TM1 TM2 Devoir de mathématiques (3 heures) Calculatrice autorisée
Exercice 1 ( 6 points) (extrait de Bac STT 2003)
Le tableau ci-dessous présente la part en pourcentage des dépenses des ménages français consacrée à l’alimentation et celle consacrée aux services de santé.
Par exemple, dans le tableau précédent, les dépenses alimentaires en 1970, représentent 26% des dépenses des ménages français.
1°) a. Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des produits alimentaires en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, 0,5 cm pour une unité sur l’axe des ordonnées.
b. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droiteD1qui passe par les points A(0 ;31,31) et B(30 ;18,77). Déterminer une équation de la droite D1.
c. En utilisant l’ajustement précédent, estimer la part en pourcentage des dépenses alimentaires des ménages français en 2005. On donnera ce pourcentage avec un seul chiffre après la virgule.
2°) a. Sur le même graphique que précédemment, construire le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des services de santé.
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G2 de ce nuage et placer ce point sur le graphique.
c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite D2 passant par G2 et admettant comme coefficient directeur 0,123. Déterminer une équation de D2 et la tracer.
3°) a. Déterminer graphiquement le point d’intersection de D1 et D2.
b. Quelles prévisions fondées sur les ajustements précédents, l’abscisse de ce point d’intersection permet-elle de réaliser ?
4°) Déterminer, à l’aide de la calculette, une équation de la droite des moindres carrés du nuage. Que constatez-vous ?
Exercice 2 (6 points)
1°) Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle
[ ]
1; 20 par ( ) 1 44 f x x
= + +x. a. Calculer f x'( )et vérifier que '( ) ( 4)( 4)
4 ²
x x
f x
x
− +
= .
b. Etudier le signe de f x'( ) sur
[ ]
1; 20 .c. En déduire le tableau de variations de f.
d. Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de la fonction f au pointA(1; 5, 25). e. Tracer la courbe (C) et la droite (T) dans le plan muni du repère ( ; , )O i j
; unités graphiques : 1cm en abscisses, 4cm en ordonnées.
2°) Le coût de production exprimé en millions d’euros pour fabriquer q milliers de tonnes de produit P est donné
par : ( ) 4 ²
4 C q = + +q q .
Pour que l’entreprise existe, la production ne peut être inférieure à 1millier de tonnes du produit P et ne peut être supérieure à 20milliers de tonnes
a. Déterminer U q( ) le coût unitaire de production d’un millier de tonnes de produit P, lorsque la production est de q milliers de tonnes.
b. L’entre prise décide de choisir le niveau de production qui minimisera son coût unitaire.
En utilisant la question 1 , déterminer cette production.
Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35
Part des produits alimentaires (en %) 33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2 Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3
Exercice 3 (4 points)
Une entreprise commence cette année la fabrication de systèmes d’alarme pour piscines de particuliers.
La production sera la première semaine u1 = 2000, puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%. On désigne par un , le nombre de systèmes fabriqués la n-ième semaine.
1°) Calculer u2 , u3 , u4 .
a. Quel coefficient multiplicateur permet de passer de u1 à u2 ? de u2 à u3 ? b. Exprimer un+1 en fonction de un .
c. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.
d. Exprimer un en fonction de n.
2°) Calculer la production la 20ième semaine (arrondir à l’unité).
3°) Calculer la production totale au cours des 20 premières semaines. Le résultat sera donné arrondi à l’unité.
Exercice 4 (4 points)
Chaque bonne réponse est notée 0,8 pt, chaque mauvaise –0,4 pt et 0 pt si vous choisissez de ne pas répondre.
Soit la fonction
f
définie sur]
0;+∞[
dont la représentation graphique C sur l’intervalle[
0,5;12]
est donnée en annexe.La droite T est la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.
Pour chacune des 5 questions, reporter sur la copie la lettre correspondante à la bonne réponse
Réponse A Réponse B Réponse C
1 Quelle est l’image de 1 par f ? - 4 2,3 -3,5
2 Quelle est la valeur de f '(1). 1,5 8 - 12
3 Quelle est l’équation réduite de la tangente T ? y= − −8x 12 y=8x−12 y=12x+8
4 D’après le graphique, quelle est le nombre de solutions de
l’équation f x'( )=0 ? 1 2 3
5 D’après le graphique, quelle est le nombre de solutions de
l’équation ( ) 0f x = ? 4 2 3,5
Exercice 1
1°) a. Voir graphique.
b. L’équation de D1qui passe par A et B est de la forme y = ax + b.
