SUR LA VARIETE DES ESPACES LINEAIRES CONTENUS DANS UNE INTERSECTION COMPLETE

SUR LA VARIETE DES ESPACES LINEAIRES CONTENUS DANS UNE INTERSECTION COMPLETE

Olivier Debarre

¹

, Laurent Manivel

²

1 IRMA { Mathematique { CNRS, Universite Louis Pasteur, 7, rue Rene Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France (e-mail : debarre@math.u-strasbg.fr)

2 Institut Fourier, Universite de Grenoble 1, B.P. 74, 38402 Saint Martin d'Heres, France (e-mail : Laurent.Manivel@ujf-grenoble.fr)

Mathematics Subject Classi cation : 14M10, 14G05, 14J40, 14J45, 14J70, 14C25

Abstract { Let X be a subvariety of ^Pn dened by equations of degrees ^{d1 ::: ds}, over an algebraically closed eld ^k of any characteristic. We study the scheme F^r(X) which parametrizes linear subspaces of dimension ^r contained in X. Assume for simplicity that X is generic and that ⁿ is large enough. We prove that F^r(X) is connected and smooth of the expected dimension (this was previously known in characteristic 0 or for ^r= 1 ). When ^k=^C, using Bott's theorem, we prove a vanishing theorem for certain bundles on the Grassmannian and use it to determinethe cohomology groups of F^r(X) in degree

<dimX^;2^r, and to prove that F^r(X) is projectively normal in the Grassmannian. Finally, we prove that the Chow group A¹(F^r(X))^Q is of rank 1 , and that F^r(X) is unirational. All bounds on ⁿ are eective.

Soient k un corps algebriquement clos et X un sous-schema d'un espace projectif

P

_nk on note Fr(X) le sous-schemade la grassmannienne G(r

P

_nk) qui parametre les espaces lineaires de dimension r contenus dans X. Ces schemas ont une longue histoire (F], vW], AK], BVV], B1], PS], K], ELV], BV]) mais il ne semble pas exister dans la litterature d'enonce general sur leurs proprietes, m^eme les plus simples comme la connexite, valable en toute caracteristique. Un des buts de cet article est de rassembler des faits generaux sur ces schemas.

Apres un paragraphe de notations, on obtient dans le ^x2, en se basant sur les idees de K], notre premier resultat principal : pour une intersection complete generale X (autre qu'une quadrique), le schema Fr(X) est non vide et lisse de la dimension attendue lorsque celle-ci est positive, et connexe lorsque >0. Dans le ^x3, on applique des resultats de D1] et S] pour calculer certains groupes d'homotopie de Fr(X). Par ailleurs, le schema Fr(X) est le lieu des zeros d'une section d'un bre vectoriel sur la grassmannienne G(r

P

ⁿ) lorsqu'il a la dimension attendue , son ideal admet une resolution par un complexe de Koszul. Un theoreme d'annulation pour certains bres vectoriels sur G(r

P

ⁿ) (prop. 3.8) nous permet de montrer notre second resultat principal,a savoirun theoreme de type Lefschetz, qui permet

Finance en partie par le Projet Europeen HCM ^hhAlgebraic Geometry in Europe ⁱⁱ (AGE), Contrat CHRXCT-940557.

1

d'obtenir, pour k =

C

, les nombres de Hodge h^{p q}(Fr(X)) pour p+q assez petit(inferieur a dimX^;2r^;1 pour n grand). Apres avoir redige cette partie, nous nous sommes rendus compte que Borcea avait deja utilise le theoreme d'annulation de Bott dans ce cadre (il obtient entre autres les resultats du ^x2 en caracteristique nulle).

Les m^emes methodes permettent d'etudier dans le ^x 4 la restriction H⁰(G(r

P

ⁿ) ^O(l)) ^;!H⁰(Fr(X) ^O(l)) on montre que pour n assez grand, Fr(X) est projectivement normal dans G(r

P

ⁿ), et que toute equation de Fr(X) est de degre au moins egal a une equation de X dans

P

ⁿ . On donne aussi une formule explicite pour le calcul du degre des schemas Fr(X) : c'est le coecient d'un mon^ome particulier dans un polyn^ome explicite en r+ 1 variables. On donne quelques exemples de ce calcul pour des hypersurfaces de bas degre.

On s'interesse ensuite aux sous-schemas de Fr(X) qui parametrent les r-plans contenant un r0-plan xe le theoreme principal du ^x5 generalise les resultats analogues du ^x2 dans ce cadre. On en deduit que Fr(X) est separablement uniregle en droites pour n assez grand, ce qui nous permet dans le ^x6 d'adapter des idees de K] pour montrer, toujours pour n assez grand, que le groupe de Chow rationnel des 1-cycles sur un schema Fr(X) est de rang 1. Il est tentant de generaliser une conjecture de Srinivas et Paranjape (P]) de la facon suivante : pour n assez grand, les groupes de Chow rationnels de basse dimension de Fr(X) devraient ^etre ceux de la grassmannienne ambiante G(r

P

ⁿ).

