G282-Une datation désinvolte Problème proposé par Patrick Gordon Mon arrière-grand-père, mon grand-père et mon père ont tenu un "journal", du 1

G282-Une datation désinvolte Problème proposé par Patrick Gordon

Mon arrière-grand-père, mon grand-père et mon père ont tenu un "journal", du 1^er janvier 1901 au 31 décembre 1999, sur des feuilles volantes. Elles sont "datées" mais aujourd'hui quelque peu mélangées et mes braves ancêtres ignoraient l'usage du 0 et du séparateur (- ou /).

Ainsi, la "date" 21127 est ambiguë car elle peut vouloir dire aussi bien : 2/11/1927 que 21/01/1927, 21/12/1907, voire 21/12/1970, etc.

On demande :

1. combien de ces "dates" sont possibles,

2. combien, parmi celles-ci, sont non-ambiguës.

Solution

Remarque liminaire

À la question 1, on est tenté de répondre : il y a autant de "dates" possibles que de jours du 1^er janvier 1901 au 31 décembre 1999, soit 365  99 + autant qu'il y a d'années bissextiles, soit 24, soit au total 36159 jours. C'est évidemment inexact en raison des ambiguïtés. À la réalité, il y a au plus 36159 "dates" possibles.

Pour le dénombrement des "dates" possibles comme pour celui des "dates" non-ambiguës, il faut raisonner en détail, en distinguant ces "dates" selon leur nombre de chiffres, qui peut prendre les valeurs 3, 4, 5 ou 6.

 "dates" à 3 chiffres

Elles sont au plus au nombre de 9³ = 729.

Elles sont toutes possibles et toutes ambiguës, ne serait-ce qu'au titre du dernier chiffre C, qui peut désigner aussi bien l'année 19C0 que 190C.

 "dates" à 4 chiffres

Elles sont au plus au nombre de 9⁴ = 6561.

Elles sont toutes possibles. Certaines sont ambiguës, comme 1111. D'autres ne le sont pas, comme 7799, qui ne peut désigner que le 07/07/99.

Voyons cela de plus près.

Soit ABCD cette "date".

Si A=1, il y a ambiguïté, car ABC peut toujours désigner au moins 1B/0C (et même 1B/C0, si C=1) et le rôle de D reste ambigu (D peut désigner l'année 190D ou 19D0).

Si A=2, il y a ambiguïté, car ABC peut toujours désigner au moins 2B/0C (avec D ambigu).

Il semble toutefois que le cas où B=9 et C=2 et où aucune des deux années 190D et 19D0 n'est bissextile soit particulier.

Si ABC = 292 et D=1, comme ni 1901 ni 1910 ne sont bissextiles, la "date" 2921 est impossible en tant que 29 février 1901 ou 1910, mais reste possible en tant que 2 ou 20 septembre 1921. Elle est donc ambiguë.

Si ABC = 292 et D=2, comme 1920 est bissextile mais pas 1902, la "date" 2922 est possible, mais elle est ambiguë, car 2922 peut désigner aussi bien le 29 février 1920 que le 2 ou le 20 septembre 1922.

Si A=3 et B=1, la "date" ABCD peut désigner le 31/0C si C= 1, 3, 5, 7, 8 ou bien le 3/1C/D si C = 1 ou 2, et elle est de toute façon ambiguë au titre du D.

Si A=3 et B>1, 3B ne peut pas désigner un jour et ABCD se décompose nécessairement en 3/BC/D (ce qui est impossible avec B>1) ou 3/0B/CD, ou 30/0B/CD, ce qui est possible et ambigu, sauf si B = 2 (le 30/02 n'existe pas).

Récapitulation pour A=3 : toutes les "dates" sont possibles et seules celles commençant par 32 sont non ambiguës (ce qui en fait : 9² = 81).

Si A>3, AB ne peut pas désigner un jour et ABCD se décompose nécessairement en A/BC/D (ce qui n'est possible qu'avec B=1) ou A/0B/CD, ce qui est possible et non ambigu.

Ainsi, pour A>3, toutes les "dates" sont possibles et seules celles commençant par A2, A3…

A9 sont non ambiguës (ce qui en fait : 6  8  9² = 3888).

Nous en avons terminé avec les "dates" à 4 chiffres et l'on peut récapituler comme suit.

