Questioni di regolarità e di unicità del moto in presenza di vincoli olonomi unilaterali

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

A ^LDO B ^RESSAN

Questioni di regolarità e di unicità del moto in presenza di vincoli olonomi unilaterali

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 29 (1959), p. 271-315

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QUESTIONI

DEL MOTO IN PRESENZA

DI VINCOLI OLONOMI UNILATERALI

Memoria

(*)

di ALDO BRESSAN

(cx PadoLCC)

PREFAZIONE

La dimostrazione della sufficienza della nota condizione di

equilibrio

per la

quiete

^{di un sistema olonomo S ad N}

gradi

di libertà q1 ... qN ^e in assenza di

attrito,

costituisce un pro- blema molto difficile e in

generale insoluto,

^anche

qualora

i vincoli unilaterali

presenti

^siano

rappresentabili

nella forma

e

valgono

^{teoremi di} unicità per le

equazioni

^di

Lagrange.

^Nel

l’ipotesi

^{che la}

posizione d’equilibrio

^{P* sia di confine} per

gli

^ultimi dei vincoli unilaterali

(1),

^{una tale dimo-}

;tazione è stata data da

Signorini 1) nell’ipotesi

^{che le com-}

ponenti lagrangiane

della sollecitazione attiva siano continue e tutte

proprio

^ne-

gative

^{in P* e} per valori nulli delle q-

Fondamentale è in tale dimostrazione

l’ipotesi

^{della con-}

tinuità, delle reazioni vincolari effettive.

Tuttavia si

può

^{osservare che} l’incondizionata continuità delle reazioni vincolari non sempre sembra ^avere fondamento

(*) ^{Pervenuta in Redazione} il 5 novembre 1958.

Indirizzo dell’A. : Seminario matematico, Università, Padova.

1) ^A. SIGNORINI, ^Meccanica Vol. II, pag. 337, ^{2a ediz.}

fisico sufficiente. Cattaneo acl

esempio

^{dimostra la o wffi-}

cienza » del

principio

dei lavori virtuali

all’equilibrio

^{d un}

sistema materiale, _per un sistema

particpllare,

soddisfacente

a

larghe

condizioni di

regolarità, soggetto

^a vincoli fissi anche

scabri,

^e che possono ^{essere iii}

parte

olonomi bilaterali e in

parte

^{anolomoni anche}

unilaterali,

evitando inoltre ^la detta

ipotesi

^sulle

ieazioni ?).

In effetti il

problema

^di

dedurre,

almeno in casi suffi- cientemente

regolari,

^la continuità delle accelerazioni

lagran- giane

^e delle reazioni

effettive,

^da

opportuni postulati,

^fisica-

mente soddisfacenti ^e

meglio

accettabili della diretta ammis- sione della continuità delle suddette

reazioni,

^è

pi i complesso

di

quel

^{che sembra a}

prima vista,

^e costituisce

oggetto

^della

prima parte

^del

presente

* * *

il

generico

^sistema

olonomo,

con vincoli lisci anche unilaterali ^e

rappresentati

^dalle

(1),

dotato inoltre di espres- sione

lagrangiana

della forza viva e di

component lagrangiane

della sollecitazione attiva, tali che siano continui i secondi membri delle

equazioni

^di

Lagrange

^risolute

rispetto

^alle

q

e sia

{qh(t)} }

^la

generica LY-pla

^di funzioni continue verifi- canti le

(1).

Per

semplificare l’esposizione

mi sembra

opportuno

pre- mettere le

seguenti

definizioni.

2) c- CATTANEO (Pisa), c del dei lavori

virtuali all’equilibrio ^clc un generico sistema materiale, Rendiconti di matematica. Università, di Roma, lugio-dicembre 1954. pag. 209.

G. GRI0LI nel suo testo di meccanica razionale osserva a pag. 318 che all’ammissione di continuità delle reazioni vincolari è preferibile

un principio ^di continuit t del lavoro effettivo di esse.

DEFINIZIONE 1a - Per ’In r N dirò che la

prende ( o lascia)

^{lo zero - od anche che} il sistema

S,

pen- sato animato dal moto qh ⁼

qh(t) (h

^{= 1...}

N), prende (o

per-

con l’

(r - m)0

vincolo unilaterale se è

e per

ogni tl ~ (rispettivamente

per

o,gni t2

&#x3E;

~),

^{esiste tn!}

t 2n

tl ~, ^t~]

^con

^qr(t)

&#x3E; 0. Dirò

poi

^chc

tale presa

[o perdita]

^{di contatto è}

semplice se

^{esiste 2~n}

tl ~

~)

^{tale che in}

[in ç t2]

^sz abbia sempre

DEFINIZIONE 2a - Dire) che

~1;2

^{è ~cn} intervallo di

regolarità.

ai vincoli

(1 )) delZ’ N-pta

^se per

ogni

^{t in}

E1E2 nessuma

^delle

qm+1(t) ... qN (t) prende

^o ln,.fJcia lo zero. Ciò

equivale

all’essere

in ~:~2

^una

^parte

^{di esse «}

0,

^{l’altra sem-}

pre &#x3E; 0.

DEFINIZIONE Dirò

regione

^{R di}

regolarità dell’N-pla, { qh(t) } (rispetto

^alle

(1 )),

^t’insieme

aperto R,

^{somma dei suoi}

intervalli di

regolarità, (rispetto

^alle

(1)) 3).

DEFINIZIONE 4a - Dirò che la con8,iderata

N-pla

^è

rispetto

ai vincoti

(1) regolare

^{se tale al}

con f ine 4),

^se esistono continue tutte l e

qh

^e

qh

ⁱⁿ

ogni

intervallo

aperto E1E2

che sia di continuità

per le

^{derivate 1 e e 2e di delle}

qm+1(t) ...

qN

(t)

almeno una volta

prenda

^{o lasci lo zero}

5).

