22/06/09 S.DrapieretG.Pacquaut M´ethodesdesuivid’interfaceetcouplagesﬂuides/poreux

(1)

Synth`ese

M´ ethodes de suivi d’interface et couplages fluides/poreux

S. Drapier et G. Pacquaut

Département Mécanique et Procédés d’Elaboration Centre Sciences des Matériaux et des Structures & LTDS UMR CNRS 5513

Ecole Nationale Sup´erieure des Mines de Saint-Etienne

22/06/09

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Synth`ese

Plan

1 Types de formulations pour le suivi d’interfaces

Les méthodes de modélisation à discrétisation spatiale mobile Les méthodes de modélisation à discrétisation spatiale fixe

M´ethodes de suivi du front mobile (Front tracking) M´ethodes de capture du front mobile (Front capturing)

Cas particulier des m´ethodes de capture du front mobile : la m´ethode Level-Set

2 Problématiques du transport de matière dans les procédés d’élaboration directe

Frittage des c´eramiques en phase solide

Procédés d’élaboration directe des composites à matrice organique

3 Modélisation des procédés d’élaboration par infusion Ecoulements fluide et en milieux poreux

Couplage Stokes-Darcy par la formulation Problème discrétisé

Simulation numérique du procédé d’infusion de résine

4 Synth`ese

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Synth`ese

Plan

4 Synth`ese

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Synth`ese

D´ efinition du probl` eme

D´efinition : Soit une interface Γ. Chaque point de l’interface se d´eplace suivant la direction normale avec une vitesse v connue.

La vitesse peut d´ependre de plusieurs param`etres :

Des propriétés géométriques locales de l’interface (courbure).

Des propriétés globales de l’interface (intégrale le long de la frontière).

D’autres paramètres indépendants de l’interface (température...).

But : Suivre les mouvements d’une interface au fur et `a mesure qu’elle se d´eplace.

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Synth`ese

Diff´ erents points de vue

Problème discrétisé

Dans une approche numérique discrétisée, le suivi du front de matière dépend du type d’approche utilisée : Lagrangienne ou Eulérienne.

Fluide A Fluide A

DOMAINE FIXE - Formulation Eulérienne

- approximation du front de fluide

- modéliser les changements de propriétés du domaine DOMAINE MATERIEL

- Lagrangienne Totale - Lagrangienne Réactualisée

Fluide A

Fluide A - modéliser la source de fluide

Inconvénients

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Synth`ese

Formulation ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian):

Principe :

Elle repose sur un maillage mobile.

Le front est suivi par le maillage qui est mis `a jour `a chaque pas de temps.

Arbitraire : les points du maillage peuvent ˆetre fixes ou peuvent se d´eplacer.

Avantages :

M´ethode pr´ecise.

Inconv´enients :

Difficile à mettre en oeuvre pour des géométries en 3D.

Figure:’Formulation ALE’

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Synth`ese

Pr´ esentation des diff´ erentes m´ ethodes sur maillage fixe

Deux grandes classes de méthodes pour modéliser les frontières mobiles : Lesméthodes de suividu front mobile (’Front tracking’). Elles reposent sur l’utilisation de marqueurs qui servent à localiser le front mobile.

Exemple : les m´ethodes des marqueurs

’Volume tracking’,

’Surface tracking’.

Lesm´ethodes de capturedu front mobile (’Front capturing’). Elles reposent sur l’utilisation d’un champ scalaire f qui d´efinit implicitement le front mobile.

Une équation de transport est nécessaire pour mouvoir le champ scalaire f et connaˆıtre l’évolution du front.

Exemple :

M´ethode ’Volume Of Fluid’, M´ethode ’Level Set’.

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Synth`ese

Pr´ esentation des diff´ erentes m´ ethodes sur maillage fixe

Deux grandes classes de méthodes pour modéliser les frontières mobiles : Lesméthodes de suividu front mobile (’Front tracking’). Elles reposent sur l’utilisation de marqueurs qui servent à localiser le front mobile.