Dans le ^x7, on demontre, comme conjecture dans BVV], que le schema Fr(X) est unirationnel pour n assez grand et X generique. On se ramene pour cela a un resultat de Predonzan (Pr]), precisedans l'article PS], qui fournit un critere explicite pour l'unirationa- lite d'une intersection complete dans un espace projectif. Les bornes obtenues sont explicites, mais tres grandes par exemple, on montre que la variete des droites contenues dans une hypersurface cubique de

P

ⁿ est unirationnelle pour n433 (alors que c'est deja une variete de Fano pour n6). Lorsque X est une hypersurface, une version un peu plus generale des resultats de ce ^x est demontree dans Ch] la demonstration est basee sur des resultats de Harris, Mazur et Pandharipande.

Les resultats de cet article ont paru pour la premiere fois en novembre 1996 sur le serveur alg-geom, sous le titre ^hhSchemas de Fanoⁱⁱ.

1. Notations

Soient k un corps algebriquement clos et V un k-espace vectoriel de dimen- sion n+ 1. Pour toute suite nie

d

= (d1 ::: ds) d'entiers positifs, et tout entier posi- tif r, on note ^j

d

^j=^Ps_i=1 di, puis

d

+r= (d1+r ::: ds+r) et ^;d_r=^Ps_i=1 ^;d_rⁱ. On pose Sym^dV =^Ls_i=1 Sym^diV , espace vectoriel que l'on notera aussi ;^PV(

d

). Enn, si

f

= (f1::: fs) est un element non nul de Sym^dV , on note X^f le sous-schema de

P

V d'equations f1 ==fs = 0 on dira d'un tel schema qu'il est de ni par des equations de degre

d

.

On pose ensuite

(n

d

r) = (r+ 1)(n^;r)^;

d

+r r

2

et ^;(n

d

^{r) = minf(n}

d

^{r) n;2r;sg}, que l'on ecrira simplement et ^; lorsque aucune confusion ne sera a craindre.

2. Dimension, lissite et connexite

On montre dans ce numero que les schemas Fr(X) associes a un sous-schema X de

P

_nk deni par des equations de degre

d

= (d1 ::: ds) sont lisses de la dimension attendue pour X generale, et connexes lorsque cette dimension est strictement positive. Divers cas particuliers du theoreme suivant etaient deja connus : citons par exemple BVV], qui traite le cas k =

C

et r =s= 1 P], Mu] et PS], qui demontrent b) B1], qui demontre le theoreme lorsque k est de caracteristique nulle et K], qui traite le cas r=s = 1 (th. 4.3, p. 266), et dont nous empruntonsles idees. Lorsque k =

C

, une demonstrationcompletement dierente decoule de celle du theoreme 3.4 (cf. rem. 3.6.1).

Pour appliquer le theoreme, il est utile de noter quelorsque

d

⁶= (2), l'entier (n

d

r) est positif (resp. strictement positif) si et seulement si ^;(n

d

r) l'est.

Theoreme 2.1.{

^Soient X un sous-schema de

P

_nk de ni par des equations de degre

d

^{, et}

Fr(X) le schema des r-plans contenus dans X.

a) Lorsque ^;(n

d

r) <0, le schema Fr(X) est vide pour X generale.

b) Lorsque ^;(n

d

r)0, le schema Fr(X) est non vide il est lisse de dimension (n

d

r) pour X generale.

c) Lorsque ^;(n

d

r) >0, le schema Fr(X) est connexe.

Considerons la variete d'incidence

Ir =^f(

f

])²Sym^dV G(r

P

ⁿ)^jX^fg

et les projections pr : Ir ^!Sym^dV (dont la bre au-dessus de

f

s'identie a Fr(X^f)) et q : Ir ^!G(r

P

ⁿ). Etant donne un r-plan =

P

W, la bre q^;1(]) est le noyau du mor- phisme surjectif Sym^dV ^!Sym^dW . Elle est donc de codimension ^;d+_r^r dans Sym^dV , de sorte que Ir est irreductible lisse de codimension ^;d+_r^r dans Sym^dV G(r

P

ⁿ).

On note Zr le ferme des points de Ir ou pr n'est pas lisse, et r l'image de Zr

par pr (avec la convention ^;1=^? ). Soit un r-plan, d'equations xr+1 ==xn = 0 dans

P

V pour tout entier m0, on note ^Bm la base ^f

x

^{J j}J^f0 ::: r^g Card(J) =m^g de l'espace vectoriel ;(m) on note aussi ^Bd la base 1(^Bd¹)s(^Bd^s) de l'espace vectoriel ;(

d

) (ou i est l'injection canonique de ;(di) dans ;(

d

)).

Lemme 2.2.{

Pour qu'un point (

f

]) de Ir soit dans Zr, il faut et il sut que le morphisme : ;(1)^{n;r !};(

d

) de ni par

(hr+1 ::: hn) = ^Xn

j=r+1hj

@f1

@xj

j ::: ^Xn

j=r+1hj

@fs

@xj

j

ne soit pas surjectif.

Cela resulte d'un calcul explicite fait dans BVV] dans le cas r =s = 1.

3

Lorsque X est lisse de dimension n^;s le long de , on a une suite exacte 0^;!N_=X ^;!O(1)^{n;r u;!Ms}

i=1

O(di)^;!0

et le morphisme n'est autre que H⁰(u) (cf. BVV], prop. 3 et K], p. 267 dans le cas r =s = 1). La condition du lemme est donc equivalente dans ce cas a l'annulation de H¹( N=X).