3) Si badi che nonostante 7~ sia denso nell’intervallo ti t2 ^{di defi-} nizione della considerata N-pla (ossia ogni punto di tl ~2 ^{è di accu-} mulazione per R), ^il complementare CR di tale regione rispetto ^a può avere misura arbitrariamente prossima ^a t2 - tl ), ^{e ciò pure}

in casi dinamici molto regolari (vedi esempio I°, § ^{1 - n.} 2) per cui anche

le Ò’

^{sono continue.}

4) Dirò tale pure il moto da essa rappresentato.

5) f ^è regolare ^{st tale al} confine rispetto ai vincoli (1)

se e solo se, per ogni E ^{in cui essa è} definita, ^una delle o

qk

^(t)

(h ⁼ 1, ... , N ) può ^{essere ivi} discintinua solo a patto che per ^un

r = m + 1, ^{... , N sussista una o l’altra} delle due seguenti condizioni per g : ^.

a) ^o

q,. ( t )

^sia discontinua per t - ~ ;

b) g ^sia punto di accumulazione di istanti per cui si verifica la condizione a). ^’

Se la

detta N-pla rappresenta

^un moto di S mi sembra fisi- camente ben accettabile l’ammissione _per essa di

regolarità conseguente

^alla

regolarità

^{al confine}

(secondo

^{la def.}

4),

ⁱⁿ

quanto

^si

può

ritenere che tale

proprietà

traduce analitica, mente il fatto che eventuali

irregolarità

del moto siano

impu- tabili,

nelle fatte

ipotesi

^di

regolarità di 8,

esclusivamente

a prese ^o

perdite

di contatto con

qualche

^vincolo unilaterale.

Ammetterò che

ogni

^moto

{ qh(t) }

dinamicamente

possibile per 8

risolva le

equazioni L)

^di

Lagrange

^{in senso}

lato,

^ossia

che in

ogni

intervallo

~J2

^di

regolarità

abbia derivate le e 2e continue e risolva le

L)

ⁱⁿ

corrispondenza

ⁿ reazioni che i

~ incoli siano

capaci

^di

esplicare.

* * *

Nella ^la

parte

^del

presente

^{lavoro considero}

appunto

^la

generica

soluzione in senso lato

{ qh(t) }

^delle

equazioni

^di

Lagrange

^colle

qh(t)

^e

qh ( t) continue,

^cosicchè soddisfano la

legge U)

^{d’urto con cui va}

completata

^la definizione di

S, qualunque

^sia

U);

^{e dimostro che in}

ogni

intervallo sono

continue le derivate seconde di

quelle

^delle

q"t+1 (t) ... qN(t)

^che

ivi almeno una volta

prendono

^o lasciano lo zero.

Supposta

la

{ qh(t) } regolare

^{se tale al}

confine,

resta allora asfiicurata la continuità di tutte le qh ^e anche delle reazioni. vincolari.

Ha interesse notare che per

giungere

^a

questa

conclusione

l’ipotesi

^{che la sia}

regolare

^{se tale al}

confine,

^{è essen-}

ziale

perchè

^da

esempi

risulta che altrimenti pur essendo le

qh ( t )

assolutamente

continue,

^non solo le qh possono ^essere discontinue

6),

^ma possono

presentarsi

casi di indeterminazione nel senso che le condizioni iniziali risultino

largamente

^insuf-

ficienti ad individuare un movimento

7) ;

^tale

indeterminazione,

nello sola

ipotesi

^di continuità delle

può presentarsi

anche in casi in cui

l’equazioni

^del

Lagrange

^sono soddisfatte

quasi

ovunque

(mis CB = 0) 8).

* * *

---- -_-_

e) ^Vedi Osserva.zione 21, ^{n. 3} di § ^1.

7) Vedi Osservazione 1*, ^n. 3, § 1.

8) ^{Vedi nel n. 3} di § ¹ l’Esempio 2° e le 9 righe ^{che le} precedono.

La

complessità

^del

problema

^accennato all’inizio di

questa

introduzione e studiato nella

prima parte

^del

lavoro,

^si

ha,

tra l’altro

perchè,

^{secondo la}

nota 3), può

^essere

positiva

^la

misura dell’insieme CR dove ^le

qh(t)

^non sono, almeno ^a

priori,

tenute ^a soddisfare le

equazioni

^dai

Lagrange.

Altre

complicazioni

derivano dalla

possibilità

di prese ^o

perdite

deal contatto del sistema con

qualche

vincolo unilaterale in modo non

semplice (secondo

^{la def.}

1),

^{e dal}

poter

^esser

R non connessa.

* * *

Giovandomi di risultati

conseguiti

^nella

prima parte

^del

presente

lavoro estendo nella seconda il citato teorema di

equilibrio

^di

Signorini

^{al caso}

dinamico,

sempre ^con referenza

a moti

regolari

^{se tali al}

confine,

dimostrando un teorema di unicità della soluzione dinamica. Precisamente dimostro il

requisito

di unicità per

ogni

^{moto di}

confine, regolare

^se

tale al

confine,

^sotto

ipotesi

sui dati che nel caso statico riescono meno restrittive di

quelle

^di

Signorini.

Dimostro cioè che se sotto

pref iasate

condizioni iniziali

l’equazioni

^{di La-}

grange ^{ammettono una} soluzione di

confine,

^essa è l’unica nella classes di tutti i moti

(anche

^con

distacco),

dinamicamente

possibili per S

^e verificanti le stesse condizioni

iniziali, purchè

la sollecitazione attiva soddisfi

opportune

condizioni. Nel caso

statico il teorema è in

particolare applicabile

^{tra l’altro al}

caso delle forze

puramente posizionali

^e soddisfacenti assieme

agli

^altri

dati,

alle condizioni di

Lipschitz.

