On conclut que l’ensemble des solutions de (I2) est ]4

Correction de l’interrogation écrite n^◦14 – Sujet A

Exercice 1. — En utilisant la croissance de ln et le fait que ln

2 3

<0, on peut écrire : (I₁)⇔ln

2 3

n

≤ln

1 95

⇔nln

2 3

≤ −ln(95)⇔n≥ −ln(95) ln

2 3

.

Or, −ln(95) ln

2 3

≈ 11,2 donc l’ensemble des solutions de (I₁) dans N est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 12.

Exercice 2. — L’inéquation (I₂) a un sens si et seulement six+ 3>0, x−2>0 et x+ 10>0 i.e. x >2.

De plus, pour tout x >2,

(I₂)⇔ln[(x+3)(x−2)] >ln(x+10)⇔(x+3)(x−2)> x+10 ⇔x²−16>0⇔x >4 ou x <−4.

On conclut que l’ensemble des solutions de (I₂) est ]4 ; +∞[.

Exercice 3

a) Pour tout x∈I,f⁰(x) = cosx sinx.

b) Première méthode. — Pour tout x∈I, f⁰(x) =

2x 2√

1+x²

√1 +x² = ^{√ x}

1+x²² = _1+x^x2.

Seconde méthode. — Pour tout x∈I, f(x) = ¹₂ln(1 +x²) donc f⁰(x) = ¹_21+x^2x2 = _1+x^x 2. Exercice 4

1. La fonction f est la différence de la fonction f₁ : x 7→ ln(1 +x²) et de la fonction f₂ :x7→x. La fonction f₂ est linéaire donc dérivable surR. De plus, la fonction f₁ est la composée de la fonction polynômex7→1 +x² dérivable et strictement positive sur R et de la fonction ln dérivable sur ]0 ; +∞[ donc f₁ est dérivable sur R. On conclut que f est dérivable sur R et, pour tout réel x,

f⁰(x) = 2x

1 +x² −1 = 2x−1−x²

1 +x² =−x²−2x+ 1

1 +x² =−(x−1)² 1 +x² . Ainsi, f⁰(x)≤0 pour tout réel x donc f est décroissante sur R.

2. lim

x→−∞1 +x² = +∞ et lim

X→+∞lnX = +∞donc, par composition, lim

x→−∞ln (1 +x²) = +∞.

Par différence, on en déduit que lim

x→−∞f(x) = +∞. 3. Pour toutx >0,

f(x) = ln

x²

1 x² + 1

−x= ln(x²) + ln

1 x² + 1

−x

= 2 lnx−x+ ln

1 x² + 1

=x 2lnx x −1

!

+ ln

1 x² + 1

.

• lim

x→+∞

1

x² + 1 = 1 et, par continuité de la fonction ln, lim

X→1lnX = ln 1 = 0 et ainsi, par composition, lim

x→+∞ln

1 x² + 1

= 0.

• Par théorème, lim

x→+∞

lnx

x = 0 donc lim

x→+∞2lnx

x −1 =−1 et, par produit, lim

x→+∞x 2lnx x −1

!

=

−∞.

Par somme, on conclut que lim

x→+∞f(x) =−∞.

Correction de l’interrogation écrite n^◦14 – Sujet B

Exercice 1. — En utilisant la croissance de ln et le fait que ln

1 5

= −ln(5) <0, on peut écrire :

(I₁)⇔ln

1 5

n

≤ln

2 99

⇔ −nln(5)≤ln

2 99

⇔n≥ − ln

2 99

ln(5) . Or, −

ln

2 99

ln(5) ≈ 2,4 donc l’ensemble des solutions de (I₁) dans N est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 3.

Exercice 2. — L’équation (I₂) n’a de sens que si x+ 2 > 0, x+ 1 > 0 et 3x+ 11 > 0 i.e.

x >−1.

De plus,Pour tout x >−1,

(I₂)⇔ln[(x+2)(x+1)]>ln(3x+11)⇔(x+2)(x+1) >3x+11⇔x²−9>0⇔x >3 ou x <−3.

On conclut que l’ensemble des solutions de (I₂) est ]3 ; +∞[.

Exercice 3

a) Pour tout x∈I,f⁰(x) = cosx sinx.

b) Première méthode. — Pour tout x∈I, f⁰(x) =

2x 2√

1+x²

√1 +x² = ^{√ x}

1+x²² = _1+x^x2.

Seconde méthode. — Pour tout x∈I, f(x) = ¹₂ln(1 +x²) donc f⁰(x) = ¹_21+x^2x2 = _1+x^x 2. Exercice 4

1. La fonctionf est la différence de la fonction f₁ :x7→x et la fonctionf₂ :x7→ln(1 +x²).

La fonctionf1 est linéaire donc dérivable surR. De plus, la fonctionf2 est la composée de la fonction polynôme x7→1 +x² dérivable et strictement positive surR et de la fonction ln dérivable sur ]0 ; +∞[ donc f₂ est dérivable sur R. On conclut que f est dérivable sur R et, pour tout réel x,

f⁰(x) = 1− 2x

1 +x² = 1 +x²−2x

1 +x² = x²−2x+ 1

1 +x² = (x−1)² 1 +x² . Ainsi, f⁰(x)≥0 pour tout réel x donc f est croissante sur R.

2. lim

x→−∞1 +x² = +∞ et lim

X→+∞lnX = +∞donc, par composition, lim

x→−∞ln (1 +x²) = +∞.

Par différence, on en déduit que lim

x→−∞f(x) =−∞. 3. Pour toutx >0,

f(x) =x−ln

x²

1 x² + 1

=x−ln(x²)−ln

1 x² + 1

=x−2 lnx−ln

1 x² + 1

=x 1−2lnx x

!

−ln

1 x² + 1

.

• lim

x→+∞

1

x² + 1 = 1 et, par continuité de la fonction ln, lim

X→1lnX = ln 1 = 0 et ainsi, par composition, lim

x→+∞ln

1 x² + 1

= 0.

• Par théorème, lim

x→+∞

lnx

x = 0 donc lim

x→+∞1−2lnx

x = 1 et, par produit, lim

x→+∞x 1−2lnx x

!

= +∞.

Par différence, on conclut que lim

x→+∞f(x) = +∞.