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Expériences sur la limite de validité de la loi de Darcy
et l'apparition de la turbulence dans un écoulement de filtration
Experiments on the range of validity of Darcy's law and the appearance of turbulence in a filtering flow
PAR G. S C H N E E B E L I ,
INGÉNIEUR AU SERVICE DES ÉTUDES ET RECHERCHES HYDRAULIQUES D'ÉLECTIUCITÉ DE FRANCE
L'auteur décrit et interprète des essais qu'il a réalisés an Laboratoire National d'Hydraulique de Chaton (Paris), dans le but d'étudier le mécanisme de l'écoulement à travers un milieu poreux au voisinage de la limite de validité de la loi de pertes de charge linéaire.
Il s'avère que, contrairement à ce qui se passe dans le cas d'un tube de Poiseuille, la perte de charge cesse d'être une fonction linéaire de la vitesse bien avant l'apparition de la turbulence.
Ceci s'explique par l'intervention des forces d'inertie qui se manifestent dans un écoulement essentiellement non uniforme. L'analogie des écoulements de filtration avec les écoulements de Poiseuille n'existe donc qu'aux très faibles vitesses.
The author describes and interpréta tests thaï he curried oui al Ihe Laboratoire. National d'Hydraulique al Chat ou (Paris). His purpose was io study the mechanism of flou) through a porous médium near the limil of validity of the linear head loss law.
He finds that, contrary to whal happens in a Poiseuille tube, the head loss ceases lo be a linear funclion of the velociiy met! before the appearance of turbulence. This is exptained.
by the intervention of inerlia forces which appear in the essentially non-uniform flow, The analogy of filtering flow with Poiseuille's flow Ihus exisls only at very low velocilies.
I N T R O D U C T I O N Il e s t b i e n c o n n u q u e , p o u r d e s v i t e s s e s d e fil-
t r a t i o n a s s e z élevées, la p e r t e d e c h a r g e c r o î t p l u s r a p i d e m e n t a v e c le d é b i t q u e n e le v o u d r a i t l a loi d e D a r c y . Il e x i s t e d o n c u n e l i m i t e d e v a l i - d i t é d e c e t t e loi q u i e s t c a r a c t é r i s é e p a r u n c e r - t a i n n o m b r e d e R e y n o l d s . Ceci e s t c o m m u n é - m e n t a d m i s . M a i s la n a t u r e de c e t t e l i m i t e esl e n c o r e l ' o b j e t d ' o p i n i o n s c o n t r a d i c t o i r e s : selon les u n s , l a loi d e D a r c y c e s s e d ' ê t r e v a l a b l e l o r s - q u e la t u r b u l e n c e a p p a r a î t , a l o r s q u e d ' a u t r e s c o n t e s t e n t c e t t e c o n c e p t i o n e t a t t r i b u e n t la d é - v i a t i o n d e la loi d e f i l t r a t i o n à l ' i m p o r t a n c e c r o i s s a n t e d e s effets d ' i n e r t i e .
Ce d é b a t p e u t p a r a î t r e u n p e u t h é o r i q u e , m a i s il n ' e n r e s t e p a s m o i n s q u e , p o u r c o m p r e n d r e v r a i m e n t le m é c a n i s m e d e la filtration, il i m p o r t e
d ' ê t r e r e n s e i g n é s u r la n a t u r e d e l a l i m i t e d e v a l i d i t é de l a loi d e D a r c y . Il est e n effet e s s e n - tiel d e c o n n a î t r e le r é g i m e de l ' é c o u l e m e n t l o r s - q u ' o n é t u d i e p a r e x e m p l e , s o i t la d é c a n t a l i o n d a n s u n m i l i e u p o r e u x d e p a r t i c u l e s s o l i d e s , s o i t la diffusion ou le m é l a n g e d a n s ce m i l i e u de d e u x l i q u i d e s , s o i t e n c o r e les é c h a n g e s d e c h a l e u r e n t r e le m i l i e u ef le l i q u i d e .
11 n o u s a d o n c s e m b l é q u e l ' i n t é r ê t q u i s ' a t t a - c h e à c e t t e q u e s t i o n d u seuil d e v a l i d i t é d e la loi d e D a r c y é t a i t s u f f i s a n t p o u r j u s t i f i e r a m p l e - m e n t u n e r a p i d e é t u d e e x p é r i m e n t a l e t e l l e q u e celle q u e n o u s a v o n s e n t r e p r i s e a u L a b o r a t o i r e de C h a t o u et d o n t n o u s d o n n o n s les r é s u l t a t s c i - d e s s o u s .
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955030
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P O I N T S D E V U E T H É O R I Q U E S N o u s n o u s e x c u s o n s a u p r è s d u l e c t e u r d e r a p - p e l e r t o u t d ' a b o r d q u e l q u e s n o t i o n s é l é m e n t a i r e s . M a i s n o u s p e n s o n s q u ' a v a n t d ' e x p o s e r les d i v e r - ses c o n s i d é r a t i o n s t h é o r i q u e s a u x q u e l l e s o n p e u t se l i v r e r p o u r e x p l i q u e r la n o n - v a l i d i t é d e la loi d e D a r c y , il e s t b o n d ' i n s i s t e r s u r l a d i f f é r e n c e q u ' i l y a e n t r e u n é c o u l e m e n t l a m i n a i r e e t u n é c o u l e m e n t t u r b u l e n t .