Soit : ;(1);(

d

^;1) ^!;(

d

) le morphisme de multiplication, deni par (h g1 ::: gs) = (hg1 ::: hgs). Si H est un hyperplan de ;(

d

), on note ^;1(H) l'ensemble ^f g ²;(

d

^;1)^j(;(1)^fg^g)H ^g.

On peut reenoncer le lemme 2.2 de la facon suivante : soit ^Z le sous-ensemble de q^;1(])

P

;(

d

) forme des couples (

f

`]) tels que

@f1

@xj

j ::: @fs

@xj

j

soit dans ^;1(Ker(`)) pour tout j=r+ 1 ::: n alors Zr ^\q^;1(]) s'identie a la premiere projection de ^Z. Pour tout entier h, notons ^Lh l'ensemble des formes lineaires

` sur ;(

d

) veriant codim^;1(Ker(`)) =h, et ^Zh l'ensemble des elements (

f

`]) de <sup>Z</sup> avec `^2Lh. On peut ecrire fi =^Pn_j=r+1 xjfij, avec fij^j=^;_@x^@fijj, de sorte que (2.3) codimq^;1(])pr1(^Zh)h(n^;r)^;dim

P

^Lh

et

(2.4) codimI^rZr = codim_q^;1_(])pr1(^Z) ₁ min

hr+1h(n^;r)^;dim

P

^Lh] :

(2.5) Soit ` une forme lineaire sur ;(

d

). Soit M la matrice a coecients dans ;(

d

) de la forme bilineaire dans les bases ^B1 et ^B=^Bd;1. Pour qu'un element g=^P_b^2B gbb de ;(

d

^;1) soit dans ^;1(Ker(`)), il faut et il sut que <sup>P</sup><sub>b</sub>gb`(xjb) soit nul pour tout j = 0 ::: r, de sorte que la codimension de ^;1(Ker(`)) dans ;(

d

^;1) est le rang de la matrice `(M).

Lemme 2.6.{

Soient (

f

]) un element de Zr p^;_r¹(r^;1) et ` une forme lineaire non nulle sur ;(

d

), qui s'annule sur l'image de . Alors ^;1(Ker(`)) est de codimension r+ 1 dans ;(

d

^;1).

Procedons par l'absurde en supposant que la matrice `(M) denie ci-dessus ne soit pas de rang maximal. Quitte a eectuer un changement lineaire de coordonnees, on peut supposer

`(xrb) = 0 pour tout b dans <sup>B</sup>, de sorte que si <sup>0</sup> est l'hyperplan de deni par xr = 0, la forme lineaire ` provient d'une forme lineaire `⁰ sur ;⁰(

d

). Si ⁰ : ;⁰(1)^{n;r+1 !};⁰(

d

) est le morphisme associe au point (

f

⁰]) de Ir^;1 deni dans le lemme 2.2, `<sup>0</sup> s'annule sur <sup>0</sup>(<sup>f</sup>0<sup>g</sup>;<sup>0</sup>(1)<sup>n;r</sup>). Comme la restriction de <sub>@x</sub><sup>@fir</sup> a <sup>0</sup> est nulle pour tout i, la forme lineaire `⁰ s'annule sur toute l'image de ⁰, ce qui contredit l'hypothese

f

²=r^;1 .

4

En d'autres termes, q^;1(])^\;Zr p^;_r ¹(r^;1) est contenu dans pr1(^Zr+1), et (2.3) entra^ ne

dim(Zr p^;r¹(r^;1)) = dimIr ^;codimI^r(Zr p^;r ¹(r^;1))

dimSym^dV +dimG(r

P

ⁿ)^;

d

+r r

;(r+1)(n^;r) +dim

P

;(

d

) <dimSym^dV : (2.7) Il en resulte r r^;1⁶= Sym^dV , d'ou r ⁶= Sym^dV par recurrence sur r.

On remarquera que nous avons en fait demontre que r a au plus une composante irreductible de plus que r^;1, c'est-a-dire au plus r+ 1 composantes irreductibles.

Lemme 2.8.{

^Pour 1h r+ 1, la dimension de ^Lh est au plus h(r^;h+ 1) +^;d+_h^;h;₁¹. On garde les notations de (2.5). Supposons les h premieres lignes de la matrice `(M) lineairement independantes on peut ecrire `(xjb) =^Ph_i=0^;1 aij`(xib), pour tous j=h ::: r et b<sup>2B</sup>, de sorte que les `(bi), pour bi =

x

^I dans ^Bdⁱ, peuvent s'exprimer en fonction de ceux pour lesquels I ^f0 ::: h^;1^g, et des h(r^;h+ 1) coecients aij.

L'inegalite (2.4) donne codimI^r Zr ₁ min

hr+1

h(n^;2r+h^;1)^;

d

+h^;1 h^;1

+ 1 :

(2.9) Lorsque

d

⁶= (2), on verie que l'expression entre crochets est une fonctionconcave ' de h sur 1 +¹ lorsque

d

= (2) et ^; 0, c'est une fonction croissante. On a dans chacun de ces cas

codimI^rZr min^f'(1) '(r+ 1)^g+ 1 =^;+ 1 :

Supposons ^; <0. Si

d

= (2), cela signie 2r n si une quadrique X contient un r-plan , ecrivons en gardant les m^emes notations f =xr+1`r+1++xn`n, ou les `i

sont des formes lineaires. Comme n^;rr, celles-ci ont un zero commun sur , qui est un point singulier de X, ce qui ne peut se produire pour X generale. Lorsque

d

⁶= (2), on a <0, d'ou dimIr <dimSym^dV , et pr n'est pas surjective ceci montre a) dans tous les cas.