Exemple : les m´ethodes des marqueurs

’Volume tracking’,

’Surface tracking’.

Lesm´ethodes de capturedu front mobile (’Front capturing’). Elles reposent sur l’utilisation d’un champ scalaire f qui d´efinit implicitement le front mobile.

Une équation de transport est nécessaire pour mouvoir le champ scalaire f et connaˆıtre l’évolution du front.

Exemple :

M´ethode ’Volume Of Fluid’, M´ethode ’Level Set’.

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Synth`ese

Marqueurs de volume (’Volume tracking’)

Principe :

Des marqueurs sont r´epartis uniform´ement dans le fluide.

Le maillage est fixe. Seuls les marqueurs se d´eplacent.

Ils sont transport´es par le champ de vitesse local interpol´e :

dxi

dt =vi

M´ethode MAC (’Marker and cells’)

Figure: ’Volume tracking’

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Synth`ese

Avantages/Inconv´ enients

Avantages :

L’interface n’est pas stock´ee mais simplement reconstruite grˆace aux marqueurs.

Inconv´enients :

M´ethode peu pr´ecise.

Les propriétés géométriques de l’interface (normale, courbure) sont difficiles à obtenir.

R´epartition non-uniforme des marqueurs dans le fluide : utilisation d’algorithmes pour redistribuer les marqueurs de fa¸con uniforme.

(11)

Synth`ese

Marqueurs de front (’Surface tracking’)

Principe :

Les marqueurs sont dispos´es uniquement sur l’interface.

Philosophie : suivre l’´evolution des marqueurs repr´esentants les points de la courbe.

Figure:’Surface tracking’

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Synth`ese

Marqueurs de front (’Surface tracking’)

Soit Γ(t) une courbe fermée se dépla¸cant à la vitesse~v dans la direction normale à la courbe.

A l’instant t, l’´equation param´etrique de l’interface Γ est : Γ =

x(s,t) y(s,t)

Le vecteur d´eriv´e par rapport au temps t est : ∂x

∂t∂y

∂t

=~v=v(κ)~n

Avec :~n= ¹

((^∂x_∂s)²+(^∂y_∂s)²)^1/2 ∗ ∂y

∂s

−^∂x_∂s

et : κ=

∂2y

∂s2∗^∂x_∂s−^∂²^x

∂s2∗^∂y_∂s ((^∂x_∂s)²+(^∂y_∂s)²)^3/2

(13)

Synth`ese

Marqueurs de front (’Surface tracking’)

D’o`u les ´equations du mouvement :

∂x

∂t =v(κ)

∂y

∂s

((^∂x_∂s)²+ (^∂y_∂s)²)^1/2

∂y

∂t =v(κ) −^∂x_∂s ((^∂x_∂s)²+ (^∂y_∂s)²)^1/2

En définissant (x_iⁿ,y_iⁿ) = (x(i∆s,n∆t),y(i∆s,n∆t)) et en utilisant la méthode des différences finies :

Sch´emas pour la discr´etisation spatiale :

∂x

∂s ≈x_i+1ⁿ −x_i−1ⁿ 2∆s

∂²x

∂s² ≈x_i+1ⁿ −2x_iⁿ+x_iⁿ−1

∆s² Sch´emas pour la discr´etisation temporelle :

∂x

∂t ≈ x_iⁿ⁺¹−x_iⁿ

∆t

(14)

Synth`ese

Avantages/Inconv´ enients

Avantages :

La position de l’interface est définie instantanément et avec précision.

Inconv´enients :

Il faut effectuer une redistribution régulière des marqueurs pour avoir une bonne répartition.

Il faut r´eactualiser et sauvegarder en m´emoire la position des marqueurs.

Les changements topologiques (fusion ou séparation d’interfaces) sont difficiles à traiter (il faut définir un critère d’arrêt).

Le schéma numérique peut être instable lorsque deux marqueurs sont très proches (le dénominateur commun dex_iⁿ⁺¹ et dey_iⁿ⁺¹ tend vers zéro).