D ' u n e f a ç o n t o u t à f a i t g é n é r a l e , o n c o n s t a t e q u ' u n é c o u l e m e n t e s t t r è s d i f f é r e n t a u x f a i b l e s n o m b r e s d e K e y n o l d s e t a u x n o m b r e s d e R e y - n o l d s é l e v é s . D a n s le p r e m i e r c a s , l ' é q u i l i b r e d y - n a m i q u e d ' u n é l é m e n t d e fluide e s t t r è s s t a b l e . E n r é g i m e p e r m a n e n t , les p a r t i c u l e s l i q u i d e s s u i v e n t u n t r a j e t b i e n d é t e r m i n é : u n e l i g n e de c o u r a n t . L a v i t e s s e e s t c o n s t a n t e et b i e n définie e n c h a q u e p o i n t . U n e p e r t u r b a t i o n a c c i d e n t e l l e modifie les l i g n e s d e c o u r a n t e t les v i t e s s e s , m a i s a p r è s s a d i s p a r i t i o n , l ' é t a t a n t é r i e u r se r é t a b l i t a s s e z r a p i d e m e n t . L ' é c o u l e m e n t a i n s i d é c r i t e s t l ' é c o u l e m e n t laminaire.
A u c o n t r a i r e , l ' é c o u l e m e n t turbulent, q u i se p r o d u i t a u x n o m b r e s d e R e y n o l d s é l e v é s , c o r r e s - p o n d à u n é q u i l i b r e d y n a m i q u e fluctuant. L e t r a - j e t d e s p a r t i c u l e s e s t d é s o r d o n n é . L a v i t e s s e e n u n p o i n t e s t l a r é s u l t a n t e d ' u n v e c t e u r v i t e s s e m o y e n n e , q u i c o r r e s p o n d a u m o u v e m e n t d ' e n - s e m b l e d u fluide, e t d ' u n e fluctuation q u i c a r a c - t é r i s e l a t u r b u l e n c e .
O s b o r n e REYNOLDS a m i s e n é v i d e n c e l e s d e u x r é g i m e s p a r u n e e x p é r i e n c e c é l è b r e q u i c o n s i s t e à i n j e c t e r u n l i q u i d e c o l o r é e n u n p o i n t d e l ' é c o u l e m e n t . E n r é g i m e l a m i n a i r e , le l i q u i d e c o - l o r é s ' é c o u l e s o u s l a f o r m e d ' u n m i n c e filet q u i m a t é r i a l i s e l a l i g n e d e c o u r a n t p a s s a n t p a r le p o i n t d ' i n j e c t i o n . E n r é g i m e t u r b u l e n t , p a r c o n - t r e , le l i q u i d e c o l o r é e s t r a p i d e m e n t diffusé à t r a v e r s t o u t l ' é c o u l e m e n t .
L ' a n a l y s e d i m e n s i o n n e l l e p e r m e t d e m o n t r e r q u e l ' é q u a t i o n d e s p e r t e s d e c h a r g e d ' u n fluide v i s q u e u x e s t d e l a f o r m e :
V3
( V d / v ) =(H e s t le n o m b r e d e R e y n o l d s , V e s t u n e v i t e s s e , o? u n e d i m e n s i o n l i n é a i r e , c a r a c t é - r i s a n t l ' é c o u l e m e n t , et v la v i s c o s i t é c i n é m a t i q u e d u fluide.
(j g d/Y2) = Cf e s t le coefficient d e f r o t t e m e n t . j est l a p e r t e de c h a r g e u n i t a i r e ( p e n t e d e l a l i g n e de c h a r g e ) c a r a c t é r i s t i q u e d e l ' é c o u l e m e n t . C'est u n n o m b r e s a n s d i m e n s i o n s , g e s t l ' a c c é - l é r a t i o n d e l a p e s a n t e u r .
L ' é q u a t i o n p r é c é d e n t e e s t a b s o l u m e n t g é n é -
r a l e . E l l e e s t v a l a b l e p o u r t o u s l e s é c o u l e m e n t s , q u ' i l s ' a g i s s e d ' é c o u l e m e n t s e n c o n d u i t e , d ' é c o u - l e m e n t s a u t o u r d ' o b s t a c l e s ou d ' é c o u l e m e n t s d e filtration.
A u x f a i b l e s n o m b r e s de R e y n o l d s , l ' é c o u l e - m e n t à t r a v e r s u n m i l i e u p o r e u x p r é s e n t e u n e c e r t a i n e a n a l o g i e a v e c l ' é c o u l e m e n t d a n s d e s t u b e s c a p i l l a i r e s r e c t i l i g n e s . P o u r c e s d e u x t y - p e s d ' é c o u l e m e n t , l a loi g é n é r a l e d e s p e r t e s d e c h a r g e p r e n d l a f o r m e :
A
Ûl (2)
A é t a n t u n e c o n s t a n t e . E n e x p l i c i t a n t la v i t e s s e V et la p e r l e de c h a r g e u n i t a i r e , o n r e t r o u v e b i e n d ' u n e p a r t la loi de D a r c y , d ' a u t r e p a r t la loi de P o i s e u i l l e .