^Per

quanto

^mi

consta il detto teorema

d’equilibrio

^di

Signorini

^{non è stato}

ancora

rigorosamente

^{esteso nemmeno a}

questo

^{caso. Proba-}

bilmente ciò è dovuto al fatto che le difficoltà che esso pre-

senta,

richiedono l’uso di metodi di natura diversa da

quelli impiegati

^da

Signorini.

Grazie ad una estensione di un teorema di

Agostinelli

^è

possibile generalizzare

i risultati di

questo

^{lavoro al caso}

in cui si

aggiungano

^al considerato

sistema S,

dei vincoli anolomi bilaterali lineari e

regolari.

^Tale

argomento

^sarà

oggetto

^{di una}

prossima

^nota.

§

^{1. -} OSSERVAZIONI SULLE

EQl.AZIONI

^{DI LAGRANGE}

NEL CASO DI VINCOLI

OLONOMI

UNILATERALI N. 1. -

Considerazioni prelimin,ari.

Riferendomi al sistema 8 considerato

nell’introduzione,

^di

sollecitazione atti~-a e forza viva espresse dalle

(3)

^e

(2),

pongo

Conviene

precisare

^la nozione di soluzione in senso

lato,

di cui ho

già parlato nell’introduzione,

mediante la

DEFINIZIONE 5a - Dir~~ che la considerata.

N-pla

^risol-

ve in senso lato le

equazioni

^{(li di 8 in}

tl t2,

^{Re ii-i}

le

qh

^e

qh (h =

^{1 ...}

N)

^sono continue in

ogn.i

^(li

regolarità, rispetto

^alle,

1)

^{ed in.ol trc} esiston o N

~1(t) ...

per le

quali

^{in R le}

ad

ogni

^{istante t} per cui sia

Si noti che tale definizione non

implica

^a

priori

^{che R}

sia un insieme di continuità per le

ql(t) ... qN(t).

DEFINIZIONE 6a - Dirò

infine

^moti

tipo quelli

rap-

presentati

^da

N-ple

^colle

qh(t) continlle, regolari

^se

tali al

confine rispetto

^alle

(1) [che esprimono

^{i vincoli}

laterali di

81,

inoltre irz .’jen80 lato

l’equazione

^di

L«,,qrangc

^{di S.}

X. 2. -

Qualche proprietà dell’insieme

R

di regolarità.

Poichè

ogni N-pla { qh(t) },

soluzione in senso lato delle

equazioni

^di

Lagrange,

le risolve solo nella

propria regione

^{R di}

regolarità

^è

importante

^{notare le}

proprietà

di R espresse dai ^se-

guenti

^teoremi.

TEOREMA I° - E.’1istono

N-ple } (con

^{le e}

qh(t)

continue)

soluzioni di

problemi

dinamici molto

regolari [in

^cui

precisamente

^le

Vh(q | q | t)

^{date dac}

⁽⁴⁾

^{sono continue con le}

derivate

f ino

^{ad un}

pre f issato

^ordine

v]

per le

quali

^la

regione

di

regolarità

^{R tza misura}

in feriore

^ad &#x3E;

0,

ad arbitrio.

Per dimostrarlo

procedo

per

gradi.

l)ati sull’asse reale a e b

(a b),

^sia r1, ... , rn la succes-

sione di tutti i numeri razionali contenuti in

ac b,

ordinati per

es. secondo l’usuale metodo

diagonale.

^Per

n =1, 2,

... , sia l’intervallo

aperto

^{di centro rn e}

lunghezza 2 ^(con

^e &#x3E;

0).

Allora, posto

I~~ è

aperto

^e soddisfa la

Inoltre il s-uo

complementare CR*,

^{oltre ad essere chiuso}

ed ad &#x3E; 0 ioa

ogni

intervallo contenuto in a b

c

più lun,go

^{di e, non}

contiene,

^cV

nonostante,

^alcun

segmento.

Infatti

se En appartenesse

^a ivi cadrebbe certo un numero razionale _rn che invece

appartiene

^{a R*.}

In secondo

luogo

^{considero con L. Schwartz}

9)

^{la funzione}

1-’

p(u),

^{continua in}

11,

^{definita da}

per le ^sue

proprietà

^di essere &#x3E; 0 in

11,

indefinitamente

I-I

derivabile in tutto

11,

^{e con}

il che è di facile verifica.

Sia per

ogni

fissato intero v &#x3E; C~

Lv = ^maggiore

dei numeri

I

minore dei numeri Risulta allora

(per ogni

^a

^{b )}

Ciò premesso, si

può

^{enunciare il}

seguente

20 passo della dimostrazione in corso.

Dato sttlllasse reale il

gen,erièo

^insieme

aperto A,

^detta

1-!

,

ah

bh (h =1, 2 ...)

^zcna- successione d ~ tutti i tratti

con.giunti

a CA

(che

^dirò associati ad A e sono caratterizzati dall’avere i soli estremi non

appartenen ti

^ad

A ),

^la

funzione

^,

9) ^L. SCHWARZ, ^{Théorie des} distributions, ^Tome I, pag. 22.

10) Userò le notazioni delw teoria degli insiemi: in particolare SE I significa: x appartiene all’insieme 1.

è &#x3E; 0 in

A,

^{mentre in è =} 0 assieme alle derivate

fino

all’ordine v, che esistono continue ovunque.

La derivata d’ordine v

+ 1

^è

discontinua., quindi quelle

^di

ordine k &#x3E; ^v

+ 1

^{non esistono}

negli

^eventuali

punti

^{a d’ac-}

cumulazione

degli

ah

(e

^non esistono solo

ivi).

Valgono

inoltre ovunque le

diseguaglianze

Basta provare la continuità della

c~(~),

1’esistenza e la continuità delle ...

c~~ v&#x3E; (~)

^{che n}

priori può

^affermarsi

I-I

solo

negli

^ah

bh presi singolarmente.