(15)

Synth`ese

M´ ethode du volume de fluide (’Volume Of Fluid’)

Principe :

Maillage du domaine dans lequel se propage l’interface.

On attribue `a chaque cellule du maillage la fraction volumique de fluide contenue dans la cellule.

f =







1 si le fluide a rempli la maille 0 si le fluide n⁰a pas rempli la maille comprise entre 0 et 1 : sinon

Figure:’M´ethode VOF’

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Synth`ese

M´ ethode du volume de fluide (’Volume Of Fluid’)

Il est n´ecessaire de reconstruire l’interface.

Il existe plusieurs techniques d’approximation :

M´ethode VOF-SLIC (Simple Line Interface Calculation) : segments parall`eles au maillage.

M´ethode VOF-PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) : segments obtenus grˆace au calcul de la normale.

Figure:Reconstruction de l’interface

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Synth`ese

Avantages/Inconv´ enients

Avantages :

Elle permet d’´eviter les probl`emes topologiques.

Inconv´enients :

Cette méthode est peu précise puisque l’approximation du front à partir des fractions volumiques est relativement grossière.

L’utilisation de cette m´ethode dans le cas 3D (interfaces surfaciques) est difficile `a mettre en oeuvre.

Les calculs des grandeurs géométriques intrinsèques de l’interface (normale, courbure) sont peu précis.

Cette méthode ne peut pas être utilisée pour n’importe quelle fonction de vitesse.

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Synth`ese

M´ ethode Level-Set (’Level set method’)

Méthode développée par Stanley Osher et James Sethian en 1988.

Philosophie différente de la méthode des marqueurs puisque cette méthode ne suit pas l’interface.

Nombreuses applications :

En mécanique des fluides (déferlement d’une vague sur une plage...) En mécanique des solides (croissance des cristaux...)

En imagerie (d´etection de contours...)

Figure:Exemples d’utilisation de la m´ethode Level-Set

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Synth`ese

M´ ethode Level-Set (’Level set method’)

Représentation de la frontière mobile par la ligne de niveau de niveau 0 d’une fonction régulière Φ(x,y,t) (fonction ’level set’).

Γ(t) ={x,y ∈ <²|Φ(x,y,t) = 0}

Le déplacement de l’interface est obtenu en déterminant l’évolution en temps de la fonction Level-set. L’interface est déterminée par simple localisation de l’ensemble Γ(t) pour lequel Φ est nulle.

La vitesse est `a l’origine du mouvement de l’interface. On utilise une

´

equation de transport :

∂Φ

∂t +~v. ~∇Φ = 0

(20)

Synth`ese

Exemple dans le cas d’une interface circulaire

Interface circulaire de rayon unitaire et de vitesse radiale v :

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Synth`ese

Autres exemple ` a 2 r´ egions : dissociation

Evolution d’une interface vers 2 interfaces distinctes :

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Synth`ese

Fonction Level-Set Φ

Il faut placer un maximun d’informations sur la fonction Level-Set Φ pour am´eliorer la qualit´e du suivi d’interface.

Quantités associées à l’interface : Normale :

~n= ∇Φ~

||∇Φ||~ Courbure :

κ=div ∇Φ~

||∇Φ||~

Il faut être précis dans la résolution de l’équation de transport notamment lors de la discrétisation de cette équation.

∂Φ

∂t +~v. ~∇Φ = 0

Les gradients de la fonction Φ doivent pouvoir être calculés précisement.

(23)

Synth`ese

M´ ethode Level-Set

Comment d´efinir la fonction Level-SetΦ?

(24)

Synth`ese

Fonction Level-Set Φ

Osher et Sethian ont défini la fonction Level-set comme une fonction distance signée à l’interface.







Φ(x,y,t) =dpour (x,y)∈Ω¯ Φ(x,y,t) =−dpour (x,y)∈Ω Φ(x,y,t) = 0 pour (x,y)∈Γ o`ud est la distance `a l’interface : d(x) =min|x−xΓ|.