C'est l ' e x t r a p o l a t i o n de c e t t e a n a l o g i e a u x n o m - b r e s de R e y n o l d s p l u s é l e v é s q u i a d o n n é n a i s - s a n c e à l ' h y p o t h è s e q u e le s e u i l d e v a l i d i t é d e la loi d e D a r c y c o ï n c i d e a v e c l ' a p p a r i t i o n d e l a t u r - b u l e n c e . D a n s u n t u b e r e c t i l i g n e , l a l o i d e s p e r t e s d e c h a r g e s c o n s e r v e e n effet l a f o r m e (2) j u s q u ' à l ' i n s t a n t o ù l a t u r b u l e n c e c o m m e n c e à s e m a n i - f e s t e r . S o n a p p a r i t i o n se t r a d u i t d ' a i l l e u r s s u r l a c o u r b e = / ( d l ) p a r u n b r u s q u e d é c r o c h e m e n t L ' a b s e n c e de c e d é c r o c h e m e n t s u r l a c o u r b e c o r - r e s p o n d a n t à u n é c o u l e m e n t d e filtration (cf.
fig. 1) s e m b l e à p r i o r i i n v a l i d e r q u e l q u e p e u l ' h y - p o t h è s e p r é c é d e n t e . Il a c e p e n d a n t é t é d i t q u e l ' a b s e n c e d ' u n e d i s c o n t i n u i t é p o u v a i t s ' e x p l i q u e r
FIG. 1. —- V a r i a t i o n s d u c o e f f i c i e n t d e f r o t t e m e n t e n f o n c t i o n d u n o m b r e d e R e y n o l d s .
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p a r le l'ait q u e d a n s le m i l i e u p o r e u x existent, d e s c a n a u x d e s e c t i o n s t r è s d i f f é r e n t e s . L a t u r b u - l e n c e n ' a p p a r a î t r a i t p a s s i m u l t a n é m e n t d a n s t o u s ces c a n a u x e t la d i s c o n t i n u i t é m a n q u e r a i t
à la c o u r b e e x p é r i m e n t a l e p a r c e q u ' e l l e s e r a i t u n e « m o y e n n e » d e s c o u r b e s é l é m e n t a i r e s q u i , elles, r e s s e m b l e r a i e n t à celles q u e l ' o n o b s e r v e p o u r d e s t u b e s r e c t i l i g n e s . N o u s o b j e c t e r o n s à c e l a q u ' é t a n t d o n n é l ' i n s t a b i l i t é d u r é g i m e l a m i - n a i r e a u v o i s i n a g e d u n o m b r e d e R e y n o l d s c r i t i - q u e , il n o u s p a r a î t d i f f i c i l e m e n t c o n c e v a b l e q u e la
t u r b u l e n c e p u i s s e a p p a r a î t r e e n u n p o i n t d e l ' é c o u l e m e n t s a n s se p r o p a g e r a u s s i t ô t .
Il e s t c u r i e u x q u e l'on a i t a p p o r t é t a n t d e zèle à la j u s t i f i c a t i o n de l ' a n a l o g i e a v e c l ' é c o u l e m e n t d a n s les t u b e s d e P o i s e u i l l e , c a r c e t t e a n a l o g i e e s t l o i n d ' ê t r e la s e u l e . O n c o n s t a t e , e n effet, q u e t o u s les é c o u l e m e n t s à t r è s faibles n o m b r e s de R e y n o l d s (les é c o u l e m e n t s a p p e l é s « c r e e p i n g » e n a n g l a i s , « S c h l e i c h e n d » e n a l l e m a n d ) s u i v e n t la loi de p e r t e s de c h a r g e (2). Ceci e s t v r a i en p a r - t i c u l i e r p o u r t o u s les é c o u l e m e n t s a u t o u r d ' o b s - t a c l e s q u i f o n t i n t e r v e n i r d e s « r é s i s t a n c e s d e f o r m e » . . N o u s a v o n s i n d i q u é , s u r l a figure 1, la c o u r b e d u C2 d ' u n e s p h è r e . O n voit q u ' e l l e r e s s e m b l e b e a u c o u p p l u s à l a c o u r b e d e s p e r t e s d e c h a r g e d a n s u n m i l i e u p o r e u x q u e celle d ' u n t u b e r e c t i l i g n e .
D ' u n a u t r e c ô t é , o n p e u t c i t e r d e s e x e m p l e s a s s e z n o m b r e u x d ' é c o u l e m e n t s s t r i c t e m e n t l a m i - n a i r e s d o n t les p e r t e s de c h a r g e n e s o n t p l u s d e la f o r m e (2). S u r la figure 2 n o u s en a v o n s g r o u p é t r o i s .
