z =0.

On a donc z(t) =C1cost+C2sint ou encore

y(x) =C1cos lnx+C2sin lnx. Compte tenu des conditions initiales on

Exercice 1

Soit l’équation différentielle (E) :2xy⁰+y = ¹ 1−x. 1- Résoudre (E) sur ]−_∞,0[, ]0,1[ et]0,∞[.

2- Montrer qu’il existe une solution de (E) sur ]−_∞,0[. Exercice 2

Résoudre sur R l’équation différentielle (E) :x²y⁰⁰+y =0.

Indication : Faire le changement de variable x =e^t.

CF2018

Exercice 3

Soit l’équation différentielle : x y⁰−y = ^x

2

cos²(x) (∗)

Trouver la fonction y : 0,π

2

−→_R solution de l’équation (∗)et qui vérifie lim

x→0

y(x) x =0 Exercice 4

Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰−3y⁰+2y =e^x+sinx.