DIRECTION ASSISTÉE ELECTRIQUE DE RENAULT TWINGO

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 28/02/2012

Corrigé Exercice 1 : DIRECTION ASSISTÉE ELECTRIQUE DE RENAULT TWINGO

(Selon le concours CCP 2004 filière PSI)

Question 1 :

Donner le graphe de liaison de ce système. Quelle aurait été la différence si le graphe de structure avait été demandé ? 2x2 liaisons sphères-cylindres (linéaires annulaires) auraient été tracées en parallèle à la place des 2 liaisons pivots glissants.

Question 2 :

Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.

Caractéristique : angle de brisure : 

Paramètre d’entrée : position angulaire de l’arbre d’entrée 1 par rapport au bâti 0 : ₀₁ Paramètre de sortie : position angulaire de l’arbre de sortie 2 par rapport au bâti 0 : ₀₂

Question 3 :

Représenter les figures planes de changement de base relatives aux angles ₀₁,  et ₀₂.

Question 4 :

A partir de la particularité géométrique angulaire des axes du croisillon 3 (les axes x₂ et z₁ sont constamment orthogonaux), déterminer la loi entrée-sortie en position du joint de Cardan.

2 1

x z

2 1. 0 x z 

02 0 02 0 01 0 01 0

(cos .x 'sin .z ).(cos .z sin .x )0

02 01 02 01

cos .sin .cos sin .cos 0

02 01 02 01

sin .cos cos .sin .cos

02 01

tan cos . tan 

Question 5 :

En déduire la loi entrée-sortie en vitesse    ₂ f( ₁, ₀₁) du joint de Cardan. On notera 1 01

   et   _{2 02}. Conclure sur le caractère homocinétique (égalité des vitesses de rotation) de la transmission par le joint de Cardan.

En dérivant la relation ci-dessus : ²

2

(tan ) ' ' '.(1 tan )

cos

u u u u

u

   :

2 2

02.(1 tan 02) cos . 01.(1 tan 01)

       

2 01 2

1 2 02

(1 tan ) cos .

(1 tan )

 

  

  

Puis en réinjectant la loi E/S en position déterminée dans la question précédente :

2 01 2

2 2

1 01

(1 tan )

cos . 1 ( 0)

(1 cos . tan )

sauf pour

 

     

   

Le joint de Cardan n’est donc pas homocinétique…

Ex : Tracé de ² ₀₁ 1

( , )

 f

  

 Pour  30

Question 6 :

A l’aide de vos observations sur la figure 1, expliquer la solution utilisée par le concepteur de la direction assistée pour rendre la transmission homocinétique entre la partie haute de la colonne entrainée par le volant (assisté du motoréducteur ) et le pignon qui met en mouvement la crémaillère.

Si l'arbre 1 tourne à une vitesse ₁ constante par rapport au bâti 0, alors l'arbre 2 tourne à une vitesse ₂ irrégulière, vitesse de rotation dont on vient de déterminer les caractéristiques. Réciproquement, si l'on réussit à entraîner l'arbre 2 à une vitesse ₂ "irrégulière comme il faut", on obtient sur l'arbre 1 une vitesse

1 constante. Ainsi, en mettant deux joints de Cardan en série, le deuxième annulera les irrégularités de vitesse de rotation générées par le premier. Mais attention, ceci n'est possible que sous certaines conditions…

Exemple, prenons 3 arbres : un arbre d'entrée 1, un arbre intermédiaire 2 et un arbre de sortie 3.

Un joint de Cardan étant symétrique, on peut permuter les indices dans la loi E/S :

2 02

1 21 2 2

2 21 02

(1 tan ) cos .

(1 cos . tan )

 

  

   

Pour le 2^ème joint (entre 3 et 2), on réécrit la loi E/S telle qu'elle était :

2

3 02

23 2 2

2 23 02

(1 tan ) cos .

(1 cos . tan )

  

 

   

Ainsi

2 2 2

3 3 2 23 02 21 02

2 2 2

1 2 1 23 02 21 02

cos .(1 tan ) (1 cos . tan )

. . 1

(1 cos . tan ) cos .(1 tan )

        

  

         ^{ssi cos23 cos21}

Configuration d’un double joint de Cardan homocinétique

donc homocinétique seulement si

23 12

  

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 28/02/2012 Plan d’un double joint de Cardan

11

8 7 6

2 3 4 5 9 10

1

Vue éclatée d’un double joint de Cardan

Exemples de doubles joints de Cardan

Joint simple et joint double vendu par

"axesindustries.com" pour des arbres de diamètres 6 à 50 mm

Arbre de transmission de moto BMW K 1300 GT

La photo ci-contre et les deux autres photos ci-dessous représentent des arbres de transmission pour véhicule à propulsion ou

à 4 roues motrices.

Pour transmettre le mouvement de rotation provenant du groupe (moteur + boîte de vitesses), aux roues arrières, ils utilisent des

arbres de transmission avec double joint de Cardan.

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 28/02/2012

3

2

7 1 6

Pivot d’axe ( , )D y

Pivot d’axe ( , )A z Sphérique

(ou rotule) de centre B Pivot glissant d’axe ( ,B y₃)

Pivot d’axe ( ,C x₂)

Corrigé Exercice 2 : LÈVE BARRIÈRE SINUSMATIC.

Question 1 :

Donner le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.

Paramètre d’entrée : position angulaire du plateau 7 par rapport au bâti 1 : 

Paramètre de sortie : position angulaire de l’arbre de sortie 2 par rapport au bâti 1 : 

Question 2 :

Dessiner le graphe des liaisons de ce système.

Question 3 :

Dessiner, dans le plan ( , , )A y z , le schéma cinématique du système dans la position particulière où  0.

Pour déterminer une liaison équivalente, il faut utiliser l'écriture en colonne pour les

torseurs.

Question 4 :

Déterminer la liaison équivalente L_eq aux deux liaisons en série entre 7 et 3.

 

3 3 3 ,7/6

7/6 ,7/6

,7/6 ( , , )

0 0 0

x y

B z x y z

 

 

 

  

 

 

 

V

 

3 3 3 3

6/3 ,6/3 , 6/3

( , ) ( , , )

0 0

0 0

y y P

P B y x y z

v _

 

 

 

  

 

 

V

NB : Ces 2 torseurs sont déjà écrits au point B !

Comme ces 2 liaisons sont en série :

 ^V

^7/3Leq

    

^

^V

^{7/6 }

^V

^6/3

Donc

 

3 3 3 ,7/6

,7/6 ,6/3 , 6/3

7/3

,7/6 ( , , )

0

0

x Leq

y y y B

B z x y z

v _

  

 

 

    

  

 

 

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre B et de direction y₃ .

Question 5 :

Représenter les figures planes de changement de base relatives aux angles , et .

Question 6 :

Déterminer à partir de la particularité géométrique y₃ x₂ , la loi entrée-sortie en position du système.

3 2

7 7 2

2

0

(cos sin ) 0

(cos (cos sin ) sin ) 0

cos sin cos sin cos( ) 0

2 cos sin cos sin sin 0 sin tan tan 0

sin tan tan

y x

y z x

y x z x

 

      

           

           

          

      

     

Question 7 :

Conclure quant au respect du critère de la fonction FC2.

Si  45 alors tan 1, ainsi tan  sin. Or Donc

x2

z2

y y2

 



z 7 x

y

x7

zz7





x y

z3

y3

7 3

x x

 



y7

z7

0 360

1 sin 1

    

   

   