L e p r e m i e r c o r r e s p o n d à l ' e n t r é e d ' u n t u b e de P o i s e u i l l e . D u f a i t d e l ' a c c é l é r a t i o n d u l i q u i d e ,
FIG. 2
E x e m p l e s d ' é c o u l e m e n t s l a m i n a i r e s d o n n a n t l i e u à d e s p e r t e s d e c h a r g e n o n l i n é a i r e s .
la r é p a r t i t i o n p a r a b o l i q u e d e s v i t e s s e s n e s ' é t a - b l i t p a s d è s le d é b u t d u t u b e . Il e n r é s u l t e u n e p e r t e d e c h a r g e s u p p l é m e n t a i r e de l a f o r m e C V2. L e d e u x i è m e e s t u n é l a r g i s s e m e n t b r u s q u e . U n e p a r t i e d e l ' é n e r g i e c i n é t i q u e e s t a b s o r b é e p a r les é c o u l e m e n t s en c i r c u i t f e r m é c r é é s p a r le j e t .
L a j u x t a p o s i t i o n d e ces d e u x c a s se t r o u v e d a n s les t u b e s d e P o i s e u i l l e c o u r t s . L a p e r t e d e c h a r g e à t r a v e r s u n t e l t u b e est d e la f o r m e :
j = K V + C V2
E n f i n , le t r o i s i è m e e x e m p l e e s t l ' é c o u l e m e n t d a n s u n t u b e de P o i s e u i l l e d ' a x e n o n r e c t i l i g n e . L a p e r t e de c h a r g e est é g a l e m e n t d e l a f o r m e ci- d e s s u s , les p e r t e s q u a d r a t i q u e s é t a n t d u e s , d ' u n e p a r t à la d é f o r m a t i o n d u profil d e s v i t e s s e s p a r la force c e n t r i f u g e , et ( l ' a u t r e p a r t à l ' é c o u l e m e n t s e c o n d a i r e q u i se fait p e r p e n d i c u l a i r e m e n t à l'axe d u t u b e e t d o n t l ' i m p o r t a n c e a u g m e n t e avec la v i t e s s e .
T o u s ces e x e m p l e s m o n t r e n t c l a i r e m e n t q u e , l o r s q u ' u n é c o u l e m e n t strictement laminaire n ' e s t p a s u n i f o r m e , les f o r c e s d ' i n e r t i e d o n n e n t lieu à d e s p e r t e s n o n l i n é a i r e s . Ceci e s t d û a u fait q u e les f r o t t e m e n t s v i s q u e u x s o n t d e la f o r m e :
92 »
e t d é p e n d e n t d o n c e s s e n t i e l l e m e n t d e la r é p a r - t i t i o n d e s v i t e s s e s . C e t t e r é p a r t i t i o n v a r i e a v e c la v i t e s s e m o y e n n e à c a u s e d e l'effet d ' i n e r t i e .
A p r è s a v o i r p a s s é e n r e v u e les a r g u m e n t s d ' o r - d r e t h é o r i q u e , o n n e p e u t s ' e x p l i q u e r la p e r s i s - t a n c e de la t h è s e q u i fait c o ï n c i d e r la l i m i t e d e v a l i d i t é d e l a loi d e D a r c y a v e c l ' a p p a r i t i o n d e la t u r b u l e n c e q u e p a r l ' a b s e n c e d ' é v i d e n c e e x p é - r i m e n t a l e d u c o n t r a i r e .
E n fait, i l p a r a i s s a i t a s s e z difficile d e d é c e l e r l ' a p p a r i t i o n d e l a t u r b u l e n c e d a n s u n m a s s i f d e s a b l e . L I N D Q U I S Ï , q u i , le p r e m i e r , a a t t i r é l ' a t t e n - t i o n s u r le r ô l e d e l ' i n e r t i e , n ' a f a i t a u c u n e ex- p é r i e n c e d i r e c t e . Il a s i m p l e m e n t d é t e r m i n é , au m o y e n d e la t e c h n i q u e d u filet c o l o r é , le n o m b r e d e R e y n o l d s c a r a c t é r i s a n t l ' a p p a r i t i o n d e la t u r - b u l e n c e d a n s u n t u b e c o m p o r t a n t u n e s é r i e de r e n f l e m e n t s et d ' é t r a n g l e m e n l s a l t e r n é s , p u i s il a e x t r a p o l é ce r é s u l t a t â u n m a s s i f d e s p h è r e s d ' é g a l d i a m è t r e .
L E S E S S A I S
L e b u t d e s e x p é r i e n c e s effectuées à C h a t o u é t a i t d e d é t e r m i n e r le n o m b r e d e R e y n o l d s c r i - t i q u e d e l ' é c o u l e m e n t à t r a v e r s u n m i l i e u a u s s i p r o c h e q u e p o s s i b l e d ' u n m i l i e u p o r e u x n a t u r e l
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B i l l e s - d e v e r r e d e 27 m m d e d i a m è t r e .
C a i l l a s s e d e g r a n i t c o n c a s s é .