A total possibles

non ambiguës

1 729 729 0

2 729 729 0

3 729 729 81

4 à 9 4374 4374 3888

Total 6561 6561 3969

 "dates" à 5 chiffres

Elles sont au plus au nombre de 9⁵ = 59049. Soit ABCDE la "date".

Les critères n'étant pas les mêmes pour les deux questions, il convient de raisonner séparément sur les "dates" possibles et non-ambiguës.

o les "dates" à 5 chiffres possibles

À l'évidence, il y en a d'impossibles; ex : 99999.

Si "AB" ≤ 28, c'est toujours possible.

Si "AB" = 29, et "ABC" ≠ 292, c'est toujours possible.

Si "AB" = 29, et "ABC" = 292, c'est possible seulement si "DE" est divisible par 4, c’est-à- dire égal à 12, 16, 24, 28, 32, 36… 96 (multiples de 4 sans 0), soit 18 valeurs, sur un total de 9² = 81, soit 63 valeurs impossibles.

Donc, pour "AB" = 29, sur un total de 9³ = 729 valeurs de ABCDE, 63 valeurs sont impossibles.

Si "AB" = 31, "ABC" = 311 est possible (31 janvier ou 3 novembre), 312 aussi (3 décembre seulement) mais 314 ne l'est pas (car ni 31/04 ni 3/14 ne sont possibles). 316 et 319 ne le sont pas non plus, soit au total 3  81 = 243 valeurs impossibles.

Si 32 ≤ "AB" ≤ 39, c'est impossible (32 à 39 ne peut être le jour et le mois à 2 chiffres ne peut commencer par 2 à 9). Soit donc 8  9³ = 5832 valeurs impossibles.

Si "AB" ≥ 41, c'est possible uniquement avec "BC" = 11 ou 12. Les autres valeurs de "BC"

sont au nombre de 79, "A" peut prendre 6 valeurs et "DE" 81 valeurs; soit donc : 6  79  81

= 38394 valeurs impossibles.

Récapitulons :

AB impossibles

≤ 28 0

29 63

31 243

32 à 39 5832

≥ 41 38394

Total 44532

Soit, par soustraction du nombre total de configurations "ABCDE" = 9⁵ = 59049, un nombre de "dates" possibles à 5 chiffres de 14517.

o les "dates" à 5 chiffres non-ambiguës

À l'évidence, il y en a d'ambiguës; ex : 11111, qui peut désigner aussi bien le 11 janvier que le 1^er novembre 1911, ou encore le 11 novembre 1901 ou 1910. Voyons cela.

a) Si "ABC" = 111 ou 112, il y a ambiguïté (11 janvier ou 1^er novembre etc.), soit 2  81

= 162 valeurs ambiguës.

b) Si "ABC" = 113 à 119, il n'y a pas ambiguïté (11 mars 19DE, etc. seulement)

c) Si "ABCD" = 1211 ou 1212, il y a ambiguïté (12 janvier 191E ou 12 novembre 190E ou 19E0, etc.), soit 2  9 = 18 valeurs ambiguës

d) Si "ABCD" = 1213 à 1219, il y a ambiguïté (ex. 12 janvier 193E, ou 12 octobre 193E, etc.), soit 7  9 = 63 valeurs ambiguës

e) Si "ABCD" = 1221 à 1299, il n'y a pas ambiguïté (12 février 19DE, etc. seulement) f) Si "ABCD" = 1311 à 1319, il y a ambiguïté (ex. 13 janvier 191E, ou 13 octobre

191E, etc.), soit 9  9 = 81 valeurs ambiguës

g) Si "ABCD" = 1321 à 1399, il n'y a pas ambiguïté (ex. 1321 ne peut être que le 13 février 191E, etc.)

h) Si "ABC" = 141, il y a ambiguïté (ex. 14111 peut être le 14 janvier ou le 14 octobre 1911, etc., soit 9² = 89 valeurs ambiguës

i) Si "ABC" = 142 à 149, il n'y a pas ambiguïté (ex. 1421 ne peut être que le 14 février 191E, etc.)

