  CHAPITRE 9 : TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE 9 : TRIGONOMÉTRIE

Objectifs

• [3.320] Connaître et utiliser les relations du cosinus dans un triangle rectangle.

• [3.321] Connaître et utiliser les relations du sinus dans un triangle rectangle.

• [3.322] Connaître et utiliser les relations de la tangente dans un triangle rectangle.

• [3.323] Utiliser les touches cos/cos^{– 1} , sin/ sin^{– 1} et tan/ tan^{– 1} de la calculatrice pour déterminer une valeur approchée.

• [3.324] Connaître et utiliser les relations cos² a + sin² a = 1 et tan a =sin a cos a.

I.

Rappels de vocabulaire

II.

Relations entre les côtés d'un triangle rectangle a)

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.

Dans le triangle ABC rectangle en A : cosB= BA BC

On en déduit que BA = BC×cos B

A C

B A

C

B

Hypoténuse

Côté adjacent à l'angle ABC Côté opposé à l'angle ACB Côté opposé à l'angle ABC

Côté adjacent à l'angle ACB

b)

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.

Dans le triangle ABC rectangle en A : sin B= AC BC On en déduit que AC = BC×sin B

c)

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.

Dans le triangle ABC rectangle en A : tanB= AC AB On en déduit que AC = AB×tan B

III. Propriétés

À retenir :

Pour tout angle aigu dans un triangle rectangle : cosinus=côté adjacent

hypoténuse ; sinus=côté opposé

hypoténuse ; tangente= côté opposé côté adjacent

● Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des valeurs comprises entre 0 et 1.

En effet, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté, donc le rapport longueur de côté/hypoténuse sera plus petit que 1.

● Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d'un angle aigu, on a : tan x= sin x

cos x* (si x ≠ 90°) et sin² xcos² x=1.*

● Dans un triangle rectangle en A : cos B = sin  C =  BA

BC et sin B = cos  C =  CA

BC

Ainsi, lorsque deux angles sont complémentaires, le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre.

* Démonstrations : tan B = AC

AB ; sin B = AC

BC ; cos B = AB BC

d'où sinB cosB=

AC BC AB BC

=AC BC×BC

AB=tanB .

sin²B=AC²

BC² et cos²B= AB² BC² d'où sin²Bcos²B=AC²

BC²AB²

BC²=AC²AB² BC² . Or, dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore nous permet d'écrire :

BC² = AB²AC².

D'où sin²Bcos²B=BC² BC²=1.

IV.

Le quart de cercle trigonométrique

Sur la figure ci-contre, OI = 1 unité de longueur.

Le point M se déplace sur l'arc de cercle IJ , faisant ainsi varier l'angle a de  0° à 90°.

La droite (OM) coupe la perpendiculaire à (OI) passant par I en T.

La perpendiculaire à (OI) passant par M coupe (OI) en N.

La perpendiculaire à (OJ) passant par M coupe (OJ) en P.

Ainsi : cos â = ON

OM ; sin â = OP

OM ; tan â = IT OI. Dans ces égalités, nous avons OM = OI = 1.

D'où :

cos â = ON ; sin â = OP ; tan â = IT.

Valeurs particulières :

Le quart de cercle trigonométrique permet de comprendre rapidement les cas particuliers des angles nuls (mesure égale à O°) et droit (mesure égale à 90°).

• si â = 0°, dans ce cas le point M est en I, le point N est en I (cos â = 1), le point P est en O (sin â = 0), et le point T est en I (tan â = 0).

• si â = 90°, dans ce cas le point M est en J, le point N est en O (cos â = 0), le point P est en J (sin â = 1), et le point T est à l'infini (les droites (OP) et (IT) sont parallèles, pas de point d'intersection) donc tan â est indéterminé (division par 0 impossible).

Le tableau suivant récapitule les valeurs des lignes trigonométriques d'angles souvent rencontrés et dont il est intéressant d'en connaître les valeurs exactes.

Angles 0° 30° 45° 60° 90°

sinus 0 1

2



2



2

1

cosinus 1



2



2

1 2

0

tangente 0



3

1



O I

J

M

N P

T

â