Posto,

^{come è}

possibile

per

(15)

^e

(12)

^è

Allora,

intendendo x = ~ per x in

CA,

^{e a} -. u f ^{se è} a;

b3

per ^un

opportuno indice j,

^{si ha}

Le

~o." c~~

risultano allora continue ^su tutto l’asse reale e

di conseguenza si ha

onde per la risulta

provata

l’asserita deri- vabilità.

Osservato infine che in

ogni a ^{(con bk} 2)p §fl

v, A

^(z)

per

(15), (13)2

^e

(14)

^{assume un valore fisso L} &#x3E; 0

1.1)

^{mentre per}

(15)

^e

(12)

^è

(an) 0,

^ne segue che ^{se ac} è

punto

d’accumula-

v, A

zione

degli

ak

(onde

^dei

bk),

^{ivi la non}

può

essere con-

tinua e

quindi

^{non esistono le}

p~~~

^{con k} &#x3E; v

-~-

^{1 come ho}

già

avvertito.

’

* * *

Completo

^la dimostrazione della

prima proprietà

^{di R}

mediante il

seguente

ESEMPIO 1° - Sia P un

punto materiale,

^{di massa}

unitaria,

riferito a coordinate cartesiane

ortogonali

syz, verificante il vincolo liscio

agisca

^{una forza F di}

componenti X, Y,

^{Z date da}

con

§(s)

espressa dalla

(15)

ⁱⁿ

corrispondenza

^{ad un intero}

v &#x3E; 2 ed all’insieme

aperto A - R e, * -ao,

^{+ 00}

^0),

^dato

da

(9).

’ ’

Dalle considerazioni

precedenti,

ⁱⁿ

particolare

^{dalla non}

appartenenza

^{a alcun}

intervallo,

stabilita nel

) ^Infatti

b~ - a~ 9

^{implica, per}

onde _per (15) ^e (14) ; indipendente

1° passo, segue che valendo le

(18)

^e

(1 J1,

^le

equazioni

del moto di

1’,

^ammettono la soluzione

avente per

regione

^ai

regolarità 1~ * _ ~,

che ha la misura finita e.

’ ’

111 altri

termini, pltò

^{avere misura} comunque grande ^l’in- CR

degli

ⁱⁿ

ogni

cui in.torno il

punto

^P

prende

^e

perde infinite

^{volte contatto col}

piano

Tlf.

x. :1. ^-

Importanza ^della regolarità conseguente alla regolarità

^al

^confine

per le

soluzioni

in senso

lato.

considerazioni svolte

permettono

di f are anche la se-

gueiite

OSSERVAZIONE la - Ulta soluzione

{qh(t)}

^{1yt senso} lato delle di

Lagrange

^di

S, verificante

^date condizioni ini-

zíali, può

^essere

largamente

indeterminata anche

imponendo

continuità delle qh .

Infatti

qualunque

^{sia la} funzione sommabile

~’1(t),

^nulla

in

R’~,

^le

risolvono nel senso suddetto le

equazioni

dinamiche del

punto 1’,

considerato nel

primo esempio,

^{con le forze} date dalle

(1J),

verificando le condizioni iniziali

e la

y(t) può

^{ben non essere} « 0 dato che CR

può

^avere

misura &#x3E; 0.

OSSERVAZIONE 2a - Ha forse un certo interesse osservare a

questo punto che,

in accordo con il teorema ÌIII

[fondamen-

tale nel

presente

^{lavoro e che} verrà dimostrato nel n. 1

di § 3],

^{se la soluzione}

(22)

^{non è}

= 0,

pur essendo dotata di derivate le assolutamente

continue,

^{non ha}

quelle

^{2c con-}

tinue

(né

per

yi(t)

^sommabile

generica

^{essa esisterà}

ovunque).

Infatti la continuità

della ji implicherebbe

ovunque per

(22)2’

^y

l’uguaglianza

y(t) = y1(t)

da cui la continuità della la

quale

risulterebbe nulla ovunque,

perchè

tale in R * E, -oo +oo

elie è

^{denso su tutto l’asse}

dei

tempi.

’ ’

Si conclude

allora,

essendo la

z(t)

^{continua e} verificando

essa le

(18),

che il moto

(22)

^{non è}

regolare

^{se tale al}

confine.

L’importanza

^della

regolarità conseguente

^alla

regolarità

al

confine,

per soluzioni delle

equazioni

^di

Lagrange

^di

in senso lato risulta oltre che dalla

precedente

osservazione 1a anche dalla

possibilità

^{che una soluzione del}

tipo detto,

colle qh continue ^{ma non} assolutamente e colle

qh

quasi

ovunque

esistenti,

^{sia non} determinata dalle condizioni iniziali pur soddisfacendo le

equazioni

^di

Lagrange quasi

ovunque

12 ).

Si consideri allo scopo il

seguente

ESEMPIO 2° - Sia z il noto insieme di Cantor definito dalle

con

che,

^{come si} sa, ^è

perfetto

^{e di} misura nulla.

12) Tale ipotesi ^fa per esempio CATTANEO nel n. 3 delrop. ^{cit. in}

nota 2).

Si consideri di nuovo il

problema

^{dinamico del}

punto

^{P del}

primo esempio

determinato dalle

(18) (19)

^e

(23). La ~ - ~v.

^E

figurante

^nella

(19),,

^{sia ancora} espressa da

(15),

^{a ssumendo}

però

^{ora inf}

quest’ultima

^anzichè

A - R_1

^+00:

La

regione

^di

regolarità

^di

t-ale ~,

che per costruzione è nulla in T e nelle semirette t

0,

¹

~ t,

^{è C ~ .}

Sia ora

9(t)

^la

corrispondenza

^{di Cantor} definita dalla

~~)

dalla

13)

purchè

^non

appartenga

^a

dalle

e dalla condizione di essere continua ovunque.

