Comportement de la MEF en présence de singularités
L. CHAMPANEY et Ph. TROMPETTE
Objectifs :
– Effet des singularités,
– Coins rentrants et sortants, – Interfaces entre deux matériaux, – Comparaison de solutions.
Dans ce chapitre, nous étudions Le comportement de la méthode des éléments finis dans les zones où une structure présente des singularités. Nous étudions le cas des coins rentrants en comparant les contraiontes dans un coin rentrant et un coin sortant.
Table des matières
1 Singularités dans les coins 2
1.1 Maillages utilisés . . . 3
1.2 Déformée . . . 4
1.3 Contrainte . . . 5
1.4 Contraintes près des coins . . . 6
1.5 Influence de l’angle . . . 9
2 Singularités dans un bi-matériau 10 2.1 Problème : bilame . . . 10
2.2 Déformée . . . 11
2.3 Contraintes . . . 12
3 Conclusions 13
1 Singularités dans les coins
A B
D C
E F
G
p
100 30
40
120
θ
E = 2.1E11P a, ν = 0.3 et p = 100M P a
Pour cette étude, nous considérons le problème imaginaire présenté sur la figure ci-dessus.La structure présente deux coins particuliers D et G aui sont chargés :
– En D il y a un coin rentrant caractérisé par un angle θ.
– En G il y a un coin sortant caractérisé par un angle (370−θ).
La solution analytique [1] prédit une singularité dans un coin dès lors que l’angle d’ouverture est inférieur à 180˚. Nous devons donc observée une singularité en D mais pas en G.
Dans ce type de problème, la singularité s’exprime de la manière suivante : l’état de contrainte dans le matériau près du coin à la forme :
σ =K 1 rα
oùr est la distance au point de singularité,K (facteur d’intensité des contraintes) et α sont des paramètre qui dépensent du problème. Par exemple, dans le cas d’une fissure (θ = 0), α vaut 0.5.
C’est-a-dire que la contrainte est infinie au point de singularité. Dans la pratique, obtenir les cointraintes au point de singularité n’a pas de sens (puisqu’elles sont infinies), c’est plutôt le coefficient K qui est recherché par des techniques adaptées dont nous ne parlons pas ici.
1.1 Maillages utilisés
667 elts - 384 nds 1360 elts - 748 nds 2431 elts - 1229 nds
4398 elts - 2300 nds 8319 elts - 4280 nds 19743 elts - 10019 nds
Pour étudier comment la méthode des éléments finis converge dans une telle situa- tion, nous ensiseageons sept maillages différents (dont les six premiers sont représenté ci-dessus). Ces maillages sont de plus en plus raffinés près des coins D et G.
Il sont constitués d’éléments triangulaires à trois noeuds et sont caractérisés par la taille des mailles près des deux points (exprimée en mm). Les caractéristiques de ces maillages sont données dans le tableau ci-dessous.
Maillage Taille h Nbre éléments Nbre noeuds Nbre ddl
M1 5. 667 384 768
M2 2.5 1360 748 1496
M3 1. 2431 1299 2598
M4 0.5 4398 2300 4600
M5 0.25 8319 4280 8560
M6 0.1 19743 10019 20038
M7 0.05 38683 19511 39022
1.2 Déformée
Amplitude × 111
La figure ci-dessus présente la structure déformée dans le cas du maillage quatre (4398 éléments) et pour un angle θ = 60˚.
Les conditions aux limites (symétries aurAB et sur BC) ont été choisies de manière à ne pas introduire de singularité ni de concentration de contraintes ailleurs dans la structure.
1.3 Contrainte
14.
29.
44.
59.
74.
90.
1.05E+02 1.20E+02 1.35E+02 1.50E+02 1.65E+02 1.80E+02 1.96E+02 2.11E+02 2.26E+02 2.41E+02 2.56E+02 2.71E+02 2.86E+02 3.02E+02 3.17E+02 3.32E+02
Contrainte équivalent de Von Mises (MPa)
La figure ci-dessus présente les isovaleurs de la contrainte équivalente de Von Mises dans le même cas particulier du maillage quatre et pour un angle θ = 60˚. Cette contrainte équivalente est choisie ici pour représenté globalement l’état de contrainte.
Les isovaleurs sont tracées sur la pièce complète et sur zoom près du coin D.
On constate que le branche supèrieure en est état de traction quasi uniforme sauf à sa base près des coins D et G. Les contraintes sont extrèmement concentrées au point D.
Au pointD seuls quelques éléments sont très fortement contraints. C’est une carac- téristique d’une solution par éléments finis dans une zone de singularité.
Les contraintes restent très faibles près du coin G.
