Probabilités
I. Vocabulaire :
Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie les conditions :
►elle conduit à des résultats possibles qu'on est capable de nommer.
► on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l'expérience.
► L'expérience doit être reproductible dans les mêmes conditions.
Chacun des résultats possibles d'une expérience se nomme :
► une issue de l’expérience ou
►un événement élémentaire de l'expérience.
Expérience1 : On lance une pièce de monnaie et on regarde la face visible.
Cette expérience est une expérience aléatoire.
Les évènements élémentaires sont :
● on obtient PILE
● on obtient FACE
A partir d'une expérience aléatoire, on peut définir des évènements qui sont des ensembles de résultats.
Expérience2 : On lance un dé "classique" à 6 faces et on observe la face du dessus.
Cette expérience est une expérience aléatoire.
Les évènements élémentaires sont :
● on obtient 1
● on obtient 2
● on obtient 3
● on obtient 4
● on obtient 5
● on obtient 6
"On obtient un nombre pair" est un évènement qui est réalisé quand une des issues "on obtient 2" ; "on obtient 4" ou "on obtient 6" est réalisée.
Objectifs :
- Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.
- Calculer des probabilités dans des contextes familiers : expérience aléatoire à une épreuve.
- Calculer des probabilités dans des contextes familiers : expérience aléatoire à deux épreuves.
3ème
1
- Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent se produire en même temps.
exemple : les événements "obtenir un nombre pair" et "obtenir un 3" sont incompatibles.
- L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note A et on lit «A barre»
2
II. Probabilité d'un événement :
1 Définition /Propriété
Pour certaines expériences aléatoires, on peut déterminer par un quotient, la chancequ'un événement se produise. Ce quotient est appelé probabilité de l’événement.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui réalisent cet événement.
Exemple 1 : On lance un dé "classique" à 6 faces et on observe la face du dessus.
► On a 1 chance sur 6 d'obtenir un trois. La probabilité d'obtenir trois est ...
►L'événement "obtenir un nombre pair" est composé des issues "obtenir un 2" ou "obtenir un 4" ou "obtenir un 6". La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc : ...
...
...
Remarques :
- La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
- Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire.
- Soit E un événement, on note p(E) la probabilité que l’événement E se réalise.
2 Evénements particuliers
- Un événement est dit impossible s'il ne peut pas se produire. Sa probabilité est égale à 0.
exemple : "obtenir un 7" en lançant un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
- Un événement est dit certain s'il se produit toujours. Sa probabilité est égale à 1.
exemple : "obtenir un nombre entre 1 et 6" en lançant un dé.
3 Propriété
La somme des probabilités d'un événement et de son événement contraire est égale à 1.
Exemple : soit A l'événement «obtenir un nombre pair» en lançant un dé à 6 faces.
L'événement contraire de A est l'événement A : «obtenir un nombre impair».
A est réalisé par les issues 2,4 et 6 et A par les issues 1,3 et 5 donc on a : p(A) + p(A) = 3 + 3 = 1
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On considère l’expérience suivante, qui se déroule en deux étapes :
1. D’abord, on fait tourner la roue de loterie située ci-dessous à gauche. On obtient la couleur « Rouge » ou la couleur « Bleu ».
2. Ensuite, on fait tourner la deuxième roue de loterie ; on obtient le numéro 1 ; 2 ou 3
On notera le résultat "On tire la couleur rouge puis le chiffre 2" avec (R;2) On notera le résultat "On tire la couleur bleu puis le chiffre 1" avec (B;1) 1. Écrire tous les événements élémentaires.
2. Représenter avec un arbre les issues possibles de l'expérience.
3. Écrire les probabilités sur les branches de l'arbre.
L'arbre permet de représenter les différentes issues d’une expérience aléatoire. En le pondérant on peut faire apparaître les probabilités de chacune d’elles, comme le montrent les exemples suivants :
III. Arbre des possibles :
IV. Expérience à deux épreuves :
3
2. et 3. La probabilité d'obtenir la couleur ROUGE est et la probabilité d'obtenir BLEU est . La probabilité d'obtenir UN est
6 ; la probabilité d'obtenir DEUX est soit ; la probabilité d'obtenir TROIS est soit .
Remarque : ...
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Dessine ici l'arbre des possibles correspondant à cette situation :