Come è noto tale è non

decrescente,

^{e con derivata}

nulla in tutto Cr.

Detta

),(t)

un’arbitraria funzione

continua, posto

(1’integrale

essendo nel senso di

Stiltjes)

^è

13 ) Se

ø li

appartiene ad A ed a e b no, in vale ( b - a ) /2

onde le

risolvono in senso lato il

pioblema

^dinamico

consiclerato,

per cui in

particolare

verificano

quasi

.ovunque,

precisamente

ⁱⁿ

CT,

^le

La soluzione

(25) dipende

^secondo

(24)

dalla detta

X(t),

^che

invece non influisce sulle condizioni iniziali

verificate dalle

(25).

CONCLUSIONE - La condizione di

regolarità conseguente

^alla

regolarità

^{al confine del}

generico

^moto

} di S,

^sembra

quindi oportuna

oltre che per ^essere sufficiente

(come

si pro- verà col teorema

VIII)

ad assicurare 1’esistenza e la conti- nuità delle qh ^e delle

reazioni,

^anche

perchè

^{se non la si}

ammette manca certo l’unicità del

moto,

per sistemi pur dotati delle

proprietà

^di

regolarità supposte per S

^e

pei quali

sop-

pressi

^{i vincoli}

unilaterali, valgano

teoremi di unicità.

1T. 4. -

Sulle regioni

^di

regolarità delle ultime

N na

delle continue

^e

rispettanti

ⁱ

^vin~

coli (1).

Indicherò con ~ la classe insiemi costituiti coi

numeri m+ 1 ,

... , ~Y

(incluso

^l’insieme

vuoto),

^con Y il gene- rico di

essi,

^e userò pure le

posizioni

1

ⁱ

_{Wf =}

nnmero

degli

^elementi

Considero ^una

generica N-pla q :. - { qk(t) }

^{di funzioni con-}

tinue e

rispettanti

^le

(1),

^{definite in un} intervallo ^cr b con 0 o b e;entualmente all’infinito.

Accanto ml

ogni

^{simbolo E a cui venga dato un}

significato

in relazione alla considerata

N-pla

q

(per

^es. la « R » intro- dotta per

esprimere

^la

regione

^di

regolarità

^della

q) potrò

talvolta usare il simbolo E(q) con lo stesso

significato

^{in cui}

è messa in evidenza la

dipendenza

^da q. Ciò ^convenuto passo ad introdurre vari enti

appunto dipendenti

da q.

Per j m + 1, ... ,

^{~T indicherò con}

Nj

^e

Pj gli insiemi,

l’uno

chiuso,

^l’altro

aperto degli

^{istanti t con}

nullo, rispettivamente positivo

^{e dirò}

regione

^di

regolarità

^di

l’insieme

aperto

t’serò pure ^la

posizione

che

può leggersi: t

^{è in -’. se e solo se in un} suo conve-

niente intorno sono

positive

^solo

quelle

^delle

qm+1(t) ...

9.v

(t)

che hanno 1’iuclice in _Y

la def. a di

regione R

^di

regolarità,

^dalla

(28)

segue

Per la def. 3 e il

significato soprascritto

dell-insieme R vale pure ^la

il

puntino

stando ad indicare

(secondo

l’uso per ^es. del Prof.

Fichera)

che per due elementi distinti ^e Y2

di C

si ha :

Volendo,

^la

(31) può

^ottenersi sostituendo in

(30)

^la

(28)

^e

s;iluppando.

Per elementari

proprietà

^{della teoria}

degli

^{insiemi di}

punti,

verificando le le

(1),

^da

(28)

seguono le

e dalle

(31)

^la

Poichè

gli

^{insiemi Rono}

aperti

^e per

(32)

^densi

e, come è

noto,

^il

prodotto

di due insiemi

aperti

^{e densi su}

a b è pure

tale,

^dalla

(30)

segue il

TEOREMA II -

rispetto

^alle

(1)

~l i ttn

N-pla

^di

f ~unzioni definite

^{ija a}

b, zvz continue,

è .su a b

(anche

^{se di misura b}

- a,).

..:B.ve~~do

poi

^{r un numero} finito di elementi

(~wm ),

^da

(31)

si deduce il:

COROLLARIO -

ogni;

^{in a b t’i} è almeno un elemento y di

r,

per sia

punto

di accumulazione 1Jcr

RY.

§ 2. -

^SU FUXZIOXI AVENTI IL SIGNIFICATO DI CERTE REAZIOXI E DI CERTE ACCELERAZIONI LAGRANGIANE X. 1. -

Introduzione delle i t)

^e

I q t ).

Fissato un y ⁱⁿ

T,

^si

considerino,

^{valendo le}

(27),

^{le 2 N}

equazioni

^{nelle 2 N}

incognite

qh ^e

(Dh (1~

^{= 1 ...}

N)

La loro soluzione è data dalle

ove la

matrice ll Ahx ll,

^{d’ordine nz}

^-i- wy

^{- secondo}

(27)3

^-

è la

reciproca

^di

quella

^{formata con le}

righe

^e le colonne

di il [ ^(h,

^{k = 1 ...}

^N)

^{di indici}

appartenenti

^a y.

y y

OSSERVAZIONE 1a - Tali

ah

^e

yh

^sono

quindi -regola.ri,

in par- ticolare conti ue e

lipschitziane

^{se tali sono le}

i q t)

e

l’energia

^cinetica

^’(;

^{e le} derivate le delle

t), bh(q j tj

^e

d(qit) ^{(h=1 ...} N).