Supposons ^; 0 il existe d'apres (2.9) un point de Ir en lequel pr est lisse. Cela entra^ ne que pr est surjective, et que Fr(X) est de dimension pour X generale. Par (2.7), pr est lisse au-dessus d'un ouvert dense de Sym^dV , ce qui montre b).

Supposons maintenant ^; >0, et considerons comme dans BVV] la factorisation de Stein pr : Ir ^;!S^;!Sym^dV du morphisme propre pr. Si le morphisme est ramie, le theoreme de purete entra^ ne que Zr contient l'image inverse d'un diviseur de S, ce qui contredit l'estimation de (2.9). Il s'ensuit que est etale, donc que c'est un isomorphisme puisque Sym^dV est simplement connexe. La variete Fr(X) est donc connexe pour toute X, ce qui montre c).

Remarques 2.10.

1) Soit S le sous-bre tautologique sur G(r

P

V). Tout element

f

de Sym^dV induit une section du bre Sym^dS , dont le lieu des zeros est le schema Fr(X^f). La

5

partie b) du theoreme montre que lorsque ^;(n

d

^r) 0, la classe de Chern cmax(Sym^dS ) n'est pas nulle. On verra dans le ^x4 comment expliciter cette classe de Chern dans l'anneau de Chow de la grassmannienne. On remarque que lorsque

d

= (2) et que ^; <0, le rang de Sym²S est plus petit que la dimension de G(r

P

ⁿ), mais sa classe de Chern d'ordre maximal 2^r+1r+1r :::1 est nulle (cf. Fu], ex. 14.7.15).

2) Toute quadrique lisse X dans

P

ⁿ est projectivement equivalente a la quadrique d'equation x0x1+x2x3++xn^;1xn = 0 si n est impair, a la quadrique d'equation x0x1+x2x3++xn^;2xn^;1+x²_n = 0 si n est pair. Le schema Fr(X) est donc lisse connexe des que ^; >0, c'est-a-dire n >2r+ 1 on sait qu'il a deux composantes connexes si n= 2r+ 1.

3. Groupes d'homotopie, groupes de cohomologie et groupe de Picard

Les resultats de D1] et S] permettent de calculer les groupes d'homotopie des schemas Fr(X) pour n assez grand.

Proposition 3.1.{

Soit X un sous-schema de

P

_nk de ni par des equations de degre

d

. On suppose Fr(X) irreductible de dimension .

a) Si n _r+1^{2 ;d+}_r^r+r+ 1, le schema Fr(X) est algebriquement simplement con- nexe, topologiquement simplement connexe lorsque k=

C

^.

b) Lorsque k =

C

^{et que} Fr(X) est lisse, on a i^;G(r

P

ⁿ) Fr(X) = 0 pour n2^;d+_r^r+i^;1. En particulier, si n2^;d+_r^r+ 2, le groupe de Picard de Fr(X) est isomorphe a

Z

, engendre par la classe de ^O(1).

Le point b) est consequence directe de S]. Pour a), il sut par D1], cor. 7.4 de montrer que Fr(X)]Fr(X)]G(r

P

^n;1)] est non nul dans A(G(r

P

ⁿ)). Par la remarque 2.10, cette intersection est la classe de Chern de degre maximal de Sym^dS Sym^dS S , et celle-ci est non nulle des que (n^;1 (

d d

) r) est positif, condition qui decoule de l'hypothese.

Remarques 3.2.

1) On rappelle que i(G(r

P

ⁿ))^'i^;1(U(r+ 1)) pour i2(n^;r) (H], chap. 7) si l'on suppose aussi i2(r+ 1), le theoreme de periodicite de Bott implique donc i(G(r

P

ⁿ)) =

Z

ou 0 selon que i est pair ou impair. En general, il peut cependant appara^ tre de la torsion (par exemple, 11(G(3

P

ⁿ)) =

Z

2

Z

120 si n9).

2) La remarque 2.10 montre que lorsque Fr(X) est de dimension , on a

!_F^r_(X) ^'!_G(r^Pn₎^{max^} Sym^dS ^j_F^r_(X)^'O_F^r_(X)(

d

+r r+ 1

;n^;1) :

En particulier, Fr(X) est une variete de Fano lorsque n^;d_r+1^+r, donc simplement connexe lorsque k =

C

(C1], KMM1]). Cette borne est neanmoins moins bonne que celle de la prop. 3.1.a) des que l'un des di est 3.

3) Les bornes de la proposition ne sont pas optimales, comme le montre l'exemple ci-dessous.

Le theoreme suivant laisse a penser que l'on devrait avoir i(G(r

P

ⁿ) Fr(X)) = 0 pour i ^;(n

d

^r) .

6

Exemple 3.3.

Soit X une hypersurface cubique lisse dans

P

_nk par BVV], prop. 5, F1(X) est une variete lisse connexe de dimension 2n^;6. La proposition entra^ ne que F1(X) est simplement connexe pour n6. Lorsque k =

C

, cela reste vrai pour n= 5 (BD], prop.