Propriété de la fonction distance signée : ||∇Φ(x,~ y,t)||= 1

(25)

Synth`ese

Equation de transport

Il existe plusieurs fa¸cons d’´ecrire l’´equation de transport :

∂Φ

∂t +~v. ~∇Φ = 0 o`u :~v=vn~n+vt~t

Etant donné que~t. ~∇Φ = 0 car~net∇Φ sont colin´~ eaires. On peut écrire l’équation précédente sous la forme :

∂Φ

∂t +vn~n. ~∇Φ = 0

En utilisant l’´equation de la normale, on obtient une ´equation qui ne fait intervenir que la composante de la vitesse normale :

∂Φ

∂t +vn||∇Φ||~ = 0

(26)

Synth`ese

R´ esolution de l’´ equation de transport

On est amené à résoudre l’équation suivante : _∂Φ

∂t +vn||∇Φ||~ = 0 Φ(x,y,0) donn´e

... et donc `a commettre des erreurs

Pour discrétiser cette équation, il faut utiliser une formulation de type différences finies :

Des schémas numériques centrés.

Des schémas numériques décentrés.

(27)

Synth`ese

M´ ethode Level-Set

Que se passe t-il si la propriété de distance signée est perdue ?

(28)

Synth`ese

Algorithme de redistanciation

Perte de la propriété intrinsèque de distance signée :

Il est possible de corriger cette perte de la propriété de distance signée en utilisant un algorithme de redistanciation. Celui-ci s’appuie sur la résolution de l’équation suivante :

_∂Φ

∂τ +sgn(Φ)(||∇Φ|| −~ 1) = 0 Φ(x,y, τ= 0) = Φ0(x,y) Sachant que~n= ^∇Φ^~

||∇Φ||~ et en posantw~ =sgn(Φ)~non peut r´e´ecrire cette

´

equation sous la forme d’une ´equation de transport `a la vitessew~ :

∂Φ

∂τ +w~. ~∇Φ =sgn(Φ)

(29)

Synth`ese

Avantages de la m´ ethode Level set

Avantages :

Prise en compte automatique des changements topologiques (fusion ou s´eparation de deux interfaces).

Facilité de calcul des grandeurs géométriques intrinsèques de l’interface (normale, courbure).

Extension simple pour le calcul de fronti`eres mobiles surfaciques.

Utilisation de méthodes numériques connues pour le calcul des dérivées (méthodes utilisées pour la résolution des lois de conservation

hyperboliques).

La localisation de l’interface Γ est connue sans reconstruction pr´ealable.

Cette méthode peut être utilisée pour n’importe quelle forme de la fonction vitesse.

Couplage possible avec d’autres m´ethodes (couplages Level-set / VOF, Level-set / volume tracking )

(30)

Synth`ese

Inconv´ enients de la m´ ethode Level set

Inconv´enients :

Au niveau de l’implémentation : construire une fonction level set initiale de manière à ce que son niveau zéro corresponde à la position initiale de la frontière.

Perte de la propriété intrinsèque de distance signée (étirements +

resserrements). Il faut parfois recalculer la fonction distance sign´ee/niveau z´ero en utilisant un algorithme de redistanciation.

La vitesse~v n’est définie que pour le niveau zéro de la fonction level set (extension des vitesses à tout le domaine).

(31)

Synth`ese

Cas particuliers de la m´ ethode Level set

Il existe des cas particuliers de la méthode Level Set, optimisés pour des phénomènes déterminés :

La méthode de la bande étroite (’Narrow Band method’) idéale pour les phénomènes à propagation ’lente’,

La méthode ’Fast Marching’ utilisée pour les fronts se propageant continûment, utilisée de fa¸con privilégiée en mécanique de la rupture, notamment pour la propagation (ouverture) de fissures.