F i o . 3
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et d e r e l e v e r e n m ê m e t e m p s l a c o u r b e d e v a r i a - tion d u coefficient de f r o t t e m e n t a v e c le n o m b r e de R e y n o l d s . L ' e x a m e n d e c e t t e c o u r b e d e v a i t p e r m e t t r e d e d é t e r m i n e r le n o m b r e d e R e y n o l d s
a u - d e l à d u q u e l la loi de D a r c y ne s ' a p p l i q u e p l u s .
N o u s a v o n s g a r d é d e s e x p é r i e n c e s de L i x n -
Q L ' I S T la t e c h n i q u e d e s filets c o l o r é s , c o m m e
F i e . 4. — V u e d ' e n s e n i b i e d e l ' i n s t a l l a t i o n d ' e s s a i .
1 4 6 LA H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
m o y e n le p l u s s i m p l e p o u r d é t e r m i n e r le r é g i m e d e l ' é c o u l e m e n t . L ' u t i l i s a t i o n d e c e t t e t e c h n i q u e n o u s a i m p o s é u n d i a m è t r e r e l a t i v e m e n t i m p o r - t a n t d e s c a n a u x i n t e r s t i t i e l s , ce q u i d ' u n a u t r e côté a d o n n é lieu à q u e l q u e s difficultés p o u r la m e s u r e d e s p e r t e s de c h a r g e q u i é t a i e n t e x t r ê - m e m e n t f a i b l e s .
D e u x m i l i e u x p o r e u x o n t é t é u t i l i s é s . D ' u n e p a r t , d e s billes d e v e r r e de 27 m m d e d i a m è t r e , d ' a u t r e p a r t d e l a c a i l l a s s e d e g r a n i t é c o n c a s s é (fig. 3 ) . L e s b i l l e s d e v e r r e o n t é t é c h o i s i e s d ' a b o r d e n r a i s o n d e la s i m p l i f i c a t i o n q u ' e l l e s a p p o r t a i e n t à la d é f i n i t i o n d u n o m b r e de R e y - n o l d s . E l l e s p e r m e t t a i e n t e n o u t r e d e s u i v r e f a - c i l e m e n t u n filet c o l o r é , m ê m e à l ' i n t é r i e u r d u m a s s i f . L e g r a n i t é c o n c a s s é a été u t i l i s é e n - s u i t e , q u a n d il n o u s a p a r u i n t é r e s s a n t de r e f a i r e u n e s s a i a v e c u n m i l i e u à g r a i n s a n g u l e u x .
L e s m a t é r i a u x é t a i e n t p l a c é s d a n s u n a p p a r e i l q u i a v a i t j a d i s s e r v i à d e s e s s a i s d ' é l u t r i a t i o n .
C ' é t a i t u n e c o n d u i t e d e s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e d o n t d e u x faces é t a i e n t e n p l e x i g l a s s . D e u x p r i - s e s de p r e s s i o n d e p a r t et d ' a u t r e d e la co- l o n n e filtrante é t a i e n t r e l i é e s a u x p o t s d ' u n e p o i n t e v i b r a n t e d i f f é r e n t i e l l e q u i p e r m e t t a i t , d ' a p - p r é c i e r 2 à 3 / 1 0 0 d e m m d ' e a u (*). L a f i g u r e 4 d o n n e u n e v u e d ' e n s e m b l e d e l ' i n s t a l l a t i o n . L e h a u t d e l a c o n d u i t e é t a i t m u n i d ' u n t r o p - p l e i n . L ' é c o u l e m e n t se f a i s a i t d e h a u t e n b a s . L e s d é b i t s é t a i e n t m e s u r é s p a r c a p a c i t é .
P o u r c o u v r i r u n i n t e r v a l l e r e l a t i v e m e n t i m p o r - t a n t d e n o m b r e s d e R e y n o l d s , n o u s a v o n s u t i l i s é d e u x l i q u i d e s : d ' u n e p a r t d e l ' e a u , e t d ' a u t r e p a r t u n e s o l u t i o n a q u e u s e à e n v i r o n 1 % d ' é t h y l - o x é t h y l - c e l l u l o s e ( M o d o c o l l d a n s le c o m m e r c e ) . L a v i s c o s i t é o b t e n u e é t a i t e n v i r o n q u i n z e fois celle d e l ' e a u .
N o u s a v o n s u t i l i s é d e l ' e n c r e d e C h i n e d i l u é e c o m m e l i q u i d e c o l o r é . L a s o n d e d ' i n j e c t i o n é t a i t u n p e t i t t u b e e n a l u m i n i u m m u n i d ' u n orifice d e faible d i a m è t r e . E l l e é t a i t r e l i é e à u n r é s e r v o i r d ' e n c r e de C h i n e r é g l a b l e e n a l t i t u d e . P o u r c h a - q u e d é b i t il f a l l a i t r é g l e r s a cote d e f a ç o n à o b t e - n i r u n e t r è s f a i b l e s u r p r e s s i o n d a n s l a s o n d e e t p r o v o q u e r a i n s i l ' e x p u l s i o n d ' u n d é b i t c o n v e n a - b l e de c o l o r a n t .