OSSERVAZIONE 2a -

Quanto

^al

significato meccanico, fissati

ad arbitrio dei valori q, q, ^t di q, q,

t,

^le

(Jh( q , q j i t)

^e

r ^{- - -}

I q | t)

^le accelerazioni e le

componenti lagrangiane

delle reazioni che si avrebbero all’istante

t,

^se per ^{t t} il sistema si trovasse nello stato

(q, q),

^{e se}

fosse

sem pre

soggetto

anzic7i.è ai uijZCOl i unilaterali

(1), agli N - tn - 6)r

^vincoli

bilaterali

oltre

agli

altri bilaterali eventualmente

preesistenti.

N. 2. - Una

proprietà ^delle lh

^e

TEOREMA 111 - Se per

(con

^é

opptire

da cui per

(36)

^risulta,

Valga

infatti l’alternativa

(37).

Allora per costruzione ^e per

Y Ti

la

(37)

^{stessa le} 2h costituiscono due soluzioni delle

m -f-

_~

equazioni

lineari nelle ^w

+ 6)11 incognite

^qk

(k

^E

11)’

^{e a} matrice incom-

pleta =t=0;

^esse

quindi

coincidono. Per

(37)

^{e le ultime}

(36)1’

valgono

allora tutte le

(38)1 ,

^y

onde,

per le

(34),

^{anche le}

(38)~ .

y Ti

Analogamente

nell’alternativa

(37’) ,sia

^{le x~} che le ah ,

(h 6 y)

risolvono il sistema lineare determinato

onde coincidono. Allora per le ultime

(36) valgono

^{di nuovo}

tutte le

(38), onde,

per

(34),

^le

(38)~ .

c. d. d.

X. 3. - Introduzione di altri enti

riferentisi } colle q ^continue

^e

rispettanti

ⁱ

^vincoli (1).

, Considero ora una

generica N-pla

di funzioni

qh(t)

^con-

tinue colle qh , ^e

rispettanti

^{i vincoli}

(1).

^{In relazione ad essa}

pongo per

ogni t,

^di

~, luogo dei y

per cui è

Essendo

gli

^Rr

aperti,

^la

(40)

^dice

che y appartiene

^a

~

^t

se e solo se t è

punto

d’accumulazione di

istanti ~

_{per cui è}

Avverto che le

(41) potrebbero

^valere

per ~

^{= t senza.}

che y appartenga

^a

rt .

^{Per es. sia &#x3E;}

con K costante. In tal caso

rl

contiene il solo insieme

y*

⁼

(m + 1,

... ,

N),

dato che le

(41) valgono

per valori

di t

comunque

prossimi a t,

solo per

y=y*.

Si osservi che non

appartiene

^a

~,

il sottoinsieme vuoto _7o di r nonostante le

(41) valgano per g=t

^e -~ = Yo .

Pongo poi (in

^{accordo con}

una convenzione fatta al n. 2

di § 1)

inoltre,

stanti le

(36),

14) ^{Ove con} 7 si intende la chiusura I -~- ^~I dell’insieme I.

Osservo ehe p,

può

^non

appartenere

^a

rt ;

anzi possono esservi dei _y con

che non siano elementi di

]Pt.

Si consideri ad

esempio

^{il caso}

Essendo

vuoto,

p, ^non

appartiene

^a

rt.

Si ha

poi

senza

clie y appartenga

^a

~,.

Però se t è in

R,

^{essendo esso interno a un certo}

~t --_ y è l’unico elemento di

I’,.

Si badi infine che le

proprietà

^di

regolarità ^{della 9}

^{e delle}

supposte

nell’osservazione

(1)

^{del N.}

2, implicano

^{la con-}

y y

tinuità delle àh e

ih (y E T),

^non

però

ⁱⁿ

generale quella

^delle

(q~ (q)

’

..

an

(t)

^e

(t),

^{anche se} il moto q

}

^ha le q continue ed è consentito dai Tali funzioni

godono però

della

proprietà

espressa dal ^teorema IY. Prima di

esporlo

pre- ferisco introdurre altri enti che sebbene mi saranno neces-

sari molto

più avanti,

^sono simili alle

Convengo

^{cioè di}

indicare per

ogni t.

^con yt l’elemento di

Tt

per cui è

Si ha allora

Infatti _per ^m

+ 1 j

^N

e j

^E per

(44)

^è &#x3E;

0,

^onde

q j &#x3E; 0 in un intorno di t il

quale, supposto t

ⁱⁿ

~Rr,

contiene certo un

punto

^{di RY’ .}

15) ^Tale implicazione ^{sossiste se le} _{q ~}

(t)

^{sono anche} regolari ^se tali al confine e risolvono in senso lato le equazioni ^di Lagrange, ^come sarà dimostrato nel teorema

lg) Ricordo che è ⁼ (m +1, ^{... ,} N) - _crt ^·

Essendo

q; &#x3E; 0 ivi,

^lo

è,

^per

(29),

in tutto Rr .

È dunque j

^E 1 onde la

(45).

Dalla definizione

(42)

di pt , stante la

(41)

si ha che vale la

potendo

valere l’inclusione

effettiva,

^{come ad}

esempio

^{nel caso}

con k costante. ^In tal ca.so infatti le

(44) valgono

^{con vuoto}

mentre è

(1n + 1,

^{... ,}

N).

4. -

Ulteriori proprietà degli

^enti

introdotti preceden-

temente.

TEOREMA IV - Se per

qualunque

-siano 1 ^e

y’E ^r,

.’j.i ha

l’implicazione

allora per

ogni

y in

rt

^risulta

si ha

anche,

^{stanti le}

(27), (42),

^e

(43),

Infatti l’asserto è ovvio

per t

^{interno a}

qualche

^RY.