(32)

Synth`ese

La m´ ethode de la bande ´ etroite (’Narrow Band method’)

Cette m´ethode permet d’optimiser la rapidit´e du temps de calcul (diminution du temps CPU).

Elle consiste à étudier la propagation d’une ligne de niveau juste au niveau de l’interface sur une bande suffisamment large pour pouvoir réaliser les calculs.

Cela ´evite de calculer cette propagation pour toutes les lignes de niveau.

(33)

Synth`ese

Fast Marching method

C’est un cas particulier de la m´ethode de la bande ´etroite

On évalue, dans la région proche de l’iso-0 (Φ(x,y,t) = 0), les éventuels emplacements en avant de l’interface où la fonction pourrait se déplacer.

(34)

Synth`ese

Fast Marching method

Liens avec la m´ethode Level Set : _∂Φ

∂t +vn||∇Φ||~ = 0 Φ(x,y,t= 0) = Φ0(x,y) Consid´erons le cas particulier o`u le front ne peut que croˆıtre :

|vn|>0,∀(x,y)∈Γ(t).

Si on pose Φ(x,y,t) =t−T(x,y) on obtient l’´equation suivante : v||∇T~ (x,y)||= 1

avec T(x,y) : l’instant de passage de l’interface au point (x,y) La formulation du problème se résume à l’équation Eikonale :

v||∇T~ (x,y)||= 1

Γ(t) ={(x,y)|T(x,y) =t}

(35)

Synth`ese

Exemples :

Simulation de l’injection de résine pour le procédé RTM :S.Soukane et F.

Trochu

(36)

Synth`ese

Exemples :

Etude de l’´evolution de deux flammes

(37)

Synth`ese

Plan

4 Synth`ese

(38)

Synth`ese

Le frittage en phase solide

Le frittage

Définition : Le frittage est unprocédéqui permet de fabriquer des pièces en matériau céramique, métallique, polymère, ...

Principe : Il permet de consolider un matériau pulvérulent sous l’action de la chaleur. Au cours de la transformation, la forme de la pièce est conservée mais sonvolume diminue(retrait) et ladensité augmente.

Types de frittage :

Lefrittage en phase liquide(fusion d’au moins un constituant de la poudre)

Lefrittage en phase solide (pas de fusion)

(39)

Synth`ese

Frittage

Au niveau thermodynamique, l’´energie de surface s’´ecrit : E=Asvγsv+Assγss

A l’´etat initial : l’aire de l’interface solide/solide est faible alors que l’aire de l’interface solide/vapeur est importante.

Sous l’action de la temp´erature : diffusion de la mati`ere.

L’aire de l’interface solide/solide augmente alors que l’aire de l’interface solide/vapeur diminue.

La diminution d’´energie induite par la diminution des surfaces solide/vapeur est plus importante que l’augmentation de l’´energie solide/solide.

L’énergie de surface E diminue. L’état final est atteint lorsque E est minimisée.

(40)

Synth`ese

Diffusion de la mati` ere

La diffusion de la matière est liée aux courbures des surfaces qui génèrent des contraintes à l’intérieur des grains.

Ces contraintes s’expriment `a travers la loi de Laplace :

∆P=P1−P2=γ.(_R¹)

Cas où la phase 1 est un grain et la phase 2 est une phase vapeur. Etude de la différence de pression subie par la matière sous une surface courbe / celle qu’elle subirait sous une surface plane : ∆P=P1−P∞=γsv.(_R¹)

∆P>0 si _R¹ >0

Conclusion : Diffusion dans le sens des courbures d´ecroissantes.

(41)

Synth`ese

Diffusion de la mati` ere

Diffusion contribuant `a la croissance des cous : Diffusion gazeuse.

Diffusion en surface.

Diffusion en volume.

Diffusion contribuant `a la croissance des cous et `a la densification : Diffusion aux joints de grains.

Diffusion en volume.

