1 – Contraste de phase

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Devoir libre de Sciences Physiques n

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2 du 04-10-2021

— Solutions —

Probl` eme n

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1 – Contraste de phase

E3A PC 2012

A. Interf´ erences ` a trois sources ponctuelles

Diff´erences de marche et d´ephasages

1.Le calcul de la différence de marche est classique. On peut se reporter au schéma de la figure 1. On suit le trajet de deux rayons parallèles atteignant le pointM. Pour les construire, on utilise un troisième rayon passant par le centre optique de la lentille et arrivant enM. La différence de marche se calcule en utilisant le triangle rectangle dontA0A1 est l’hypoténuse. Comme la lentille convergente est utilisée dans le conditions deGauss, elle n’introduit pas de différence de marche et l’angle des rayons utilisés par rapport à l’axe optique est faible, on peut approximer cet angle à son sinus ou à sa tangente et écrire qu’il vaut _f^x_′. La différence de marche en valeur absolue est donc ^bx_f′. Toutefois, le rayon passant parA1 effectue moins de chemin que celui passant par A0, la différence de marche demandée est donc δ1/0=−^bx_f′ . Cela va représenter une avance de phase pourA1.

z x

bbb

A1

A0

A−1

O

(L1) x

M F^′

f^′ y

Ecran´

bb

δ

Figure1 – Calcul de la diff´erence de marche

2.Par sym´etrie, on trouve facilement que δ−1/0=^bx_f′ .

3.La différence de phase est de la formeφ= ^2πδ_λ . Ici, il faut faire attention aux signes carϕ a été présenté comme un retard de phase alors que la différence de marche, calculée avant, correspond à une avance de phase.

Dans ces conditions, on a δφ1/0=

2πbx λf^′ −ϕ

. De la mˆeme fa¸con, on trouve queδφ−1/0=−

2πbx λf^′ +ϕ

.

Eclairement observ´´ e sur l’´ecran

4.On a |a₁|=m|a₀| car il va de soit quemest un r´eel positif.

5.Par définition de la différence de phase, on a arga₁= arga₀+δφ1/0. Ainsi, on peut en déduire l’expression de l’amplitude complexe a₁=ma₀expj

2πbx λf^′ −ϕ

.

6.L’amplitude totale est la somme des amplitudes complexes des trois ondes : a_tot=a₀(1 +mexpj(^2πbx_λf′ −ϕ) +mexpj−(^2πbx_λf′ +ϕ)) .

7. L’éclairement est donné par E = βa_tota^∗_tot. On pose logiquement E0 = βa₀a^∗₀ avec β une constante de dimensionnement. Le calcul de l’éclairement donne alors E = E0(1 +mexpj(^2πbx_λf′ −ϕ) +mexpj−(^2πbx_λf′ + ϕ))(1 +mexp−j(^2πbx_λf′ −ϕ) +mexpj(^2πbx_λf′ +ϕ)). On développe le produit en éliminant tous les termes enm² puisque m≪1. En faisant cela, on récupère l’expression suivante dans laquelle une factorisation est possible.

E=E0(1 +m[expj^2πbx_λf′ (exp−jϕ+ expjϕ) + exp−j^2πbx_λf′ (exp−jϕ+ expjϕ)]). On utilise `a deux reprises le fait que 2 cosϕ= expjϕ+ exp−jϕ. Finalement, on arrive `aE=E0(1 + 4mcosϕcos^2πbx_λf′ ). On identifie γ= 4m.

8.Les franges brillantes correspondent à E =Emax. Cela impose que cos^2πbx_λf′ =±1 en fonction du signe de cosϕ. Cela correspond à des valeurs de xfixées. Les franges rectilignes sont alignées surF^′y. Pour cosϕ >0,

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on a donc une frange brillante pour xF B=n^λf_b^′ alors que pour cosϕ <0, on auraxF B= (n+¹₂)^λf_b^′. 9. Le contraste est défini par Γ = Ê_E^max_max^−E_+E^min_min. On démontre facilement que Γ =γ|cosϕ| en prenant la précaution de la valeur absolue pour éviter un signe négatif du contraste.

10.Les franges d’interférences (et non pas les interférences comme l’on dit souvent improprement. . . ) dispa- raissent lorsque Γ = 0. Cela correspond à cosϕ= 0 et donc ϕ= (2p+ 1)^π₂ .

