JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - N ° 3 - L A H O U I L L E B L A N C H E 4 1 9
COMMENTAIRES ET DISCUSSIONS COMMENTS AND DISCUSSIONS
Expériences sur la limite de validité de la loi de Darcy et l'apparition de la turbulence
dans un écoulement de filtration
Experiments on the range
of v a l i d i t y of Darcy's law and the appearance of turbulence in a f i l t e r i n g f l o w
Nous avons reçu de M. le Professeur S. IRMAY, Chef de la Division d'Hydraulique à l'Institut Technologique d'Israël, une intéressante com- munication que nous reproduisons ci-après, et qui commente un article de M . S C H N E E B E L I publié précédemment.
Suivant l'usage et à la demande du Professeur IRMAY, nous avons communiqué ce commentaire à M . S C H N E E B E L I , qui nous a fait parvenir ses remarques; nos lecteurs en trouveront les élé- ments à la suite des textes anglais et français de ce commentaire.
1. — J e m e r é f è r e à l ' i n t é r e s s a n t a r t i c l e d e M. SCHNEEBELI : « E x p é r i e n c e s s u r l a l i m i t e d e validité d e l a loi d e D a r c y et l ' a p p a r i t i o n de l a t u r b u l e n c e d a n s u n é c o u l e m e n t d e f i l t r a t i o n », p a r u c e t t e a n n é e ( 1 9 5 5 ) d a n s le n ° 2 d e la Houille Blanche.
2 . — L e p a s s a g e b r u t a l de l ' é c o u l e m e n t l a m i - n a i r e à l ' é c o u l e m e n t t u r b u l e n t , q u i e s t si c a r a c - t é r i s t i q u e d e l ' é c o u l e m e n t b i - d i m e n s i o n n e l d a n s les t u b e s c i r c u l a i r e s o u r e c t a n g u l a i r e s , n ' a p a s e n c o r e é t é e n t i è r e m e n t e x p l i q u é . Il p a r a î t ê t r e dû à l ' i n s t a b i l i t é d e l a s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s de NAVIER-STOKES p o u r l e s n o m b r e s d e R e y n o l d s 61 les p l u s g r a n d s (SCHLICHTING, 1 9 5 1 ) , b i e n q u e la validité de ces' é q u a t i o n s a i t été c o n t e s t é e ( B m - KHOFF, 1 9 5 0 ) . D a n s le d o m a i n e d e s é c o u l e m e n t s à t r o i s d i m e n s i o n s , p a r e x e m p l e d a n s l ' é t u d e d e la t r a î n é e d ' u n e s p h è r e , le 61 c r i t i q u e n ' a p a s d ' é q u i v a l e n t . Il n ' y a p a s d e r a i s o n , p a r c o n s é - q u e n t , p o u r s ' a t t e n d r e à u n tel r é g i m e c r i t i q u e de t r a n s i t i o n p o u r u n m i l i e u p o r e u x , q u i , d a n s le c a s le p l u s s i m p l e , se c o m p o s e d ' u n g r a n d n o m b r e d e s p h è r e s .
Wa have received an interesting contribution from Professor S . IRMAY, Chief of the Hydrau- lic Division of the Israel Technological Ins- titute, commenting upon a previously published article by Mr. S C H N E E B E L I .
In accordance with usual practice and at Pro- fessor IRMAY'S request we have submitted these comments to Mr. S C H N E E B E L I , who has sent us his remarks upon them. Readers will find the main points of these remarks at the end of the French and English texts of the comments.
1 . — I r e f e r to t h e i n t e r e s t i n g p a p e r b y Mr. SCHNEEBELI : " E x p é r i e n c e s s u r l a l i m i t e de v a l i d i t é d e l a loi d e D a r c y e t l ' a p p a r i t i o n d e la t u r b u l e n c e d a n s u n é c o u l e m e n t d e filtration ", w h i c h h a s a p p e a r e d t h i s y e a r i n N o . 2 of La Houille Blanche.