(42)

Synth`ese

Mod´ elisation du frittage

Système d’équations aux dérivées partielles EDP :

Equation d’équilibre quasi statique et équation de conservation de la matière :

div~ σ¯¯=~0

∂ρ

∂t +div(ρ~v) = 0 Equation de comportement :

¯¯ σ=C¯¯¯¯: ¯¯ε Conditions aux limites (conditions de contact).

Conditions initiales.

(43)

Synth`ese

Les proc´ ed´ es d’´ elaboration par infusion de r´ esine

L’infusion:

Permet de fabriquer des pi`eces en mat´eriau composite.

Procédé dit par ’voie sèche’.

Infuse la résine à travers l’épaisseur des renforts.

Figure:Procédé d’infusion de résine

(44)

Synth`ese

Les proc´ ed´ es d’´ elaboration par infusion de r´ esine

Les principales familles de procédés : Le procédéLRI(Liquid Resin Infusion)

R´esine liquide.

Utilisation d’un drainant.

Le procédéRFI(Resin Film Infusion) Résine solide.

Cycle de température : la viscosité de la résine décroˆıt.

Figure:Procédés d’infusion : LRI(à gauche) etRFI(à droite)

(45)

Synth`ese

Exemples d’applications

Figure:Pi`eces de bateaux (coques...)

(46)

Synth`ese

Mod` ele retenu pour l’´ etude du proc´ ed´ e LRI

Principe :

Utilisation d’un drainant.

Infusion de la r´esine dans le drainant puis dans la pr´eforme.

Cycle de pression et de temp´erature (viscosit´e).

Mod`ele macroscopique : Trois zones qui ´evoluent :

R´esine+drainant.

R´esine+pr´eforme.

Pr´eforme s`eche.

Conditions aux limites.

(47)

Synth`ese

Mod` ele retenu pour l’´ etude du proc´ ed´ e RFI

Principe :

Préforme déposée sur la résine solide.

Mise en place du contre-moule et du sac `a vide.

Cycle de pression et de temp´erature (viscosit´e).

Mod`ele macroscopique : Trois zones qui ´evoluent :

R´esine.

R´esine+pr´eforme.

Pr´eforme s`eche.

Conditions aux limites.

(48)

Synth`ese

Difficult´ es de la mod´ elisation des proc´ ed´ es RFI et LRI

Difficult´es induites par la physique :

Couplage m´ecanique solide / fluide (d´eplacement / vitesse).

Grandes déformations + non-linéarités matériau.

Ecoulement dans une zone libre.´

Evolution des domaines (´´ ecrasement des renforts secs et impr´egn´es).

Difficult´es de la mod´elisation :

Couplage entre l’écoulement de la résine et la déformation des préformes - Couplage Stokes-Darcy

Quelles sont les conditions aux limites `a appliquer sur les fronti`eres mobiles ? Conditions de couplage

Comment effectuer le repérage de ces frontières ? Suivi des interfaces Gestion de la disparition de la zone de résine. Frontière fluide/poreux doit disparaˆıtre

(49)

Synth`ese

Difficult´ es de la mod´ elisation des proc´ ed´ es RFI et LRI

Difficult´es induites par la physique :

Couplage m´ecanique solide / fluide (d´eplacement / vitesse).

Grandes déformations + non-linéarités matériau.

Ecoulement dans une zone libre.´

Evolution des domaines (´´ ecrasement des renforts secs et impr´egn´es).

Difficult´es de la mod´elisation :

Couplage entre l’écoulement de la résine et la déformation des préformes - Couplage Stokes-Darcy

Quelles sont les conditions aux limites `a appliquer sur les fronti`eres mobiles ? Conditions de couplage

Comment effectuer le repérage de ces frontières ? Suivi des interfaces Gestion de la disparition de la zone de résine. Frontière fluide/poreux doit disparaˆıtre

(50)

Synthèse Simulation numérique du procédé d’infusion de résine

Plan

4 Synth`ese

(51)

Infusion de r´ esine : fluide / milieu poreux

D´ecoupage du domaine en 3 zones

Résine seule = Zonepurement fluide - Stokes Renforts imprégnés = Zonemilieu poreux - Darcy

