A 336 La paire inflexible
Un entier naturel positif n est appelé « accommodant » s’il existe au moins un entier N dont la somme des chiffres est S tel que N = nS. A contrario le nombre est dit « inflexible».
Trouver les deux plus petits entiers inflexibles.
Question subsidiaire pour les plus courageux : l’entier 2012 est-il accommodant ou inflexible ?
Solution proposée par Maurice Bauval
1°)En posant N=nx, n est accommodant s'il existe au moins un entier x tel que x = S(nx). Montrons pour commencer que tous les entiers de 1 à 61 sont accommodants.
Pour 1 < n < 20 on observe que 9 = S(9n), tandis que pour n=21 ou 22, 18 = S(18n).
Pour 23 < n < 30 on observe que 9 = S(9n), pour n = 31 ou 32 ou 33 18 = S(18n).
Pour 34 < n < 40 on observe que 9 = S(9n), pour n = 41 ou 42 ou 43, 18 = S(18n)
Pour 44 < n < 50 , 9 = S(9n). Pour 51 < n < 54, 18 = S(18n). Puis 10 = S( 10*55) Pour 56 < n < 60 , 9 = S(9n). Pour n = 61 on a 12 = S( 12*61).
2°)Au contraire, montrons que 62 et 63 sont une paire de nombres inflexibles. Considérons une suite d'entiers kp tels que 62kp soit le plus grand entier strictement inférieur à 10p , pour x < kp on a S(62x) < 9p ou 9p-1 suivant les cas.
En particulier k4 = 161 : pour x < 161, S(62x) < 35 . Pour tout entier de l'intervalle [36..161] on a x > S(62x) , donc aucune solution de x = S(62x) dans [36..161].
k5 = 1612 : pour x < 1612, S(62x) < 44 ; 161>44 donc pour tout x de [161..1612] x > S(62x) De même pour tout x de [ kp .. kp+1 ] on a S(62x) < 9(p+1) or dès que p>4 on a kp > 9(p+1) , donc x > S(62x). Au total, x=S(62x) n'admet aucune solution strictement supérieure à 35. On peut vérifier manuellement qu'aucun nombre de [1..35] ne donne x =S(62x) et conclure 62 est inflexible.
Pour 63, dans la suite des kp tels que 63kp soit le plus grand entier strictement inférieur à 10p , interviennent les nombres k4 = 158, k5 =1587, k6 =15873.
Pour tout x de [36..158] on a S(63x) < 36 donc x > S(63x).
Pour tout x de [158..1587] on a S(63x) < 45 donc x > S(63x) etc... On doit encore s'assurer qu'aucun nombre de [1..35] ne vérifie x =S(63x) et conclure 63 est inflexible.
Remarque 64 est accommodant car 5 = S( 64*5).
3°) Avant d'essayer tous les nombres entiers x dans l'ordre croissant pour les tester dans x = S(2012x) on accorde une priorité à x = 9 et à x = 18 . 9*2012=18108 et S(18108) = 18 >9 : pas concluant.
Mais 18*2012 = 36216 et S(36216) = 18 c'est bon ! 2012 est accommodant.
4°) Au delà de la paire d'inflexibles (62,63), il existe de nombreuses paires de nombres consécutifs et inflexibles : (371,372),(386,387),(431,432),(482,483), et voici même un quadruplet d'inflexibles consécutifs (491 492 493 494). puis d'autres paires (497,498),(521,522),(542,543),
(552,553),(563,564),(821,822)(839,840),(926,927)(932,933)(941,942)(971,972) etc...
Entre 2000 et 2100 je trouve une seule paire d'inflexibles consécutifs : 2042 et 2043