2 . — T h e s u d d e n t r a n s i t i o n f r o m l a m i n a r t o t u r b u l e n t flow, w h i c h is so c h a r a c t e r i s t i c of t h e t w o - d i m e n s i o n a l flow i n c i r c u l a r o r r e c t a n g u l a r p i p e s , h a t n o t y e t fully b e e n e x p l a i n e d . I t s e e m s t o b e d u e to t h e i n s t a b i l i t y of t h e s o l u t i o n of t h e N A V I E R - S T O K E S e q u a t i o n s for h i g h e r 61 o r R e y n o l d s n u m b e r s (SCHLICHTING, 1 9 5 1 ) , t h o u g h t h e v a l i d i t y of t h e s e e q u a t i o n s h a s b e e n q u e s - t i o n e d ( B I R K H O F F , 1 9 5 0 ) . T h e r e is n o 3 - d i m e n - s i o n a l a n a l o g y t o t h e c r i t i c a l 61, e.g. i n t h e s t u d y of t h e d r a g of a s p h e r e . T h e r e is n o r e a s o n
t h e r e f o r e t o e x p e c t s u c h a c r i t i c a l t r a n s i t i o n for a p o r o u s m e d i u m , w h i c h i n t h e s i m p l e s t c a s e c o n s i s t s of m a n y s p h e r e .
3 . — T h e STOKES f o r m u l a f o r f a l l i n g s p h e r e s gives a d r a g coefficient :
T / 0 . 5 V2 = = C = a/61 a = 2 4 ( 1 )
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956037
420 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1956
3. — L a f o r m u l e d e STOKES p o u r le m o u v e - m e n t d e c h u t e d e s p h è r e s d o n n e u n coefficient d e t r a î n é e :
T / 0 , 5 V2 = C = a/61 a = 24 (1 )
Cette f o r m u l e e s t o b t e n u e à p a r t i r d e s é q u a - t i o n s d e N A V I E R - S T O K E S e n n é g l i g e a n t les t e r m e s d ' i n e r t i e (61 e s t t r è s p e t i t , p a r e x e m p l e 61 < 1).
U l t é r i e u r e m e n t , O S E E N (1910) e t GOLDSTEIN (1929) o b t i n r e n t u n e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n , celle d'OsEEN d o n n a n t :
C = a/61 + b a = 24 b = 4,5 (2) e t é t a n t v a l a b l e p o u r 61 < 2 à 5.
P a r a i l l e u r s , l ' a p p r o x i m a t i o n d e STOKES (1) m o n t r e q u e l'effort t a n g e n t i e l T e s t d i r e c t e m e n t p r o p o r t i o n n e l à la v i t e s s e V :
T = A V (3)
t a n d i s q u e l ' a p p r o x i m a t i o n d'OsEEN (2) d o n n e u n e r e l a t i o n n o n l i n é a i r e :
T = A V - f B V2 (4)
P a r c o n s é q u e n t , il n ' e x i s t e p a s d ' a n a l o g i e a v e c la f o r m u l e d e P O I S E U I L L E p o u r l e s t u b e s l o n g s :
T = A V (5)
q u i e s t r i g o u r e u s e m e n t v r a i e a u s s i l o n g t e m p s q u e l ' é c o u l e m e n t e s t l a m i n a i r e , quelle que soit la valeur de 61-
I l n ' y a, p a r c o n s é q u e n t , p a s d e r a i s o n d e s ' a t - t e n d r e , d a n s l e s m i l i e u x p o r e u x , q u i s o n t b i e n p l u s c o m p l e x e s q u e la s p h è r e isolée, à ce q u e la r e l a t i o n l i n é a i r e ( 1 ) , (3) o u (5) soit m a i n t e n u e p o u r u n é c o u l e m e n t l a m i n a i r e . I l y a t o u t lieu d e c r o i r e q u e , p a r a n a l o g i e a v e c la s p h è r e isolée, l ' é c o u l e m e n t à t r a v e r s d e s m i l i e u x p o r e u x p a s s e g r a d u e l l e m e n t p a r les s t a d e s s u i v a n t s :
a) T r è s p e t i t 6\, : l ' é c o u l e m e n t e s t l a m i n a i r e et s u i t l e s é q u a t i o n s (1), (3) o u (5), c'est- à - d i r e u n e loi l i n é a i r e ;
b) 61 m o y e n : l ' é c o u l e m e n t e s t l a m i n a i r e et s u i t les é q u a t i o n s (2) o u (4), c ' e s t - à - d i r e u n e loi c o m p o r t a n t u n t e r m e c o r r e c t i f a d d i - t i o n n e l d u s e c o n d d e g r é ;
c) G r a n d 61 • l ' é c o u l e m e n t e s t t u r b u l e n t , le t e r m e d u s e c o n d d e g r é p r é d o m i n e .