Figure:Procédés d’infusion : LRI(à gauche) etRFI(à droite)

Pour m´emoire les´equations de Stokes en incompressible:

−div(2ηε(v˙ s)) +∇ps =0 dans Ωs

divvs = 0 dans Ωs

vs =0 sur Γs,D

σns =t sur Γs,N

(52)

Ecoulement de Stokes : ´ ´ El´ ement fini P1+/P1

Résolution numérique de 2 équations:

Equilibre m´´ ecanique Incompressibilit´e

De préférence résolution simultanée ⇒Formulation mixte vitesse-pression

Problèmes de stabilité (système mal conditionné)⇒ EF ’Mini-élément’

[Kvv] [Kvp] [Kvp]^T [−Cpp]

.

v~_l^e p^e

= F~_l^e

~0

(53)

Ecoulement de Stokes : ´ ´ El´ ement fini P1+/P1

Principe des Puissances Virtuelles : Z

¯¯

σ:δεdv˙¯¯ = Z

fv~.δ~v dv+ Z

T~^d.δ~v ds En utilisant :

Loi de comportement : ¯σ¯=−p¯¯I+ 2ηε˙¯¯

Incompressibilit´e :div~v= 0

Formulation variationnelle mixte de Stokes :











∀δ~v,R

2ηε˙¯¯:δεdv˙¯¯ −R

pdivδ~v dv=Rfv.δ~~ v dv+RT~^d.δ~v ds

∀δp,R

div~v.δpdv= 0

+ conditions sur les espaces des fonctions test et r´eelles.

(1)

(54)

Ecoulement de Stokes : ´ ´ El´ ement fini P1+/P1

.Stokes :

Utilisation d’´el´ements P1+/P1.

Interpolation lin´eaire en vitesse-pression

Interpolation en vitesse enrichie d’une fonction bulle (condition de stabilit´e) : d´ecomposition du vecteur vitesse : ~v =vl~ +vb~

Figure:El´´ement P1+/P1 et fonction d’interpolation de la bulle

(55)

Couplage par la formulation

Notons Ωs⊂IR^d et Ωd⊂IR^d (d=2 ou 3) deux domaines tel que l’interface Γ entre les deux domaines soit d´efinie par :

Γ =∂Ωs∩∂Ωd

Hypoth`eses :

La r´esine : fluide newtonien incompressible.

Vitesse d’´ecoulement relativement faible : faible Reynolds.

Les effets de capillarité entre les fibres et la résine peuvent être négligés.

Les pr´eformes⇔milieu poreux.

Domaine constitu´e de fibres + espaces inter-fibres⇒Domaine constitu´e de grains et de pores.

(56)

Equations de conservation et loi de comportement

Dans Ωs, l’écoulement est gouverné parles équations de Stokes incompressible:

−div(2ηε(v˙ s)) +∇ps =0 dans Ωs

divvs = 0 dans Ωs

vs =0 sur Γs,D

σns =t sur Γs,N

Dans Ωd, l’écoulement est gouverné parles équations de Darcy incompressible :

η

Kvd+∇pd =0 dans Ωd

divvd = 0 dans Ωd

vd.nd = 0 sur Γd,D

pd =pextsur Γd,N

Loi de comportement d’un fluide newtonien : σ= 2ηε˙−pI

Avec le tenseur des vitesses de d´eformation : ε˙= (∇v+∇v^T)/2

(57)

Conditions ` a l’interface Γ

Conditions de continuit´e sur l’interface Γ

Des conditions de continuit´e sur l’interface sont prises en compte dans le mod`ele :

Continuit´e de la vitesse normale :

vs.n = vd.n sur Γ Continuit´e de la contrainte normale :

σs.n = σ_d.n sur Γ

Condition de Beaver-Joseph-Saffman qui permet de sp´ecifier la composante tangentielle de la vitesse `a l’interface :

∂vs

∂y Γ

| {z }

taux de cisaillement

= α

√

K(vs|_Γ−vd|_Γ)

| {z }

6=des vitesses

Avec :

α: coefficient de frottement (sans dimension).

