Université Denis Diderot (Paris 7) M2 de Mathématiques fondamentales 2012-2013 Topologie algébrique I
Séance de TD n
◦4 et 5
2 et 9 octobre 2012
Calculs d'homologie singulière. Calculs de degrés.
1 Homologie du complémentaire d'un noeud
On considère un plongement f :D2×S1−→S3 et on noteK=f(0×S1)l'âme du tore plongé.
CalculerH∗(S3\K)à l'aide d'une suite de Mayer-Vietoris.
2 Degré des puissances sur le cercle
Soitk∈N. Quel est le degré de l'applicationφk :S1−→S1 dénie parφk(z) =zk?
3 Homologie de R P
2et R P
31. a. Justier queRP2'S1∪ϕD2oùϕ:S1−→S1est dénie parϕ(z) =z2.
b. Calculer par excision l'homologie de la paire (RP2,RP2\ {p})où pest l'image du centre de D2 dans le quotient.
c. En déduireH∗(RP2).
2. En s'inspirant du calcul précédent, calculerH∗(RP3)
4 Degré d'attachement de cellules dans les espaces projectifs réels
On rappelle queRPns'obtient à partir deRPn−1par attachement d'une cellule de dimensionn. Plus précisément, on a :
RPn 'RPn−1∪ϕDn oùϕ:∂Dn=Sn−1−→RPn−1 est dénie parϕ(x) = [x](cf séance 1).
Calculer au signe près le degré de l'application
π◦ϕ:Sn−1−→RPn−1RPn−2 oùπest la projectionπ:RPn−1−→RPn−1RPn−2.