M. SCHNEEBELI e s t p r o b a b l e m e n t le p r e m i e r à a v o i r c o n f i r m é e x p é r i m e n t a l e m e n t c e s f a i t s évi- d e n t s e n t h é o r i e .
T h i s f o r m u l a i s o b t a i n e d f r o m t h e N A V I E R - STOKES e q u a t i o n s b y n e g l e c t i n g t h e i n e r t i a t e r m s ( v e r y s m a l l 61, e.g. 61 < 1 ) . L a t e r o n OSEEN (1910) a n d GOLDSTEIN (1929) o b t a i n e d a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n , t h a t b y O S E E N b e i n g r e p r e s e n t e d b y :
C = a/6i+b a = 24 b = 4.5 (2) a n d v a l i d f o r 61 < 2 t o 5.
N o w STOKES' a p p r o x i m a t i o n (1) s h o w s t h a t t h e s h e a r T i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e v e l o c i t y V :
T = A V (3)
w h e r e a s OSEEN'S a p p r o x i m a t i o n (2) gives a n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p :
T = A V + B V2 (4)
H e n c e t h e r e e x i s t s n o a n a l o g y w i t h POISEUILLE f o r m u l a i n l o n g t u b e s :
T = A V (5)
w h i c h i s r i g o r o u s l y t r u e a s l o n g a s t h e flow is l a m i n a r whatever the value of 61-
H e n c e t h e r e i s n o n r e a s o n t o e x p e c t i n p o r o u s m e d i a , w h i c h a r e e v e n m o r e c o m p l e x t h a n t h e s i n g l e s p h e r e , t h a t t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p ( 1 ) , (3) or (5) s h o u l d h o l d f o r l a m i n a r flow. T h e r e is e v e r y r e a s o n t o believe t h a t , b y a n a l o g y t o t h e s i n g l e s p h e r e , t h e flow t h r o u g h p o r o u s m e d i a p a s s e s g r a d u a l l y t h r o u g h t h e f o l l o w i n g s t a g e s : (а) V e r y l o w 61 • t h e flow i s l a m i n a r w i t h e q u a
t i o n s ( 1 ) , (3) o r (5) v a l i d , i.e. l i n e a r l a w . (б) M e d i u m 61 : t h e flow i s l a m i n a r w i t h e q u a
t i o n s (2) o r (4) v a l i d , i.e. l a w w i t h an a d d i t i o n a l q u a d r a t i c t e r m .
(c) H i g h 61 : t h e flow is t u r b u l e n t , t h e q u a d r a t i c t e r m p r e d o m i n a t e s .
M r . SCHNEEBELI i s p r e s u m a b l y t h e first t o h a v e c o n f i r m e d e x p e r i m e n t a l l y t h e s e t h e o r e t i c a l l y e v i d e n t f a c t s .
4. M r . SCHNEEBELI'S e x p e r i m e n t s w i t h glass balls' ( d = 2 7 m m ) a r e t h e c o n t i n u a t i o n of s i m i l a r e x p e r i m e n t s c a r r i e d o u t o n l e a d s h o t b y FANCHER e t a l i a (1933) a n d m e n t i o n e d b y M U S K A T (1942).
T h e i r c u r v e is given f o r t h e r a n g e 61 — 0.08 to 0.3, w h e r e a s M r . SCHNEEBELI'S r a n g e i s 61 = 0.3 t o 800.
5. T h e n o n - l i n e a r e q u a t i o n (4) for p o r o u s m e d i a s e e m s t o h a v e b e e n s u g g e s t e d first by FORCHHEIMER (1901). I t s e q u i v a l e n t e q u a t i o n (2) s e e m s to h a v e b e e n first s u g g e s t e d b y LINDQUIST (1933).
It s e e m s t h o u g h t h a t h i s l i n e a r c u r v e : C.0L = a + b.6l
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4. — L e s e x p é r i e n c e s d e M . SCHNEEBELI a v e c des billes e n v e r r e (d = 27 m m ) c o n s t i t u e n t le p r o l o n g e m e n t d ' e x p é r i e n c e s s i m i l a i r e s s u r d e s billes e n p l o m b , d u e s à F A N C H E R e t à s e s colla- b o r a t e u r s (1933) e t m e n t i o n n é e s p a r MUSKAT (1942). L e u r s r é s u l t a t s c o r r e s p o n d e n t à d e s n o m - b r e s d e R e y n o l d s c o m p r i s e n t r e 0,08 e t 0,3 t a n - dis q u e p o u r M . SCHNEEBELI, ffi v a r i e d e 0,3 à 800.