B. Diffraction et imagerie

Diffraction de Fraunhofer par une fente allong´ee

11.Le principe de Huygens-Fresnel dit que tout élément de l’objet qui diffracte la lumière se comporte comme une source secondaire qui rayonne des ondes dans toutes les directions de l’espace à la même fréquence que le source et proportionnellement à l’amplitude qu’elle re¸coit.

12.Le trajet des rayons est réalisé sur le schéma de la figure 2.

z

X (L1) x

M F^′

f^′ y

Ecran´

bb

Onde incidente

bb

P O

Fente

δ

Figure2 – Diffraction par une fente allong´ee

13.La différence des chemins optiques suivis par ces deux ondes se calcule exactement de la même fa¸con que dans le début du problème, on démontre sans difficulté que (P M)−(OM) =−^X_f^P′^x .

14. La diffraction s’effectue seulement dans le plan OXz car la fente est très allongée selon l’axe y, on la considère donc comme finie dans cette direction. L’amplitude complexe a(M) de l’onde résultante diffractée en M par la fente est donnée par l’intégrale a(M) =KRL/2

−L/2exp{j^2πxX_λf′^P}dXP . Ce n’est que la traduction immédiate du principe deHuygens-Fresnel avec une fente pour laquelle la fonction de transparencet(XP) est nulle en dehors de [−L/2;L.2] et vaut 1 dans cet intervalle. La phase qui intervient est la conséquence de la différence de marche calculée juste avant, elle est donc bien de la forme ^2πX_λf^P_′^x.

15.On calcule l’intégrale précédente :a(M) =KRL/2

−L/2exp{j^2πxX_λf′^P}dXP =K_2πx^λf^′[exp{j^2πxX_λf′^P]^L/2_−L/2. On fait apparaˆıtre la fonction sinus puis la fonction sinuscardinal. On obtient alors a(M) =KLsinc^πLx_λf_′ .

16.On obtient un éclairement E(x) =Emaxsinc²^πLx_λf′ . Il est représenté sur le schéma de la figure 3.

E

x Emax

bb

b b b

b

0 λf^′/L 2λf^′/L

−λf^′/L

−2λf^′/L

Figure3 – ´Eclairement diffract´e

17.SiL→ ∞, le pic de diffraction se resserre et on obtient juste un point lumineux enx= 0 . C’est l’optique géométrique où la lumière parallèle à l’axe optique converge au foyer image de la lentille convergente.

18.La largeur du pic central d’´eclairement est ∆x= ^2λf_L^′ = 20µm .

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Diffraction par une lame d’indice variable

19.A la différence de marche du calcul de diffraction précédent, il faut ajouter la contribution liée à la traversée` de la lame qui estδP/Oavant= (nP−nO)d=εd(cos^2πX_Λ^P −1). On a donc δP/O=−^X_f^P′^x+εd(cos^2πX_Λ^P −1) . 20.La formule donnée pour l’intégrale de l’amplitude diffractée n’est qu’une conséquence immédiate du calcul de la différence de marche avec la relation donnant une phase de la forme ^2πδ_λ .

21. En réalisant le développement limité de l’exponentielle proposée, on arrive à une somme de trois inté- gralesa(M) =K^′(1 +j^2πεd_λ )RL/2

−L/2expj^2πxX_λf′^PdXP−K^′j^2πεd_λ RL/2

−L/2expj^2πxX_λf′^P cos^2πX_Λ^PdXP. On utilise alors le fait que cos^2πX_Λ^P = ¹₂(expj^2πX_Λ^P + exp−j^2πX_Λ^P) et on aboutit à trois intégrales amenant à nouveau la fonction sinuscardinal. La forme proposée par l’énoncé, à savoir a(M) = 1 +j^2πεd_λ

F(x)−j^πεd_λ F

x−^λf_Λ^′

− j^πεd_λ F

x+^λf_Λ^′

est justifi´ee `a condition de poser F(x) =KL^′sinc^πLx_λf_′ .

22.A la limite` L→ ∞, l’amplitude de l’onde diffractée est nulle partout, sauf en trois pointsB0,B1 etB−1, dont les abscisses respectives sont notées 0,x1,x−1avec x1=^λf_Λ^′ . En effet, la figure de diffraction n’est plus alors composée que de troisDiracsitués aux abscisses où le sinuscardinal du calcul précédent prenait sa valeur maximale.

23. On trouve x1= 5 mm . Cette valeur est grande devant la largeur de chaque figure de diffraction que nous avions calcul´ee avant ∆x= 20µm. Les 3 images ne vont pas se confondre, on observera bien trois points lumineux.