L'alternance (h) / (i) se reproduit pour B = 5 à 9 :

j) Si "ABC" = 1B1, il y a ambiguïté (ex. 1B111 peut être le 1B janvier ou le 1B octobre 1911, etc.), soit 5  9² = 405 valeurs ambiguës

k) Si "ABC" = 1B2 à 1B9, il n'y a pas ambiguïté (ex. 1B21 ne peut être que le 1B février 191E, etc.)

l) Si "ABC" = 211 ou 212, il y a ambiguïté (21 janvier ou 2 novembre 19DE, etc.), soit 2  81 = 162 valeurs ambiguës.

m) Si "ABC" = 213 à 219, il n'y a pas ambiguïté (21 du mois 3 à 9, de l'année 19DE, seulement).

n) Si "ABC" = 221, il y a ambiguïté (22 janvier ou 22 octobre 19DE, etc.), soit 81 valeurs ambiguës.

o) Si "ABC" = 222 à 229, il n'y a pas ambiguïté (ex. 222DE = 22 février seulement).

p) Si "ABC" = 231, il y a ambiguïté (23 janvier ou 23 octobre 19DE), soit 81 valeurs ambiguës.

q) Si "ABC" = 232 à 239, il n'y a pas ambiguïté (ex. 232 ne peut être que le 23 février, etc.)

r) Si "ABC" = 2B1 (B = 4 à 9), il y a ambiguïté (2B janvier ou 2B octobre 19DE), soit 6

 81 = 486 valeurs ambiguës.

s) Si "ABC" = 2B2 à 2B9 (B = 4 à 9), il n'y a pas ambiguïté (ex. 252 ne peut être que le 25 février, etc.), restant entendu que "ABC" = 292 n'est possible qu'avec les valeurs de

"DE" multiples de 4.

t) Si "ABC" = 311, il y a ambiguïté (31 janvier ou 3 novembre 19DE), soit 81 valeurs ambiguës.

u) Si "ABC" = 312, il y a ambiguïté (3 décembre ou 30 décembre 19DE), soit 81 valeurs ambiguës.

v) Si "ABC" = 313 à 319, il n'y a pas ambiguïté car 313DE, 315DE, 317DE et 318DE sont possibles et non-ambiguës et les autres (314DE, etc.) ne sont pas possibles.

w) Si "ABC" = 321 à 399, c'est impossible, comme on l'a vu.

x) Si "A" ≥ 4, ce n'est possible qu'avec "BC" = 11 ou 12. Mais 411DE ne peut désigner que le 4 novembre 19DE et 412DE que le 4 décembre 19DE et il n'y a donc pas ambiguïté.

Récapitulons.

ABC… ambiguës

111 ou 112 162

1211 ou 1212 18

1213 à 1219 63

1311 à 1319 81

141 81

1B1 (B = 5 à 9) 405

211 ou 212 162

221 81

231 81

2B1 (B = 4 à 9) 486

311 ou 312 162

Total 1782

Soit, par soustraction du nombre total de "dates" possibles de 14517, que nous avons établi ci- dessus, un nombre de "dates" à 5 chiffres non-ambiguës de 12735.

 "dates" à 6 chiffres

Elles sont au plus au nombre de 9⁶ = 531441.

C'est le cas le plus facile, car elles se décomposent nécessairement de manière unique en AB/CD/EF (il n'y a pas de zéros) et toutes celles qui sont possibles sont non-ambiguës.

Naturellement elles ne sont possibles que si "CD" = 11 ou 12. Leur nombre est donc celui des jours de novembre ou décembre dont le quantième comporte 2 chiffres sans 0, soit :

 en novembre : du 11 au 29, moins le 20 (18 jours)

 en décembre : du 11 au 31, moins le 20 et le 30 (19 jours).

Ces 37 jours sont à multiplier par le nombre d'années du vingtième siècle dont le millésime ne comporte pas de zéro, qui sont au nombre de 9² = 81. Au total, donc : 37  81 = 2997 "dates"

à 6 chiffres possibles et non-ambiguës Récapitulation générale

nombre de chiffres ABC…

total théorique

"dates"

"dates"

possibles

"dates"

non ambiguës

3 729 729 0

4 6 561 6 561 3 969

5 59 049 14 517 12 735

6 531 441 2 997 2 997

Total 597 780 24 804 19 701

On vérifie bien que le nombre total de "dates" possibles (24 804) est inférieur au nombre de jours du 1^er janvier 1901 au 31 décembre 1999 (36 159; voir au début).

Il est frappant de voir que les "dates" non ambiguës (19 701) représentent près de 80% des

"dates" possibles, malgré la multiplicité des doubles comptes.