Fiche 4 – Vecteurs gaussiens

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 & M1 – Probabilités Année universitaire 2019–2020

Fiche 4 – Vecteurs gaussiens

Exercice 1 – Moments gaussiens. Rappel : si Z suit la loiN(0,1), alorsΦZ(t) =e^−t2/2 pour toutt∈R. 1.DévelopperΦZ(t)en série entière.

2.En déduireE[Z²ⁿ]pourn∈N. Par exemple, que vaut E[Z⁴]? Exercice 2.

1.SoitX etY deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes. Donner une condition nécessaire et suffisante pour queX+Y etX−Y soient indépendantes.

2.SoitX et Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1). Quelle est la loi de (^X+Y√

2 ,^X−Y√

2 )? En déduire queXY et ¹₂(X²−Y²)ont même loi.

Exercice 3. SoitX une variable de loi N(0,1), etεune variable aléatoire de loiP(ε= +1) =P(ε=−1) = ¹₂, indépendante deX.

1.Quelle est la loi deY =εX?

2.Calculer la matrice de covariance de(X, Y).

3.X et Y sont-elles indépendantes ?Par exemple, comparerE[X²Y²] àE[X²]E[Y²]; on peut faire autrement.

4.Le couple(X, Y)est-il un vecteur gaussien ?

Exercice 4. SoitX un vecteur gaussien de covarianceΓ surR^d.

1.Pour toute matriceA∈ Md(R), quelle est la matrice de covariance deAX? 2.Que peut-on dire de la diagonalisation deΓ?

3.En déduire qu’il existe une matrice orthogonale A∈Od(R)telle que Y =AX a une matrice de covariance diagonale. Qu’est-ce que cela signifie pourY ?

4.En déduire queE[kXk²] =trace(Γ).

Exercice 5. SoitX₁, . . . , X_n des variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1). Déterminer la loi condi- tionnelle deX₁ sachantS_n.

Exercice 6. SoitZ= (Z1, . . . , Zd)^T de loiN(0, Id).

1.Soitu, v∈R^d. On définitU =hu, Ziet V =hv, Zi.

1.a)Montrer queCov(U, V) =hu, vi. Donner la matrice de covariance de(U, V).

1.b)Montrer queE[U|V] = ^{hu, vi}_kvk2V.

2.Montrer que, pour tous vecteurs aléatoiresU à valeurs dansR^k et V dansR^l,

ΓU,V := (Cov(Ui, Vj))_i≤k,j≤l=E[(U−E[U])(V −E[V])^T] = (ΓV,U)^T.

3.Soit X un vecteur de loi N(0, I_d), E un sous-espace vectoriel de R^d, etF =E^⊥ son orthogonal. Calculer Γ_U,V, oùU =P_E(X)etV =P_F(X)sont les projections orthogonales deX surE et F. Qu’en déduit-on ?

Exercice 7 – Moyenne et variance empiriques. SoitX1, . . . , Xn des variables aléatoires de loi normale, indépendantes. On définit

Xn= X1+· · ·+Xn

n et S_n² = 1

n

n

X

i=1

(Xi−Xn)².

1.Soiti∈ {1, . . . , n}. CalculerCov(Xi, Xn).

2.En déduire que X_n et Z = (X₁−X_n, . . . , X_n −X_n)^T sont indépendantes. Conclure que X_n et S_n² sont indépendantes.

3.Une autre approche (pas si différente).

3.a)Calculer la projection orthogonale Xe du vecteur X = (X₁, . . . , X_n)^T de R^d sur la droite engendrée par (1, . . . ,1)^T, et exprimer X−Xe.

3.b)Justifier l’indépendance entreX−Xe etXe grâce à l’exercice précédent (question 3), et conclure.

Exercice 8. Soit(X, Y, Z)un vecteur gaussien deR³tel queVar(X) = Var(Y) = Var(Z) = 1,Cov(X, Z) = 1/2 et X +Y est indépendant de (Y, Z). En déduire la matrice de covariance Γ de (X, Y, Z). Est-elle inversible ? Trouver une relation linéaire entreX, Y, Z.On rappelle que le support de(X, Y, Z)est l’image deΓ.