24.Il faut reprendre l’expression approchée de l’amplitude donnée par l’énoncé au point M. On a a(M) = F(x)−j^πεd_λ F

x−^λf_Λ^′

−j^πεd_λ F

x+^λf_Λ^′

. On constate que les amplitudes dues aux pointsB1etB−1présentent le facteur −j par rapport à l’amplitude associée à B0. Comme −j = exp−j^π₂, le déphasage est de −^π₂ mais commeφest compté comme un retard de phase, on a φ= ^π₂ .

Observation dans le plan conjugu´e de la fente

25. En l’absence des phénomènes de diffraction, on doit raisonner strictement dans le cadre de l’optique géométrique. La fente éclairée est au foyer objet de (L1), les rayons qui en partent vont donc à l’infini. Ces même rayons sont ensuite traités par la lentille (L^′₁) et convergent dans le plan focal image, c’est-à-dire sur l’écran. On y observe donc l’image de la fente dont l’éclairement sera uniforme.

26. Pour considérer que, du fait de la diffraction, l’on a 3 sources ponctuelles en B0, B1 et B−1, il faut considérer que la taille de la fente est grande. Cela signifie que L est grande devant la période de variation d’indice de la lame Λ : L≫Λ . On peut considérer que l’on a affaire à un réseau sinuso¨ıdal qui crée les ordres 0, +1 et−1.

27.On peut constater d’après la formule donnée par l’énoncé (et obtenue par nos calculs. . . ) de a(M) que l’amplitude de B1 et de B−1 est affectée du coefficient ^πεd_λ par rapport à celle de B0. Il ne faut oublier la prise en compte du retard de phase φ. Comme on envisage, les ondes parvenant en O^′, il n’y a pas de dé- phasage lié à l’orientation des rayons lumineux après les 3 points sources. On peut donc en déduire que :

a^′₁=a^′₋₁=a^′₀^πεd_λ exp−jφ.

28.On peut alors identifier facilement m = ^πεd_λ et φ= ϕ. Cela permet d’´ecrire que γ=^4πεd_λ et x1=b puisque nous avions montr´e quex1= ^λf_Λ^′.

29.On utilise la formule du calcul de l’éclairementE(M) =E0(1 +γcosφcos^2πx_λf¹′^x) qui se transforme compte tenu de l’expression précédente de x1 en E(M) = E0(1 +γcosφcos^2πx_Λ ). Comme φ = ^π₂, on retrouve un

éclairementE(M) =E0 indépendant deM. L’éclairement est uniforme. Cet éclairement est limité à la taille de l’image par l’optique géométrique de la fente. Comme le système des deux lentilles est afocal et que les lentilles convergentes possèdent la même distance focale, le grandissement transversal est de 1 ou pour être plus précis de−1. La taille de zone éclairée estL^′ telle que L^′ =L .

Contraste de phase

30.La diff´erence de marche introduite est (n1−1)e. Le nouveau retard de phase est doncφ^′ =φ−^2π_λ(n1−1)e.

Commeφ=^π₂, on aura cosφ^′= cos(^π₂ −^2π_λ(n1−1)e) = sin^2π(n_λ¹^−1)e.

31.Avec l’expression de γ vue avant et le calcul de la question précédente, l’expression de l’éclairement de- vient forcément : E(M) =E0

1 + 4^επd_λ sin ^2π_λ(n1−1)e

cos ^2πx_Λ

.E0correspond `a l’´eclairement de l’optique

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géométrique. Les variations du contraste dans la figure d’interférences sont reliées àε. On accède bien ainsi aux variations d’indice de la lame placée à l’entrée et l’interfrange est directement relié à la période Λ des variations de cet indice ;

32.Le contraste sera maximal lorsque sin^2π(n¹_λ⁻^1)e =±1. Cela se produit lorsque ^2π(n_λ¹⁻^1)e = (2p+ 1)^π₂. On a donce= (p+¹₂)_2(n^λ

1−1). La valeur minimale deecorrespond `a p= 0. On a donc emin=_4(n^λ

1−1)= 250 nm . 33.Comme nous l’avons déjà dit, le système des deux lentilles convergentes est afocal. Comme les lentilles sont identiques, le grandissement transversal est −1. On peut justifier cette valeur par un tracé de rayons très élé- mentaire : on suit un rayon parallèle à l’axe optique par exemple. Dans ces conditions, on a xM^′ =−xM =−x. Les variations d’indice et les variations d’éclairement suivent la même fonction cos^2πx_Λ . La relation entre les abscisses montre donc que leur période est inchangée. Un maximum d’indice sur la lame correspond à un maximum d’éclairement sur l’écran puisque la fonction cosinus est paire. Pour avoir un maximum d’éclairement associé à un maximum d’indice, il faut sin^2π(n¹_λ^−1)e = 1 et donc ^2π(n_λ¹^−1)e= (4p+ 1)^π₂. Cela correspond à des