Sia ora t in C R. Si

fissi 1

ⁱⁿ

~

^{onde è}

Fissato

comunque h

ⁱⁿ 12 == 1- per

(42)

^{esiste in}

rt

un

Y’

^non contenente h che per costruzione di

rt

^{soddisfa la}

Per la

supposta implicazione (47),

vale la tesi di

questa

^onde

r y,

per le ultime

(36)1

^{è ah = ah 0. Si}

può

concludere anzi

Essendo

in base al teorema III

[nel

^cui enunciato si ponga Il ⁼ pt , T2 ⁼ r -

Pt l ,

segue

Valgono dunque

^le

eguaglianze (48)

e, tenendo ^conto delle

(36),

^le

(49)1.

^{Poichè fissato} comunque ^h in _st per

(42)

^esiste

un y in

~

~ contenente

h,

^le

(39~). , (48)2

^e

(36). implicano

^le

eguaglianze (49)2.

* * *

TEOREMA V - Per ₁₀

-i-

Y~

-I- (con

10’ Il’ 12

prive

^di

elementi

comuni)

all’istante

t,

^sia

Al medesimo istante

valgono

allora anche le

e risulta

Infatti dalle

(34)

^e

(36)

segue

Posto

(53)

onde

le

(52)

sottratte membro a membro danno

essendo per

(36)

e dato che le _ahk sono i coefficienti di una forma. definita

positiva,

^da

(5 i),

per

(54)

segue

Per le

ipotesi (50),

^{l’ultimo membro di}

(56)

^{è onde la}

(56) può

sussistere solo se è

da

cui,

per

(54)g

^{e ancora il}

significato

meccanico delle

"

onde per

(53),

^le

(51).

N. 5. -

Ultime conaiderazioni preliminari.

DEFINIZIONE 7a - Dirò che

~l (e)

^{è ztn. modulo di continuità}

della

funzione f (x)

nell’insieme

I,

^se per &#x3E;

0, e

è supe- riore ai valori assunti da

f (xi) ; 1

^al 1ioria,-e d i xl

e x~ ^{in I}

verificando

^la

TEOREMA VI - Per la considerata _q=

definita

in

tl t2 ,

colle qh

continue2 valga l’implicazione (47),

^{onde sus-}

sistono le

egu.aglia.nze (.I8).

^Le

Qh

^e

t’energia

^cinetica

’b

^siano

. ’~) ~q’

funzioni

continue di q, q, ^t. Allora le _ah

(t)

^{e date da}

(43’)

^{sono continue e} hanno per ^comune modulo di contznuitú.

8øl-’b(e)

^{essendo un modulo di} continuità comune alla,

Infatti,

^{dato e} &#x3E;

0, presi

^{in a}

b "1

e. ^con 0

"2- "1 ~ ~-. (e ),

esistono v

istanti n1 = e, E2

^...

Ev

⁼ n2 ^{con y}

2N-m

e

gr

^{in uno stesso}

Allora,

essendo ovviamente e valendo

onde l’asserto.

I-I

TEOREMA VII - A sia un insieme

aperto

^{811 a~}

b,

^{ove le}

f (x)

e

g(x)

siano continue. Sia

poi

(D

^indicando

l’operazione

^di derivazione di

insiemi).

I-I

Allora esiste in tutto a b ed è

i-i

Infatti siano

uk bk (k

⁼

1, 2 ...) gli

intervalli associati ad

A,

per cui crk ^e

bk

^non

appartengono

^{ad A}

(k =1, 2 ...)

^{ed è}

Per

(58)

^e

(59)

^risulta

onde in

particolare

1-1

Sia ora JJo in ^a b - A onde ⁼ 0.

I-I

Essendo

g(x) sommabile,

per

ogni x

^{di a}

b,

^si ha per

(62)

con

1-1

Dunque

è ovunque ^{ull a} b

da

cui,

per la continuità di

g(o),

segue la

(61).

c. d. d.

Osservo che il Teor. VII non è

più

valido appena ^si

tolga

t-t

l’ipotesi (59),

^{anche se è mis}

[a b ~ 1-

^0.

Infatti,

allora le condizioni

(58)

^e

(60)

possono ^essere sod- disfatte oltre che da e da

f (x) + q(x)

^e

g(s),

^essendo

1-’

q(x)

^nna

qualunque

funzione continua ^{e a} derivata nulla in

A,

^{ma con}

§

^3. PROPRIETA’ DELLE SOLUZIONI IN SENSO

LATO,

REGOLARI SE TALI AL CONFINE E CON VELOCITA’

CONTINUE

TEOREMA VIII - Il

tipo 18),

il)ote.,gi:

IPOTESI la - Per

11, ~ ~

^{== 1... N le}

g j

^{e le}

siano

IPOTESI 2a - In

tl t2

^le

q,(t)

siano continue colle

qh(t)

^e

le

( 1 ).

IPOTESI 3a Le iit

t1 t2

risolvano itt senso lato

rispetto

alle

(1)

^il

problema

^{dinamico di}

S,

^cosicchè per

17) ^{Fnnzioui di} questo tipo ^sono per ^es. le corrispondenze ^di CANTOR.

1 a) vedi def. 6 del n. 1 di § 1, essendo ,9 il sistema introdotto nella prefazione ^{F nel n. 1} di § ^1.

siano continue e per t in R 8i

abbia,.

^{valendo le}

(36)

^e

(42),

IPOTESI 4a -

L’n-pla i

^sia

regolare

^{se tale al}

confine

secondo la

definizione

^4a.

Valgono

^{allora le}

segiuenti

^{tesi :}

(q) ~qt

TESI la - Le _ah

(t)

^{1 e}

~h (t) (11

^{1 ...}

N) [date

^da

(43’)]

,

verificano (48 j

^e

(49)

^{in tutto}

tl t~

^{e ivi son o} coittinue col modulo

8*1-1a b (E)

^{dato da}

^(57).

TESI IIa - Le ....9

qN(t)

¹ esistono continue in

tl

^{e le}

(64)

sussistono in tutto

tl t2 finiti inctusi).