5. — L ' é q u a t i o n n o n l i n é a i r e (4) p o u r d e s m i - lieux p o r e u x s e m b l e a v o i r é t é p r o p o s é e à l ' o r i - gine p a r FORCHHEIMER ( 1 9 0 1 ) . L ' é q u a t i o n é q u i v a - l e n t e (2) s e m b l e ê t r e d u e à LINDQUIST ( 1 9 3 3 ) .
Il s e m b l e c e p e n d a n t q u e s a loi l i n é a i r e : C.cK =a
+
b.ûlait é t é r e p r o d u i t e d a n s p l u s i e u r s o u v r a g e s a v e c u n e é c h e l l e v e r t i c a l e f a u s s e (MUSKAT, 1 9 3 7 ) .
h a s b e e n r e p r o d u c e d i n m o s t b o o k s w i t h a w r o n g v e r t i c a l s c a l e (MUSKAT, 1 9 3 7 ) .
S . IRMAY.
B I B L I O G R A P H I E — B I B L I O G R A P H Y
1 . B I R K H O F F (G.) : H y d r o d y n a m i c s , a s t u d y i n l o g i c , f a c t , a n d s i m i l i t u d e . Princeton University Press, 1 9 5 0 . 2 . F A N C H E R , L E W I S e t B A R N E S : Pennsylvania State Col-
lege Min. Ind. Exper. Sta. Bull. ( 1 9 3 3 ) .
3 . F O R C H H E I M E R ( P h . ) : Zeit. d.V.D.L, 4 5 ( 1 9 0 1 ) , p . 1 7 8 2 . 4 . G O L D S T E I N (S.) : Proc. Roy. Soc, A, 1 2 3 ( 1 9 2 9 ) ,
p . 2 2 5 - 2 3 5 .
5 . — M o d e r n d e v e l o p m e n t s i n fluids d y n a m i c s . Oxford Univ. Press, 1 9 3 8 , v o l . I I , p . 4 9 2 .
6 . L I N D Q U I S T (E.) : T h e flow o f w a t e r t h r o u g h p o r o u s s o i l . Premier Congres des Grands Barrages, S t o c k h o l m , 1 9 3 3 .
7. M U S K A T (M.) : P h y s i c a l p r i n c i p l e s o f o i l p r o d u c t i o n . McGraw-Hill, N e w - Y o r k , 1 9 4 9 .
8 . M U S K A T (M.). : T h e f l o w o f h o m o g e n e o u s fluids t h r o u g h p o r o u s m e d i a , MvGraw-Hill, N e w - Y o r k , 1 9 3 7 .
9 . O S E E N : Ark. f. mat. astr. och fys., 6 , n ° 2 9 ( 1 9 1 0 ) . 1 0 . SCHLICHTING (H.) : G r e n z s c h i c h t - T h e o r i e . Braun,
Kartsruhe, 1 9 5 1 .
J ' a i l u a v e c b e a u c o u p d ' i n t é r ê t l e s c o m m e n - t a i r e s d e M . le P r o f e s s e u r IRMAY s u r m o n a r t i c l e
« E x p é r i e n c e s s u r l a l i m i t e d e v a l i d i t é d e la loi de D a r c y e t l ' a p p a r i t i o n d e la t u r b u l e n c e d a n s u n é c o u l e m e n t d e f i l t r a t i o n ».