3), mais pas pour n= 4 puisque b1(F1(X)) = 10 (AK], prop. 1.15).

Passons maintenant au resultat principal de ce numero. On a vu en 2.10 que Fr(X) est le lieu des zeros d'une section d'un bre vectoriel sur la grassmannienne lorsqu'il a la codimension attendue, son ideal admet une resolution par un complexe de Koszul. Lorsque k =

C

, on montre a l'aide du theoreme de Borel-Weil-Bott (Bo], De]) et des resultats de Ma1] et Ma2] un theoreme d'annulation (prop. 3.8) qui nous permettra de determiner certains groupes de cohomologie des schemas Fr(X).

Theoreme 3.4.{

^Soit X un sous-schema de

P

^nC de ni par des equations de degre

d

^{, tel que}

Fr(X) soit lisse de dimension (n

d

r). Le morphisme de restriction Hⁱ(G(r

P

ⁿ)

Q

)^!Hⁱ(Fr(X)

Q

) est bijectif pour i < ^;(n

d

r).

En particulier, les nombres de Hodge h^{p q}(Fr(X)) et h^{p q}(G(r

P

ⁿ)) sont egaux si p+q < ^;. Rappelons que ces derniers sont nuls pour p⁶=q, et qu'ils sont egaux si p=q au nombre de partitions de p inscrites dans un rectangle de c^otes r+ 1 et n^;r. On retrouve aussi un resultat de BV] :

Corollaire 3.5.{

Si de plus ^; 3, le groupe de Picard de Fr(X) est de rang 1.

Remarques 3.6.

1) La borne du theoreme est souvent la meilleure possible : pour une hypersurface cubique lisse X dans

P

⁵, on a ^; = 2 et b2^;F1(X) = 23 (BD], prop.

3). Supposons

d

= (2 2) et n= 2g+ 1 la variete Fg^;2(X) est isomorphe a l'espace de modules des bres stables de rang 2 et de determinant xe de degre impair sur une courbe hyperelliptique C de genre g (DR], th. 1) on a ^; = 3 et b3^;Fg^;2(X) = 2g (D2], ex. 4.4.2), p. 126). La variete Fg^;1(X) est isomorphe a la jacobienne de C (DR], th.

2) on a ^; = 1 et b1^;Fg^;1(X) =g. Enn, pour

d

= (2 2) et n= 6, on a ^; = 2 et b2^;F1(X) = 8 (B2], th. 2.1).

2) Le theoreme permet de retrouver, lorsque k =

C

, les points b) et c) du theoreme 2.1 c'est la methode suivie dans B1].

3) Il resulte du corollaire 5.5 et de K], cor. 1.11, p. 189 et cor. 3.8, p. 202, que pour n^;d_r+1^+r+r+ 1, les groupes H⁰(Fr(X) !^m_F^r_(X)) et H⁰(Fr(X) (!_1F^r_(X))^m) sont nuls pour tout m >0. Lorsque k est de caracteristique nulle, l'annulation de ces groupes peut se deduire de la remarque 3.2.2) et du theoreme 2.13 de K], p. 254 (cf. C2] et KMM2]), sous l'hypothese plus faible n^;d_r+1^+r.

4) On montrera en (6.4) que pour n^;d_r+1^+r+r+ 1 et n^;d+_r+2^r+1, on a H^1q(Fr(X)) = 0 pour tout q >1, un resultat qui n'est pas couvert par le theoreme.

5) Lorsque n^;d_r+1^+r, Fr(X) est une variete de Fano (remarque 3.2.2). Lorsque k est de caracteristique nulle, le theoreme d'annulation de Kodaira entra^ ne que son groupe de Picard est sans torsion (cf. K], (1.4.13), p. 242). Vue l'hypothese sur n, et sauf dans le cas

d

= (2 2) et n= 2r+ 4, on a ^; 3, d'ou Pic(Fr(X))^'

Z

par le corollaire (comparer avec

7

la prop. 3.1.b). Lorsque

d

^{= (2 2) et n= 2g}+ 1, l'isomorphisme Pic(Fg^;2(X))^'

Z

^O(1)]

(on a ^; = 3) est demontre dans DR], (5.10) (II), p. 177 (cf. aussi R]).

Demonstration du theoreme 3.4. Sous les hypotheses du theoreme, Fr(X) est le lieu des zeros d'une section du bre Sym^dS , et sa codimension dans la grassmannienne est le rang de ce bre. Il existe donc une suite exacte (complexe de Koszul) :

(3.7) 0^{!max^}(Sym^dS)^{!!^2}(Sym^dS)^!Sym^dS^!I_F^r_(X) ^!0 : Notre outil essentiel sera le theoreme d'annulation suivant :

Proposition 3.8.{

Soient a b i j1 ::: js des entiers tels que b < a+d1j1++dsjs et b+i < ^;. Alors

H^j1++js+i(G(r

P

^nC) ^{^j1}(Sym^d1S)^{^js}(Sym^dsS)S^aS ^b) = 0 :

Soit SymS une composante de ^Vj1(Sym^d1S)^Vjs(Sym^dsS)S^aS ^b , ou = (0 ::: r) est une suite decroissante d'entiers relatifs. D'apres le theoreme de Bott (De], Ma1]), H^j+i(G SymS) ne peut ^etre non nul que s'il existe un entier h, avec 0h r+ 1, tel que j+i=h(n^;r) et h h, ce qui implique en particulier que la somme des composantes de d'indice superieur ou egal a h verie ^jjh h(r+ 1^;h).