La tesi seconda in effetti

esprime

che per

ogni

^{t in}

ti t2

^..

stante

(27)3

^e

(42)1

^{le -m}

+ wp

_t

qh(t) (h E pt),

soddisfano le

m,

-~- equazioni

^di

Lagrange

pure, relative al sistema

Spt

(a

^~n

-E- _{w pt} gradi

^di

libertà j

ottenuto da ~Sy sostituendo ai vincoli unilaterali

(1)

i vincoli hilaterali

DIMOSTRAZIONE. - Osservo che vi è un intero v con

per cui è soddisf atta la

seguente

CONDIZIONE

Iv.

^{Esiste in T un y}

verificante [stan-te (27)3]

le

19)

Per dimostrare il teorema basta allora provare che per

ogni

intero v le

ipotesi 1.,

^{... , 4a e le} condizioni

(65)

^e

I"

implicano

le tesi I e II. Ma tale

implicazione,

^{che dirò}

4,

vale certo per v - 0.

Infatti,

allora è per

(66)2 , = N m,~

19) ^{v è il numero} di vincoli unilaterali toeenti dal sistema almeno ad un istante dell’intervallo ti

t2 -

onde

Y=(~-}-1~

^{... , da cui per}

(66),

^e

(30),

^è

tl t2cR,

onde le tesi I e II si possono considerare contenute nelle

ipotesi 2a

^{e 3a.}

Suppongo

ora valida

J"

per v intero &#x3E; 0.

Volendo dimostrare

1’implicazione J,,+1 ,

^{c~omincio col sup-}

porre

valide,

^{oltre le}

ipotesi

^{1s ... 4a e}

Jv,

^{anche le}

e. per ^{un certo}

y’

^di

r,

^la

Allora per 8 E

( m -~- 1,

^{... ,}

LNT) - y’, posto

vale la

(66)2.

Siano ak bk (k = 1, 2, ...)

^{i tratti associati a}

^{R$ ,} (certo appartenenti a t~ ~2),

^cos che per

definizione,

^{mentre le} ak ^e

bk

^{non sono}

onde per

(66’)

vale anche la

’

I-I

Per

ogni

^intero

positivo k,

per il sistema

S

^e le

qh(t)

^{in è}

dunque soddisfatta,

^{oltre le}

ipotesi la,

^{... ,}

4~,

la condizione

1,, .

Valendo anche la

(65)

in conseguenza di

(65’), applicando

^la

supposta implicazione J v,

^{si ha il}

seguente

1° PASSO - Nelle

ipotesi (65’)

^e

(66’),

ⁱⁿ

corrispondenza

^ad

~"n

qualunque

^s scelto in

(rn -+-1, ... , N) ~’,

^{le tesi la e 2~}

valgono

^{in ciascuno}

degli

intervalli _ak

bk (k = 1, 2 ...) presi singolarmente.

Come corollario si ha

poi che,

preso comunque

t3 t4

ⁱⁿ

- 1-1 1’&#x26; p’

tl t2 1

per

ogni

alt

bk C te ’t4 ,

^le

ah(t)

^e

(h =1... N),

^date

d a

(43’),

^{son o} continue in

ax bk

^con

t4

^{dato da}

(57)

^e

indipendente

^{da k. -}

Infatti per la tesi valida in virtù del lo passo in

ogni

_ - pi P t

le

xh (t),

^sono ivi continue con modulo ed è certo

ak b,

Osservo che

però

^{finora non} è dimostrato.

sia un insieme di continuità per ^le

xh _(t), c~h (t)

^{e tanto meno}

se lo sia

2°

ipotesi (65’)

^e

(66’),

^{se è}

Infatti,

^{stante la}

(70),

considerato 1’iimieme _y; definito dalle

(44)

^{in cui si esiste certo un}

indice .9,

^{in 3- e non}

in _{y ,} per cui cioè si ha

Allora,

^scelti

t3 e t~

^con

20) ^La (71) 2 ^{non è contenuta} nell’ipotesi ^{che la} ~ risolva le equazioni del LAGRANGE in senso lato perchè ^{non si è ancora rico-}

Il,

nosciuto nemmeno alle ( h =1... 1T ) ^il significato ^di componenti lagrangiane delle reazioni vincolari competenti al moto

1-1

mentre per

(44)

^è

q,(e)

⁼

0,

^per

(70)

^{esiste in}

t3

^una successione di

punti er (r-

⁼

1, 2 ... )

^con

(~.-. = 1, 2 ...)

ⁱ tratti associati ad

R1,

^esiste

una successione

~~ ,. (r~

⁼

1, 2... )

^con

per il ^1~

Passo,

la seconda tesi affermante la continuità delle qh vale in

a -; r b Il r

^{e per} definizione di

R,

^{si ha}

Allora in base alle

(74). e (75),

per ^r

1,

2... esiste per cui è

anzi

a seconda che

è ~ ~,. o §r e,

ed inoltre si ha

Poichè

pel

^{teor. II la}

regione

^di

regolarità [rispetto

^alle

(1)]

è ovunque densa in per la continuità di

q,(t)

ⁱⁿ

e per

(76)

^e

(77),

si possono supporre

gli

^{~T in R.}

Tali n,

possono ^non

appartenere

^ad

R,,

^ma

poichè

^{r ha un}

numero finito

(2 N "~)

di elementi per la

(31)

^{esiste un elemento}

è di ~

(eventualmente

a con Rs contenente infiniti _{~r .} Per

semplicità

suppongo, ^{come è}

lecito,

^{che li}

contenga

^tutti.

Per costruzione ^- vedi

(43)

^e

(36)

, in base

all’ipotesi la,

T s *

le

as(t)

^sono continue in tutto

fi t2 con

^{modulo a}

t’;’4:(£)’