L e s filets o b t e n u s e n r é g i m e l a m i n a i r e é t a i e n t r i g o u r e u s e m e n t i m m o b i l e s . P o u r d e s n o m b r e s d e R e y n o l d s r e l a t i v e m e n t i m p o r t a n t s , il f a l l a i t c e - p e n d a n t a t t e n d r e a s s e z l o n g t e m p s a p r è s c h a q u e c h a n g e m e n t de d é b i t p o u r q u e l ' é c o u l e m e n t se s t a b i l i s e . N o u s a v o n s c o n s i d é r é q u e l a t u r b u l e n c e c o m m e n ç a i t à se m a n i f e s t e r l o r s q u e c e t t e s t a b i - l i s a t i o n n ' a v a i t p l u s lieu, q u e le filet s u b i s s a i t d e f o r t e s o s c i l l a t i o n s e t s e f r a g m e n t a i t . E n r é g i m e
(*) U n m é m o i r e d e M. GIUDEL p a r u d a n s la Houille Blanche ( n u m é r o s p é c i a l B , 1950) d é c r i t l e p r i n c i p e d e cet a p p a r e i l .
f r a n c h e m e n t t u r b u l e n t , le c o l o r a n t é t a i t diffusé d a n s u n c ô n e i r r é g u l i e r .
I l n ' é t a i t é v i d e m m e n t p a s t r è s facile d e d é c i - d e r e x a c t e m e n t à q u e l d é b i t c o r r e s p o n d a i e n t les p r e m i è r e s m a n i f e s t a t i o n s d e la t u r b u l e n c e . E n c o o r d o n n é e s l o g a r i t h m i q u e s , l a p r é c i s i o n d e s n o m b r e s d e R e y n o l d s c r i t i q u e s e s t c e p e n d a n t s u f f i s a n t e .
L E S R É S U L T A T S
a) S P H È R E S .
L a p o r o s i t é d u m a s s i f é t a i t d e 39 % .
L e n o m b r e d e R e y n o l d s e s t défini a u m o y e n d u d i a m è t r e d e s s p h è r e s e t d e l a v i t e s s e b r u t e d e filtration ( d é b i t d e l ' a p p a r e i l d i v i s é p a r s a s e c t i o n ) :
L e coefficient d e f r o t t e m e n t :
e s t défini a u m o y e n de ces m ê m e s p a r a m è t r e s et a u m o y e n de la p e r t e d e c h a r g e u n i t a i r e / ( q u o - t i e n t d e la p e r t e d e c h a r g e t o t a l e e n c m d e l i - q u i d e p a r la h a u t e u r d e l a c o l o n n e filtrante).
L a c o u r b e i n f é r i e u r e d e l a figure 5 d o n n e l a v a r i a t i o n de C,. e n f o n c t i o n d e dl. L a c o u r b e o b t e - n u e e s t c l a s s i q u e . L a loi d e D a r c y c e s s e d ' ê t r e v a l a b l e v e r s u n n o m b r e d e R e y n o l d s d ' e n v i r o n 5 .
1 10 100 R
FIG. 5. — R é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x .
M A R S - A V R I L 1 9 5 5 - N ° 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 1 1 '
Ce chiffre e s t e n p a r f a i t a c c o r d a v e c les r é s u l - t a t s o b t e n u s p a r d ' a u t r e s e x p é r i m e n t a t e u r s (*).
L a p e r m é a b i l i t é d u m a s s i f , c a l c u l é e p o u r tfl<5, e s t K = 6 , 1 3 . 1 0- 3 c m2. L e coefficient d e D a r c y k s ' e n d é d u i t p a r la f o r m u l e : k = (g/v) K ; p o u r de l ' e a u à 2 0 " C : k — 595 c m / s .
D e l ' o b s e r v a t i o n d u filet c o l o r é i n j e c t é d a n s l ' é c o u l e m e n t , il r é s u l t e q u e l a t u r b u l e n c e n ' a p - p a r a î t q u e v e r s u n n o m b r e d e R e y n o l d s d e 60 e n v i r o n . L a figure 6 m o n t r e les v i s u a l i s a t i o n s o b t e n u e s p o u r d e s n o m b r e s de R e y n o l d s de 40 et de 140.
b) G R A N I T CONCASSÉ.
L a p o r o s i t é d u m a s s i f é t a i t de 47 % . P o u r définir le n o m b r e de R e y n o l d s et le coef- ficient de. f r o t t e m e n t , n o u s a v o n s p r i s c o m m e d i m e n s i o n l i n é a i r e le « d i a m è t r e é q u i v a l e n t » d e s m o r c e a u x d e g r a n i t é .
(*) Cf. p a r e x e m p l e , B A K H M E T E F F e t F E O D O R O F F .