Comme ^jj =^jj0= d1j1++dsjs+a^;b >0 , le cas h= 0 est exclu. De plus,

j^jh j1++js^;

d

+h^;1 h^;1

;b :

En eet, supposons tout d'abord a =b= 0. Admettons provisoirement le cas s = 1 le cas ou s est quelconque s'ensuit, puisque si SymS est un facteur di- rect de Sym¹SSym^sS, la regle de Littlewood et Richardson implique ^jjh

j1^jh++^js^jh . Enn, tensoriser par S^a ne peut qu'augmenter ^jjh, tandis que tensoriser par S ^b fait diminuer ^jjh au plus de b.

Pour conclure a une contradiction, il sut donc de verier que pour 1hr+ 1, h(n^;2r+h^;1)^;

d

+h^;1 h^;1

> b+i :

On retrouve au membre de gauche la fonction ' de (2.9) comme ^; est positif, le lemme resulte de l'hypothese ^; > b+i comme en (2.9). Il reste a traiter le cas a=b= 0 et s = 1, qui resulte du lemme suivant.

Lemme 3.9.{

Soient V un espace vectoriel complexe, m et d des entiers, et e la dimension de Sym^dV^m. Pour toute composante irreductible SymV de ^Vj (Sym^dV), on a ^jj>m j^;e.

Soit X la grassmannienne des sous-espaces de codimension m de V, soit Y celle des sous-espaces de codimension e de Sym^dV. On notera SX et QX les bres tautologique

8

et quotient sur X, de m^eme que SY et QY sur Y. On plonge X dans Y en associant au noyau du quotient V ^!Q celui du quotient induit Sym^dV ^!Sym^dQ.

D'apres le theoreme de Borel-Weil, ^Vj (Sym^dV) est l'espace des sections globales du bre E = detQY ^Vj^;eSY. Notons (;l)l0 la ltration de cet espace de sections selon leur ordre d'annulation l sur X. On dispose d'applications injectives

;l=;l+1 ,^!H⁰(X E^jX Sym^lN ) ou N est le bre normal de X dans Y .

Le membre de droite ne se deduit pas directement du theoreme de Borel-Weil.

Cependant, tout bre homogene ^F sur X admet une ltration homogene dont les quotients successifs dont irreductibles, c'est-a-dire produits de puissances de Schur de QX et SX. La somme gr^F de ces quotients ne depend pas de la ltration choisie, et le lemme de Schur implique l'existence d'une injection H⁰(X ^F),^!H⁰(X gr^F) : le theoreme de Borel-Weil explicite ce dernier espace de sections. Par exemple, QY^jX = Sym^dQX est irreductible, et

grSY^jX =^Md

i=1Sym^d;iQX SymⁱSX

a tous ses termes de degre superieur ou egal a 1 en SX. Cela implique que E^jX est somme de bres de la forme SymQXSymSX, avec ^jjj^;e. L'espace des sections globales d'un tel bre est une puissance de Schur SymV, ou = ( ) est la partition (si c'en est une) obtenue en concatenant et . En particulier, ^jj>m =^jjj^;e, ce qui demontre le lemme pour les composantes de ^Vj (Sym^dV) qui proviennent de ;0=;1.

Pour etendre ce resultat a celles qui proviennent de ;l=;l+1 pour tout l >0, il sut de s'assurer que toute composante irreductible de grN est de degre positif ou nul en SX. Mais c'est une consequence immediate du fait que N est un sous-bre homogene de

!_1Y^jX = Q_Y^jXSY^jX, puisque QY^jX est de degre zero, et chaque composante de SY^jX de degre positif en SX.

Revenons a la demonstration du theoreme 3.4 posons G = G(r

P

V) et F = Fr(X).

Il sut de le verier pour la cohomologie complexe, donc, via la decomposition de Hodge, de demontrer que les morphismes H^q(G !^p_G)^!H^q(F !^p_F) sont bijectifs pour p+q < ^;, et injectifs pour p+q =^;. On va montrer que les morphismes H^q(G !^p_G)^!H^q(F !^p_G^jF) et H^q(F !^p_G^jF)^!H^q(F !^p_F) ont les m^emes proprietes.

Pour les premiers, il s'agit de verier que H^q(G ^IF!^p_G) = 0 pour p+q ^;, donc, via le complexe de Koszul, que

H^q+j;1(G !^p_G^{^j}(Sym^dS)) = 0 pour tout j >0 :

Rappelons que si Q est le bre quotient sur G, on dispose d'un isomorphisme

!_1G ^'Q S, d'ou la suite exacte 0^!!_1G ^!V S^!S S^!0. Sa puissance exterieure p-ieme montre que l'annulation precedente est consequence de

H^q+j;i;1(G ^{^j} (Sym^dS)^{p^;i}(V S)Symⁱ(S S)) = 0 pour tout j > 0 i 0

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ce qu'assure la proposition 3.8 des que q ^;.