1.4 Contraintes près des coins
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 0.00
0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 X1.E2
Von Mises
Pour étudier les états de contraintes près des pointsD etG, on trace l’évolution des contraintes le long de la ligne GD.
Les éléments utilisés sont des triangles à trois noeuds linéaires en déplacement. Les contraintes sont donc constantes dans chaque élément. Il y à discontinuité des contraintes entre deux éléments.
La figure ci-dessus présente l’état la répartition de la contrainte équivalente de Von Mises sur la ligne GD pour les sept mailles considédés.
On constate que les les contraintes sont très fortes près du point D (plusieurs cen- taintes de MPa) et que le gradient de coontrainte est très fort.
Le pointG, par contre, est très peu chargé (quelques dizaines de MPa) et les gradient est plus faible.
Les deux figures suivantes présentent des zoom de cette évolution près des points G et D.
Près du coin sortant
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 0.00
0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 X1.E2
Von Mises
La figure ci-dessus prèsente l’état de contraintes équivalent de Von Mises près du coin sortant G pour les sept maillages considérés.
On constate qu’il a bien convergence de la solution éléments finis lorsque le maillage est raffiné. La contrainte équivalents se stabilise à 10M P a au pointG.
Près du coin rentrant
29.00 30.00 31.00 32.00 33.00 34.00 35.00
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 X1.E2
Von Mises
La figure ci-dessus prèsente l’état de contraintes équivalent de Von Mises près du coin rentrant G pour les sept maillages considérés.
Il n’y a pas convergence en ce point vers une valeur fixée de la contrainte. Mais il y à bien convergence vers la solution infinie analytique.
A mesure que le maillage est raffiné, la contrainte est de plus en plus forte. Faire une adaptation du maillage dans cette zone n’a donc pas de sens. Par ailleurs, en ce point la contrainte analytique est infinie et la contrainte EF à une valeur finie, donc l’erreur est toujours infinie. Certains estimateurs d’erreur détectent les points de singularité et bloquent l’adapatotion du maillage près de ces points.
1.5 Influence de l’angle
1.E−2 1.E−1 1.E0
1 2 4 6 1 2 4 6 1
1.E2 1.E3 1.E4
1 1 1
2 2
4 4
6 6
θ θ
Von Mises
h
Pour montrer la dépandance de la singularité à la géométrie, nous traçons sur la figure ci-dessus l’évolution de la contrainte équivalente de Von Mises calculée par élément finis au point G lorsque le maillage est raffiné (diminution du paramètre h) est lorsque l’angle θ varie.
Il y a donc 8 courbes (θ = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90˚) de contrainte fonction de h.
On constate qu’il y a singularité quelque soit l’angle et que plus l’angle est élevé moins les contraintes le sont. La fissure (θ = 0) est la singularité la plus forte.
2 Singularités dans un bi-matériau
2.1 Problème : bilame
100
10Zinc
Cuivre
Zinc : E = 80000M P a, ν = 0.3 et α = 2.9E − 5K
−1Cuivre : E = 125000M P a, ν = 0.3 et α = 1.7E − 5K
−1Elévation de température 100˚C
Nous montrons simplement ici une singularité dans un bi-matériau. Il s’agit d’un bilame constitué d’une lame de cuivre et d’une lame de Zinc. Ces deux matériaux ont des coefficients de dilatation thermique différents ce qui assure le fonctionnement du bilame.
La structure est soumise à une élévation de température uniforme de 100˚C.
2.2 Déformée
Amplitude × 8.6
Le zinc se dilatant plus que le cuivre on observe évidemment une flexion du bilame vers le haut.
2.3 Contraintes
−60.
−56.
−53.
−49.
−45.
−41.
−38.
−34.
−30.
−26.
−23.
−19.
−15.
−12.
−7.8 −4.1
−0.34 3.4 7.1 11.
15.
18.
σ
xy(MPA)
La concentration de contrainte est particulièrement visible sur la contrainte de ci- saillement. On constate une singularité au niveau de la surface libre à l’extrélité de la poutre. Cette contrainte est celle qui est dimensionnante pour le l’apparition de déla- minage entre les deux matériaux.
Il s’agit aussi d’un singularité, c’est-à-dire que la contrainte est infinie en ce point dans la solution analytique. Le contrainte EF augmente indéfiniment lorsqu’on raffine le maillage.
3 Conclusions
– Solution analytique en contrainte infinie sur une singularité,
– Solution EF converge vers la solution analytique, – Augmentation de la contrainte EF lorsqu’on raffine le
maillage, – Singularités :
– coins, fissures, – encastrement, – bi-matériau.
Références
[1] Leguillon D. et Sanchez-Palencia E., Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1987.
