D656 – La construction du vieux taupin [*** à la main]
Construire à la règle et au comaps un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle.
Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Si un angle est connu , alors toutes ses lignes trigonométriques le sont aussi . On peut dans ce cas tracer un triangle AMN rectangle en M tel que :
tan(A) = MN / AM , puis reporter sur les 2 côtés de l'angle A les 2 côtés b et c après calcul . Mais comme le côté a doit être trouvé avant , alorsavec 3 ouvertures de compas sur une règle graduée suffiront à tracer ABC .
Les 3 valeurs données au départ doivent être cohérentes pour que le triangle existe .
A) Construction après calcul des 3 côtés .
Imaginons les hypothèses suivantes : S = 66 , p = 44 , tan A = 33 / 56 . C'est la tangente de A
= 30°.51023...
Et sin A = 33/65 , cos A = 56/65 .
Le triangle ABC recherché a pour côté AB = c , BC = a et CA = b . Son aire S = 66 , son périmètre p = a + b + c = 44 .
La loi des cosinus avec Al-Kashi donne : a² = b² + c² - 2bc.cosA . Avec le sinus l'aire du triangle : S = 1/2 b.c.sin A
On peut alors calculer dans cet ordre : a puis b & c . Commençons par a .
1) a = p/2 − 2S/p x ( sin-1 A + tan-1 A ) (1)
On reconnaît 2S/p , c'est le rayon du cercle inscrit du triangle qu'on cherche à construire : R = 2S/p = 132/44 = 3
Avec l'exemple ci-dessus :
a = 44/2 − 2 x 66 / 44 x ( 65/33 + 56/33) = 22 − 3 x 11/3 = 11 a = 11
2) a étant obtenu , il reste à déterminer b & c .
On connaît b + c mais aussi bc ( somme et produit de 2 nombres ) b + c = p − a ( p − a = k est maintenant une constante connue ) . bc = 2S / sin A .
Puis l'équation suivante où les 2 racines positives X & X' sont en fait b & c , les 2 autres côtés du triangle : X² − kX + 2S / sinA = 0 ; et les 2 racines recherchées :
b = 1/2 x (p-a) + 1/2 x ²V [ (p-a)² − 8S/sin A ] ; ²V : racine carrée C = 1/2 x (p-a) − 1/2 x ²V [ (p-a)² − 8S/sin A ]
Avec l'exemple donné : b = 1/2 x [ 33 + ²V( 33² − 8 x 66 x 65/33 ) ] = 20 c = 1/2 x [ 33 − ²V( 33² - 8 x 66 x 65/33 ) ] = 13 .
On constate qu'avec la loi des sinus , sin C = 3/5 et sin B = 12/13 , tan C = 3/4 & tan B = −12/5 . En imaginant qu'on nous donne l'angle B = 112.61986... et qu'il faille calculer le côté opposé b . Sin B = 12/13 , cos B = −5/13 & tan B = − 12/5 . En appliquant (1)
b = 44/2 − 3 x ( 13/12 − 5/12 ) = 22 − 3 x 8/12 = 20 .
L'exemple donné est voulu afin de simplifier les calculs qui donnent 3 valeurs entières pour les côtés et des lignes trigonométriques rationnelles.
Dans ce cas la construction est simple ( beaucoup de calcul mais un minimum de géométrie ).
On trace un point B ; puis , de centre B , on trace 2 cercles (C) & (C')de rayons a et b ; on choisit un point C sur le cercle (C) et on trace le cercle de centre C et de rayon c . Ce cercle intercepte le cercle (C') en 2 points A et A' .ABC & A'BC sont les triangles recherchés .
B) Construction avec un maximum de construction et minimum de calcul .
On garde le triangle rectangle AMN construit au départ . On rappelle : AM = 56 , MN = 33 et AN = 65 . MAN est l'angle ainsi donné .
Dans ce cas les seuls calculs sont la hauteur issue de A et le rayon du cercle inscrit puisque BC est maintenant mesurable .
R = 2S / p = 132/44 = 3
h = 2S / a , donc p/a = h/R ( ici 44/a = h/3 ) , ah = 3 x 44 = 132 . Comme BC = a = 11 peut aussi être mesuré : h = 132/11 = 12 .
Mais la hauteur h doit être aussi tracée tout comme BC = a .
Sur le segment AM on trace le point D tel que AD = p/2 (ici AD = 22) .
On trace la parallèle à AD distante de R = 2S/p ( ici R = 3 ) . Cette parallèle coupe le côté AN . On obtient ainsi un petit triangle rectangle de côtés R = 3 , R/sinA = 65/11 & R/tanA = 56/11 .
Sur le segment AD , on retire les deux longueurs R/sinA et R/tanA ( ici leur somme vaut 121/11 = 11 ) Le segment résultant BC mesure a = p/2 − 11 = 11 , côté recherché ( on est conforme à la formule (1) ).
Sur AD , on choisit un point B au hasard mais de telle sorte qu'on puisse tracer un arc de cercle de centre B et de rayon a qui va couper AN en C .
Traçons BC .Un triangle ABC est ainsi construit . Mais sa hauteur issue de A n'est sans doute pas la bonne . Mais comme on a obtenu BC = a géométriquement , on peut construire aussi la hauteur h .
En effet R x p = a x h .
Traçons cette hauteur avec un autre dessin (non présenté) .
On trace une droite sur laquelle on place 3 points O , M , N dans cet ordre : OM = R = 3 et ON = p = 44 . Puis on trace la médiatrice (d) de MN ainsi que le point E milieu de MN puis le cercle de centre E et de diamètre MN .
On trace un arc de cercle de centre O et de rayon a pris sur le dessin ci dessous ; cet arc coupe le cercle ( E , EM ) en F .
On trace la droite OF qui coupe une seconde fois le cercle en G . OG = h = 12 est la hauteur à reproduire pour tracer la corde PQ .
132 = 11 x 12 = 3 x 44 est la puissance du point O / cercle ( E , EM = 20.5 ) . On trace la corde PQ parallèle à BC et distante de celui ci de OG = h = 12 .
Les triangles PBC & QBC en bleu sont les triangles recherchés . L'angle A est conservé . (propriété des angles inscrits)
On vérifie que les côtés mesurent 11 , 13 , 20 . Les cercles inscrits de ces 2 triangles ont pour rayon 3 .