Pour les seconds, la suite exacte normale montre qu'il sut de s'assurer que H^q+i(F !^p_G^;i;1jFSymⁱ(Sym^dS)) = 0 pour tout i >0

donc, a cause encore une fois du complexe de Koszul, que

H^q+i+j(G !^p_G^;i;1Symⁱ(Sym^dS)^{^j}(Sym^dS)) = 0 pour tout i > 0 j 0 : En raisonnant comme on vient de le faire, on constate que cette annulation a lieu des que i+q < ^;, ce qui conclut cette demonstration puisque i < p.

4. Normalite projective, equations et degre

Theoreme 4.1.{

^Soit X un sous-schema de

P

^nC de ni par des equations de degre

d

^{, tel}

que Fr(X) soit de dimension . Supposons nr+^;d+_r^r. Alors Fr(X) est projectivement normale, autrement dit les morphismes de restriction

l: H⁰(G(r

P

ⁿ) ^O(l))^;!H⁰(Fr(X) ^O(l))

sont surjectifs pour tout l0. Par ailleurs, l est injectif pour l < d^; = min^fd1 ::: ds^g. Posons G = G(r

P

ⁿ) d'apres le theoreme de Bott,

H^j(G ^{^j} (Sym^dS)(l)) = 0 pour tout j > 0 et tout l 0 :

En eet, si l'on raisonne comme dans la demonstration de la proposition 3.8, cet espace ne peut ^etre non nul que si j est multiple de n^;r vue l'hypothese n^;r codimFr(X), la seule possibilite est j =n^;r = codimFr(X), auquel cas ^Vj (Sym^dS)(l) est une puissance de ^O(1), et n'a donc pas non plus de cohomologie en degre n^;r. La normalite projective s'ensuit, via le complexe de Koszul (3.7) tordu par ^O(l).

En fait, les arguments precedents impliquent plus precisement que la suite spectrale associee a ce complexe de Koszul tordu degenere en E2, ce dont on deduit que le complexe des sections globales

;!H⁰(G ^{^2} (Sym^dS)(l))^;!H⁰(G Sym^dS(l))^;!H⁰(G ^IF^r(X)(l))^;!0 est exact. Mais pour l < d^;, on a H⁰(G Sym^dS(l)) = 0 d'apres le theoreme de Bott, d'ou l'inexistence d'equations de Fr(X) de degre l.

Remarques 4.2.

1) Ce dernier complexe implique au passage que H⁰(G ^IF^r(X)(d^;)) n'est pas nul, et l'on peut calculer explicitement sa dimension.

2) Les schemas Fr(X) ne sont en general pas projectivement normaux si l'on revient au cas

d

= (2 2) et n= 2g+ 1 (cf. rem. 3.6.1), la dimension des espaces vectoriels

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H⁰(Fg^;2(X) ^O(l)) est donnee par la formule de Verlinde (Sz]), et aucun l (l >0) n'est surjectif.

3) Le theoreme d'annulation de Kodaira entra^ ne que les groupes Hⁱ(Fr(X) ^O(l)) sont nuls pour i >0 et l^;n+^;d_r+1^+r. Si l'on raisonne comme dans la preuve de la proposition 3.8, on montre facilement la m^eme annulation lorsque 0 < i <min( n^;(l+ 2)r^;s). A l'exterieur du domaine deni par ces inegalites, il peut ne pas y avoir annulation : pour une sextique X dans

P

⁶, on peut montrer que H²(F1(X) ^O(6)) est de dimension 10024 (alors que F1(X) est de dimension 3).

Introduisons des polyn^omes a r+ 1 variables, e(x) =x0++xr, et Qr d(x) = ^Y

a⁰++a^r=d(a0x0++arxr) puis Qr^d(x) = Qr d¹(x)Qr d^s(x).

Theoreme 4.3.{

Soit X un sous-schema de

P

_nk de ni par des equations de degre

d

, tel que Fr(X) soit de dimension . Le degre de Fr(X) pour le plongement de Plucker de G(r

P

ⁿ) est egal au coecient du mon^ome xⁿ₀xⁿ₁^;1xⁿ_r^;r dans le produit du polyn^ome Qr^de et du Vandermonde.

Ce degre est

deg(F) = ^Z

G(r^Pn)cmax(Sym^dS )c1(^O(1)) :

Rappelons que l'anneau de Chow de G(r

P

ⁿ) est un quotient de l'anneau des polyn^omes symetriques a r+ 1 variables x0 ::: xr, e(x) relevant c1(^O(1)), et Q(x) relevant cmax(Sym^dS ) (Fu], 14.7). De plus, integrer sur G revient, au niveau des polyn^omes, a decomposer sur les polyn^omes de Schur (M]), et ne retenir que le coecient de celui qui est associe a la partition rectangle ayant r+ 1 parts egales a n^;r, a savoir (x0:::xr)^n;r.

Il sut donc de montrer que si P est un polyn^ome symetrique, que l'on decompose sur les polyn^omes de Schur, le coecient du precedent est egal a celui du mon^ome xⁿ₀xⁿ₁^;1xⁿ_r^;r dans le produit de P et du Vandermonde. Mais par linearite, il sut de le verier lorsque P est lui-m^eme un polyn^ome de Schur, auquel cas c'est une consequence immediate de l'expression de Jacobi de ces polyn^omes (FH], (A.23), p. 459).