> 0,418
30 0
77 , 18 31 ,
31 −− =−
=
a
> donc la droite
( )
AB est de la forme y = -0.418x + b> comme A est sur D, on obtient 31.31 = -0.418*0 + b et (AB) a pour équation y=−0,418x+31,31 c. 2005 = 1960 + 45 donc l’année 2005 correspond au rang 45.
Si x = 45 : 0, 418 45 31, 31 ... 12, 5− × + = = .
Ainsi, en 2005, on peut estimer que la part des dépenses alimentaires sera environ de 12,5%.
2°) a. Voir graphique.
b. Les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont données par la moyenne des abscisses et la moyenne 2
des ordonnées : on trouve G2
(
17,5; 7,8375)
.c. Cherchons l’équation réduite de la droite D passant par 2 G et admettant comme coefficient directeur 0,123. 2 Elle est du type y = 0,123x + b. Comme les coordonnées de G vérifient cette équation, nous avons ; 7,8375 2
= 0,123 * 17,5 + b donc b = 7,8375 - 0,123 * 17,5 = 5,685.
Ainsi D2:y=0,123x+5, 685 : pour la tracer, on utilise le fait qu’elle passe par G et C(0 ; ,685). 2 3°) a. Graphiquement le point d’intersection de D et 1 D a pour coordonnées environ (47 ; 11,5). 2
b. C‘est en 1960+47 = 2007 que la part consacrée à l’alimentation et la part consacrée au service de santé seront identiques.
c. Avec la calculette on trouve pour équation de la droite des moindres carrés du nuage y=0,1213x+5,691 L’équation est proche de celle trouvée dans 2°)c
Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35
Part des produits alimentaires (en %) 33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2 Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3
Exercice 2
Soit ( ) 1 4 4 f x x
= + +x définie sur I = [1 ;20].
1a. On a donc
2
2 2
1 4 16
'( ) 4 4
f x x
x x
= − = − . Or pour tout x, x2− =16
(
x−4)(
x+4)
. On en déduit alors( )( )
2
4 4
'( ) 4
x x
f x
x
− +
= .
1b. Sur I, x+4 > 0 et 4x² > 0 donc f’(x) est du signe de x-4.
Or x-4 > 0 ssi x > 4 d’où le tableau suivant :
1c. On en déduit alors le tableau de variations qui suit :
1d. L’équation de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 1 a pour équation y= f(1)+f '(1)
(
x− = −1)
3.75x+9.x 1 4 20 F’(x) - 0 +
x 1 4 20 )
'(x
f - 0 +
) (x f
5.25 6.2
3
1e
2a. Le coût unitaire de production est par définition le coût total C(q) divisé par la nombre d’unités produites q.
Ainsi, ( ) ( ) 4 1 4
C q q
U q = q = + +q .
2b. On remarque que f et U sont les mêmes fonctions. D’après le tableau de variations de f, le minimum est atteint pour x = 4. Le coût unitaire minimum est donc atteint pour 4 milliers de tonnes produites.
Exercice 03
Une entreprise commence cette année la fabrication de systèmes d’alarme pour piscines de particuliers.
La production sera la première semaine u1 = 2000.
Puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%.
On désigne par un , le nombre de systèmes fabriqués la n-ième semaine.
1. Pour augmenter un nombre de 10% on le multiplie par 1.1 donc : u2 =2000 1.1× =2200, u3 =2200 1.1× =2420 et
4 2420 1.1 2662
u = × = .
1a. Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u1 à u2 ou de u2 à u3 est 1.1.
1b. De même pour passer de la production de la nième semaine à la suivante, on multiplie par 1.1 donc : un+1=1.1×un..
1c. Par définition, d’après la question précédente, la suite (un) est géométrique de raison 1.1.
2. On a par conséquent un = ×u1 qn−1⇒u20 =2000 1.1× 19≈12232.
3. La production totale au cours des 20 premières semaines est donnée par
20 20
1 2 20 1
1 1 1.1
... 2000 114550
1 0.1
S u u u u q
q
− −
= + + + = = ≈
− − .
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 -1
8 12
0 1 4
x y
Exercice 04
1°) Graphiquement, f(1) = -4 : réponse A.
2°) Par définition, f’(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
On lit f’(1) = 8 ( quand on se place sur T, si on se déplace d’une unité en abscisse alors on monte de 8 unités en ordonnée) : réponse B
3°) La droite cherchée a donc un coefficient directeur égal à 8 : seule la réponse B convient.
4°) Graphiquement, f ’(x) = 0 lorsque la courbe admet une tangente horizontale.
Il n’y a ici qu’une solution à cette équation : réponse A.
5°) On cherche les point d’intersections entre la courbe et l’axe des abscisses ; il y en a deux.
Réponse B.