J e p e n s e c o m m e l u i q u e le p a s s a g e à l ' é c o u l e - m e n t t u r b u l e n t d a n s u n t u b e r e c t i l i g n e e s t p r o b a - b l e m e n t d û à u n e i n s t a b i l i t é d e la s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s d e N a v i e r . P h y s i q u e m e n t , c e t t e i n s t a - bilité p r o v i e n t d e c e q u e les f o r c e s d e v i s c o s i t é n e s o n t p l u s s u f f i s a n t e s p o u r a m o r t i r l e s effets d ' i n e r t i e . L e t u b e r e c t i l i g n e p r é s e n t e , p a r r a p p o r t a u x é c o u l e m e n t s n o n u n i f o r m e s , l a p a r t i c u l a r i t é q u ' e n p r i n c i p e il n ' e s t le siège d ' a u c u n e f o r c e d ' i n e r t i e . Celle-ci n ' e n t r e e n j e u q u ' à l a s u i t e d ' u n e p e r t u r b a t i o n a c c i d e n t e l l e ( p a r e x e m p l e u n e i m p e r f e c t i o n d e l a p a r o i ) e t c'est c e q u i e x p l i q u e à m o n s e n s q u ' i l soit p o s s i b l e d e r e p o u s s e r t r è s loin le n o m b r e d e R e y n o l d s c r i t i q u e m o y e n n a n t c e r t a i n e s p r é c a u t i o n s .
I n t u i t i v e m e n t , l a s t a b i l i t é d ' u n m o u v e m e n t q u e l c o n q u e d é p e n d b i e n d u r a p p o r t i n e r t i e / a m o r - t i s s e m e n t , c ' e s t - à - d i r e d u n o m b r e d e R e y n o l d s . Si j e p u i s m e p e r m e t t r e u n e c o m p a r a i s o n t r i - viale, m a i s p a r l a n t e , j ' a s s i m i l e r a i v o l o n t i e r s u n e p a r t i c u l e d e fluide à u n e a u t o m o b i l e .
S u r u n p a r c o u r s m o u v e m e n t é , l a v o i t u r e s e r a i n c a p a b l e d e s u i v r e u n e t r a j e c t o i r e r é g u l i è r e a u - d e l à d ' u n e c e r t a i n e v i t e s s e . L a « t e n u e d e r o u t e » d i m i n u e r a p r o g r e s s i v e m e n t l o r s q u e la v i t e s s e a u g m e n t e r a . Il e n e s t e x a c t e m e n t d e m ê m e d e la s t a b i l i t é d u r é g i m e l a m i n a i r e d a n s u n é c o u l e - m e n t n o n u n i f o r m e .
S u r u n p a r c o u r s r e c t i l i g n e , p a r c o n t r e , la v i - t e s s e a t t e i n t e p o u r r a ê t r e t r è s élevée. L e b o l i d e p e u t se t r o u v e r d a n s u n d o m a i n e d e s t a b i l i t é
h y p e r c r i t i q u e , m a i s le m o i n d r e i n c i d e n t le p r o j e t - t e r a h o r s d e s a t r a j e c t o i r e . Ceci c o r r e s p o n d à l a d i s c o n t i n u i t é a c c o m p a g n a n t le p a s s a g e e n r é g i m e t u r b u l e n t d a n s u n é c o u l e m e n t u n i f o r m e .
E n ce q u i c o n c e r n e l a loi d e s p e r t e s d e c h a r g e , j e v o u d r a i s s i g n a l e r q u ' à m o n a v i s la f o r m e Cf = f (ói) = o (\/ûl) e s t t o u t à fait g é - n é r a l e et s ' a p p l i q u e a u s s i b i e n a u x r é s i s t a n c e s h y d r o d y n a m i q u e s q u ' à t o u s les é c o u l e m e n t s i m a - g i n a b l e s . L e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e d ' u n e p a r t i - c u l e d e fluide s o n t e n effet, d a n s t o u s les c a s , de l a f o r m e :
M - f I + F = 0
M , I e t F r e p r é s e n t a n t r e s p e c t i v e m e n t l e s p r o - j e c t i o n s s u r u n a x e d o n n é d e s f o r c e s m o t r i c e s ( p r e s s i o n , p e s a n t e u r ) , d e s f o r c e s d ' i n e r t i e e t d e s forces d e f r o t t e m e n t .
E n d i v i s a n t p a r I, o n o b t i e n t :
O n m o n t r e f a c i l e m e n t q u e le p r e m i e r t e r m e d é p e n d d u Cf et q u e le s e c o n d c o r r e s p o n d à O n d o i t d o n c b i e n t r o u v e r u n e r e l a t i o n :
L ' e x p r e s s i o n :
Cf = a — + b;
ai
c o r r e s p o n d a n t à u n T d e l a f o r m e T = AV + B V2, p e u t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n e a p p r o x i m a t i o n c o r r e s p o n d a n t à u n d é v e l o p p e m e n t l i m i t é a u x p r e m i e r s t e r m e s .
G . S C H N E E B E L I .
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