Donnons quelques exemples numeriques, d'abord pour le cas des droites d'une hypersurface, qui est d^u a Van der Waerden (vW]), puis pour r2, toujours dans le cas d'une hypersurface.

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d n dimF degF ^{d n} dimF degF

3 3 0 27 5 5 2 6 125

3 4 2 45 5 6 4 16 100

3 5 4 108 5 7 6 46 625

4 4 1 320 6 5 1 60 480

4 5 3 736 6 6 3 154 224

4 6 5 1 984 7 5 0 698 005

4 7 7 5 824 7 6 2 1 707 797

5 4 0 2 875 9 6 0 305 093 061

1. Degres de schemas F¹(X) .

r d n dimF degF ^{r d n} dimF degF

2 3 6 2 2 835 2 5 9 0 2 103 798 896 875

2 3 7 5 24 219 3 3 8 0 321 489

2 3 8 8 274 590 3 3 9 4 10 344 510

2 4 7 0 3 297 280 4 3 11 0 1 812 768 336

2. Degres de schemas F^r(X) pour ^r= 2 3 4.

La m^eme methode permet en fait de determiner la decomposition Fr(X)] = ^X

j^j=codimF^r(X)f

de la classe fondamentale de Fr(X) sur les classes des cycles de Schubert de la grass- mannienne, ou l'on note la classe du cycle de codimension ^jj associe a la partition = (0 ::: r).

Proposition 4.4.{

Si l'on ecrit Qr^d(x) = ^P qx, et si designe la suite (r ::: 1 0), alors

f = ^X

^{2Sr +1}"()q(+)^; :

Notons que si l'on adopte pour les cycles de Schubert la m^eme convention que pour les polyn^omes de Schur, a savoir que pour chaque suite d'entiers , on pose ="()

s'il existe une partition et une permutation ^2Sr+1 telles que +=(+), et = 0 sinon, la proposition precedente se traduit par la simple egalite

Fr(X)] =^X

q: 12

Donnons par exemple les classes de quelques varietes Fr(X) en bas degre.

Si

d

= (2) Fr] = 2^r+1r+1r :::1

Si

d

= (3) F1] = 9(23 1+ 32 2)

F2] = 27(86 3 1+ 126 2 2+ 205 4 1+ 505 3 2+ 424 4 2+ 354 3 3) : Si

d

= (4) F1] = 32(34 1+ 103 2)

F2] = 512(5410 4 1+ 18010 3 2+ 3699 5 1+ 15999 4 2+ 12309 3 3

+ 8198 6 1+ 50228 5 2+ 84598 4 3+ 5047 7 1+ 60397 6 2

+ 188897 5 3+ 133547 4 4+ 116606 6 3+ 235606 5 4+ 64405 5 5) : Si

d

= (5) F1] = 25(245 1+ 1304 2+ 913 3) :

Si

d

= (2 2) F1] = 16(4 2+3 3)

F2] = 64(6 4 2+6 3 3+5 5 2+ 25 4 3+4 4 4) :

5. Espaces lineaires sur les schemas

Fr(X)

Le but de ce paragraphe est de montrer que les schemas Fr(X) sont separablement uniregles en droites pour n assez grand (corollaire 5.5). Pour cela, nous commencons par generaliser les resultats du ^x2 aux sous-schemas de Fr(X) formes des r-plans contenant un sous-espace lineaire xe de dimension r0 < r. Pour de tels entiers, on pose

(n

d

^{r r}0) = (r^;r0)(n^;r) +

d

+r0

r0

;

d

+r r

et ^;(n

d

r r0) = min^f(n

d

r r0) n^;2r+r0+ 1^;

d

+r0

r0+ 1

g

de sorte que (n

d

^r) =(n

d

^{r ;}1) et ^;(n

d

^r) = ^;(n

d

^{r ;}1). De nouveau, il est utile de noter que lorsque

d

⁶= (2), l'entier (n

d

r r0) est positif (resp. strictement positif) si et seulement si ^;(n

d

r r0) l'est cela resulte de la convexite de la fonc- tion :r^7!;d+_r^r;r², qui entra^ ne l'inegalite (r)^;(r0)(r^;r0)((r0 + 1)^;(r0)) (puisque r > r0). Le theoreme suivant generalise le theoreme 2.1.

Theoreme 5.1.{

Soit X un sous-schema de

P

_nk de ni par des equations de degre

d

, soit 0 un r0-plan contenu dans X, et soit Fr(X 0), avec r > r0, le schema de Hilbert des r-plans contenus dans X et contenant 0.

a) Lorsque ^;(n

d

r r0)<0, le schema Fr(X 0) est vide pour X generale et 0

general contenu dans X.

b)Lorsque ^;(n

d

r r0)0, le schema Fr(X 0) est non vide il est lisse de dimension (n

d

r r0) pour X generale et 0 general contenu dans X.

c) Lorsque ^;(n

d

r r0)>0, le schema Fr(X 0) est connexe.

En gardant les notations de la demonstration du theoreme 2.1, on considere G0 = ^f]²G(r

P

ⁿ)^j0^g. La dimension de I0 =q^;1(G0) est egale a

dimSym^dV ^;

d

+r r

+ (r^;r0)(n^;r) :

13