´epaisseurs qui suivent la loi :e = (2p+¹₂)_2(n^λ

1−1). Au contraire, pour qu’un maximum d’éclairement corres- ponde à un minimum d’indice, il faut sin^2π(n_λ¹⁻^1)e =−1 et donc ^2π(n_λ¹⁻^1)e = (4p−1)^π₂. L’épaisseur est alors e= (2p−¹₂)_2(n^λ

1−1).

C. Suivi d’une exp´ erience de diffusion

Perturbation sinuso¨ıdale de concentration

34. On a _∂x^∂^c2 = −^4π_Λ2²f(t) cos^4πx_Λ et ^∂c_∂t = ^df_dtcos^2πx_Λ . On introduit ces deux expressions dans l’équation différentielle de diffusion et on obtient ^df_dt+^4π_Λ²2^D^sf(t) = 0. C’est une équation différentielle du premier ordre qui possède le temps caractéristiqueτ1=_4π^Λ₂²_D_s. On vérifie d’ailleurs par analyse dimensionnelle que cette expression est correcte. En effet,Dsest un coefficient de diffusion qui s’exprime en m²·s⁻¹et comme Λ est une longueur en m, on obtient bien pourτ1 des secondes. La solution de l’équation différentielle est triviale à trouver en faisant attention aux conditions initiales. La concentration évolue donc selon : c(x, t) =c0+c1exp−_τ^t

1 cos^2πx_Λ . 35. L’évolution de la concentration c(x, t) en fonction de x pour des dates fixées est réalisée à la figure 4.

On observe que c(x, t→ ∞) =c0 , cela est logique avec l’évolution naturelle et irréversible du processus de diffusion vers une homogénéité de concentration.

c(x, t)

x

bbbb

b b b

b

0 Λ 2Λ

−Λ

−2Λ

c⁰+c¹

c⁰ c⁰−c¹

t= 0

t→ ∞ t >0

Figure 4 – Profils de concentration

Visualisation par contraste de phase et analyse exp´erimentale 36.L’indice est donn´e par la loin=ne+βc0+βc1exp−_τ^t

1cos^2πx_Λ . Si on compare avec la loi d’indice ´etudi´ee dans la partie optique, on trouve queε=βc1exp−_τ^t

1 et comme on ajuste l’épaisseur pour avoir sin^2π(n_λ¹⁻^1)e= 1, on a bien un éclairement donné parE=E0

h1 + ^4πd_λ βc1exp−_τ^t

1cos ^2πx_Λ i

. On pose donc ξ= ^4πβ_λ .

37.On a Γmin=ξcmindd’oùcmin=^Γ^min_ξd = 1,33×10⁻³mol·m⁻³. Cette concentration est donc donnée par cmin= 1,33×10⁻⁶mol·L⁻¹ pour utiliser une unité plus usuelle.

38.Les premiers points ne sont pas alignés avec les autres car la concentration est alors trop élevée et la loi linéaire entre l’indice et la concentration n’est plus valable.

39. La loi d’´evolution du contraste est Γ(t) = Γ(0) exp−_τ^t

1. On a donc ln^Γ(t)_Γ(0) = −_τ^t

1. Il est sans doute préférable de passer en logarithme à base 10 du fait de l’échelle utilisée sur le graphique proposé. On obtient log^Γ(t)_Γ(0) =−_{ln 10}^t_τ

1. La pente du graphique est donc (en valeur absolue) _{ln 10}¹_τ

1. On peut aussi utiliser le fait

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que lorsque le contraste est divisé par 10 par rapport à celui d’une date donnée qui sert de point de départ, il s’est écoulé la durée ∆t=τ1 ln 10. Sur le graphique, on trouve que ∆t≃110 s, ce qui correspond àτ1≃48 s. À partir de l’expression deτ1=_4π^Λ₂²_D_s, on en déduit la valeur du coefficient de diffusion du sucre dans l’eau dans les conditions de l’expérience : Ds= 5,3×10⁻¹⁰m²·s⁻¹ .