O n s a i t q u e , d a n s la z o n e d ' a p p l i c a t i o n d e la loi d e D a r c y , la p e r m é a b i l i t é e s t d e la f o r m e :
K — d- f (a)
d é t a n t l a d i m e n s i o n l i n é a i r e e t / (a) u n e f o n c - t i o n d e s p a r a m è t r e s de f o r m e , d e la p o r o s i t é e t d e l ' o r d o n n a n c e d e s g r a i n s . L e « d i a m è t r e é q u i - v a l e n t » e s t c e l u i q u ' i l f a u d r a i t d o n n e r a u x s p h è - r e s d ' u n m a s s i f s e m b l a b l e à c e l u i d e s p r e m i e r s e s s a i s p o u r q u ' i l a i t l a m ê m e p e r m é a b i l i t é q u e le m a s s i f de c a i l l a s s e c o n s i d é r é .
O n a : :
de2 Kr , . / K7
d et K s o n t r e l a t i f s a u m a s s i f d e s p h è r e s d e s p r e m i e r s e s s a i s e t K„ e s t la p e r m é a b i l i t é d u m a s - sif à g r a i n s a n g u l e u x .
O n a t r o u v é p o u r les t r è s f a i b l e s v i t e s s e s : K4 = l l , 5 1 0 - » cm*
F I G . 6. — D i v e r s a s p e c t s d e l ' é c o u l e m e n t d a n s u n m a s s i f d e b i l l e s de v e r r e . (51 = 4 0 «^, = 1 4 0
1 4 8 LA H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
FIG. 7. —• D e u x a s p e c t s d e l ' é c o u l e m e n t d a n s u n m a s s i f d e c a i l l a s s e d e g r a n i t c o n c a s s é . (J\ = 4 0 environ (){, — 2 0 0 environ
ce q u i c o r r e s p o n d à u n coefficient d e D a r c y : k = 1 . 1 2 0 c m / s
Oïi e n d é d u i t p o u r le « d i a m è t r e é q u i v a l e n t » : d . = 2,7
y / ^ |
= 3,7 c mL a c o u r b e d u coefficient d e f r o t t e m e n t c o r r e s - p o n d à la b r a n c h e s u p é r i e u r e de l a figure 5 . E l l e e s t c o n f o n d u e a v e c la c o u r b e c o r r e s p o n d a n t a u x s p h è r e s j u s q u ' à (R, = 2 , l i m i t e d e v a l i d i t é d e la loi d e D a r c y . A p a r t i r d e c e t t e v a l e u r , l a r é s i s - t a n c e e s t p l u s g r a n d e q u e celle d u m a s s i f d e s p l i è r e s .
L a t u r b u l e n c e n ' a p p a r a î t q u e v e r s u n e v a l e u r d u n o m b r e d e R e y n o l d s s e n s i b l e m e n t égale à celle q u e n o u s a v i o n s c o n s t a t é e p o u r l e s s p h è r e s . L ' é c o u l e m e n t l a m i n a i r e e t l ' é c o u l e m e n t t u r b u - l e n t s o n t m o n t r é s p a r la f i g u r e 7 . L e s n o m b r e s de R e y n o l d s s o n t r e s p e c t i v e m e n t 4 0 et 2 0 0 e n - v i r o n .
L e s m o r c e a u x d e g r a n i t é se p r ê t e n t m o i n s b i e n à l a v i s u a l i s a t i o n , s u r t o u t e n r é g i m e l a m i n a i r e . O n d i s t i n g u e c e p e n d a n t le filet c o l o r é a u b o u t de l a s o n d e d ' i n j e c t i o n . Il p é n è t r e à l ' i n t é r i e u r d u m a s s i f à m i - h a u t e u r e n v i r o n e t t o u t à f a i t à g a u c h e , m a i s o n le r e t r o u v e à l ' e x t r é m i t é i n - f é r i e u r e d e la c o l o n n e où il p a s s e d e v a n t la se- c o n d e b i l l e - s u p p o r t à p a r t i r d e la g a u c h e .
D I S C U S S I O N D E S R É S U L T A T S E T C O N C L U S I O N
M a l g r é la d i s p e r s i o n d e s p o i n t s e x p é r i m e n t a u x q u i e s t d u e à l a difficulté q u e n o u s a v o n s r e n - c o n t r é e d a n s la m e s u r e d e s p e r t e s d e c h a r g e s q u i
é t a i e n t e x t r ê m e m e n t f a i b l e s , et l ' i m p r é c i s i o n r e - l a t i v e de la m é t h o d e d u filet c o l o r é , il n e s a u r a i t s u b s i s t e r a u c u n d o u t e s u r le f a i t q u e l a l o i d e
MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 1 4 9
D a r c y c e s s e d ' ê l r e v a l a b l e b i e n a v a n t l ' a p p a r i t i o n d e l a t u r b u l e n c e .
L a s e c o n d e e x p é r i e n c e m o n t r e bien q u e l ' a u g - m e n t a t i o n de la r é s i s t a n c e à l ' é c o u l e m e n t e s t d u e à l ' i n e r t i e . O n n e p e u t e n effet e x p l i q u e r a u t r e - m e n t le fait q u e le C; p o u r d e s g r a i n s a n g u l e u x e s t s u p é r i e u r , à n o m b r e d e R e y n o l d s égal, a u Cf p o u r d e s g r a i n s s p h é r i q u e s .
Si on a d m e t q u e j u s q u ' a u n o m b r e de R e y - n o l d s c r i t i q u e , le coefficient d e f r o t t e m e n t est d e l a f o r m e :
C < = k + b
a n a l o g u e à celle q u ' i l p r e n d p o u r d e s t u b e s d e P o i s e u i l l e c o u r t s p a r e x e m p l e , o n t r o u v e q u e les c o u r b e s t r a c é e s figure 5 p e u v e n t a p p r o x i m a t i v e - m e n t se r e p r é s e n t e r p a r :
r L 1 0° . 1 0 1 1 •
C; = — - f - 12 p o u r les s p h è r e s .
n L 1 0 ° . o n 1
Cf — - — — + 30 p o u r les m o r c e a u x d e g r a n i t é . Il f a u t r e c o n n a î t r e q u e l a d i s p e r s i o n d e s p o i n t s e x p é r i m e n t a u x n e p e r m e t p a s d ' a t t e i n d r e u n e t r è s b o n n e p r é c i s i o n d a n s la d é t e r m i n a t i o n d e s c o n s t a n t e s a et h, m a i s t e l n ' é t a i t p a s le b u t d e s e s s a i s .
E n s u p p o s a n t q u e les f o r m u l e s n u m é r i q u e s ci- d e s s u s s o i e n t e x a c t e s , on a u r a i t , p o u r les s p h è - r e s , p o u r dv = 5 :
Cf = + 12 = 232
5
a l o r s q u e la loi d e D a r c y d o n n e r a i t :
5
1 2
a v e c u n e e r r e u r r e l a t i v e d e : = 5 %
D e m ê m e p o u r l a c a i l l a s s e de g r a n i t é , o n a u - r a i t p o u r dl = 2 :
c , = = l ^ l i + 30 == 580
a l o r s q u e la loi d e D a r c y d o n n e r a i t :
r L 1 0 ° r r „
~ — 2 — =
a v e c u n e e r r e u r de : — - — 0 % . 08O
O n voit le s e n s q u ' i l f a u t a t t r i b u e r à l a l i m i t e d e v a l i d i t é d e l a l o i d e D a r c y .
<JlL = 5 p o u r les s p h è r e s e t d\.r, = 2 p o u r l e g r a n i t é , s o n t les l i m i t e s e n d e ç à d e s q u e l l e s o n c o m m e t u n e e r r e u r i n f é r i e u r e o u égale à 5 % e n a d o p t a n t la loi d e D a r c y .
L a foi d e D a r c y e l l e - m ê m e a p p a r a î t a l o r s c o n n u e u n e loi a p p r o c h é e a u m ô m e t i t r e q u e la loi d e P o i s e u i l l e q u a n d elle e s t a p p l i q u é e à d e s t u b e s t r è s c o u r t s o u à d e s t u b e s n o n r e c t i l i g n e s , a u m ê m e t i t r e é g a l e m e n t q u e la loi d e S t o k e s . C a r les é c o u l e m e n t s n o n u n i f o r m e s n e s u i v e n t p a s , e n t o u t e r i g u e u r , d e s lois d e p e r l e s d e c h a r g e l i n é a i r e s , m ê m e e n r é g i m e l a m i n a i r e . L ' a p p r o x i - m a t i o n l i n é a i r e e s t c e p e n d a n t t r è s s a t i s f a i s a n t e t a n t q u e l ' i n e r t i e j o u e u n r ô l e n é g l i g e a b l e d e v a n t c e l u i d e la v i s c o s i t é . A u x n o m b r e s d e R e y n o l d s c r o i s s a n t s , l ' i n e r t i e se fait s e n t i r g r a d u e l l e m e n t ,
b i e n a v a n t l ' a p p a r i t i o n d e la t u r b u l e n c e . L ' a n a l o g i e a v e c les t u b e s r e c t i l i g n e s e t les c o n - c l u s i o n s q u e l ' o n e n a t i r é e s e n ce q u i c o n c e r n e la l i m i t e de v a l i d i t é d e l a loi de D a r c y n e p e u v e n t ê t r e d é f e n d u e s , c a r , d a n s le c a s d ' u n t u b e r e c t i - l i g n e , l ' é c o u l e m e n t e s t u n i f o r m e et l ' i n e r t i e n e p e u t a g i r s u r l ' é c o u l e m e n t q u ' à p a r t i r d u m o - m e n t où celui-ci e s t t u r b u l e n t . L e p h é n o m è n e e s t d o n c t r è s différent de c e l u i d e l ' é c o u l e m e n t d e f i l t r a l i o n q u i est e s s e n t i e l l e m e n t n o n u n i - f o r m e .
N o u s n e v o u d r i o n s p a s t e r m i n e r c e l l e c o u r t e é t u d e s a n s r e m e r c i e r M. T h . R E N D I S , i n g é n i e u r d e l ' E c o l e P o l y t e c h n i q u e d ' A t h è n e s , d e l ' a i d e q u ' i l n o u s a a p p o r t é e , l o r s d e s o n s t a g e à C h a l o u , d a n s la r é a l i s a t i o n d ' u n e p a r t i e d e s e x p é r i e n c e s (pie n o u s v e n o n s d e d é c r i r e .
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