K : perméabilité de la préforme.

(58)

Condition de Beaver Joseph Saffman :

Ecoulement non nul `´ a l’interface avec le milieu poreux.

Le taux de cisaillement (variation de vitesse des filets fluides par rapport `a l’axe y) s’´ecrit sous la forme :

(^d_dy^~^U)y=0= ^√^α

K(U~B−Q)~ UB =^−k_2η(⁽

h2 k)+2α√^h

k (1+α√^h

k) )^dP_dx

(59)

Couplage Stokes-Darcy avec une formulation duale

Couplage par les mêmes inconnues vitesse et pression dans le problème continu, puis discrétisé Ôbstacle

Stokes :









 Z

Ωs

2ηε(˙¯¯v~s) : ˙¯¯ε(δ ~vs)dv− Z

Ωs

psdivδ ~vsdv+ Z

Γ

√αη

K(v~s.~τ)(δv~s.~τ)ds+ Z

Γ

psδ ~vs. ~nsds= 0

− Z

Ω

divv~sδpsdv= 0 Darcy :









 Z

Ω_d

η

Kv~d. ~δvddv− Z

Ω_d

pddivδ ~vddv− Z

Γ

pdδ ~vs. ~nsds= 0

− Z

Ω

divv~dδpddv= 0

+ conditions sur les espaces des champs tests et champs solution

(60)

Comparaison des r´ esultats analytiques et num´ eriques

Vitesse analytique dans le milieu purement fluide : En int´egrant l’´equation de Stokes.

Conditions aux bords.

vx =−K

2η(σ²+ 2ασ 1 +ασ )dP

dx(1 + α

√Ky) + 1

2η(y²+ 2αy√ K)dP

dx avecσ= ^√^h

K o`uhest la hauteur du milieu purement fluide.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Vitesse horizontale

Axe Y

solution analytique solution numerique

(61)

Cas test 3D : Ecoulement horizontal

(62)

Discr´ etisation du domaine de calcul

.Maillage unique + non structuré: triangles (2D) et tétraèdres (3D).

.Repr´esentation de l’interface entre Stokes et Darcy : φ= une fonction distance sign´ee.

φh ⇔distance discrétisée du noeud à l’interface (approximation P1).

φh est d´etermin´ee pour chaque noeud du maillage.

φh(x)>0 si x∈ Ωs,φh(x)<0 si x∈ Ωd et Γ ={x ; φh(x) = 0}

(63)

Discr´ etisation du domaine de calcul

Approche eulérienne : l’interface n’est pas définie de manière explicite.

L’int´egraleR

{φ_h=0}f(x)dxn’est pas directement calculable.

La surface{φh= 0}ne correspond pas `a un ensemble de faces.

Calcul sur le domaine Ω.

Approximation volumique de l’intégrale surfacique grâce à la fonction distance signéeφ:

Z

Γ

f(x)ds≈ Z

Ω

1 εζ(φ

ε)||∇φ||~

| {z }

tend versδ_{φ

h=0}quandε→0

f(x)dv

Avec :

ζ(φ ε) =

₁

2(1 +cos(π^φ_ε)) si−ε < φ < ε 0 sinon

Choix deεtel que : 2ε= 1,5h, o`uhest la taille de maille.

.Autre utilisation de la fonctionφh: Calcul de la fonction HeavisideHi

Calcul de la normale : n=_||∇φ^∇φ^h

h||

(64)

D´ efinition du probl` eme

Domaine de calcul : rectangle 56mm×292mm.

Utilisation d’un canal d’injection.

Deux milieux : r´esine et air.

Deux domaines : un domaine purement fluide et un milieu poreux.

Conditions aux limites : Pression impos´ee en entr´ee.

Vitesse normale nulle sur les autres bords.

(65)

Propri´ et´ es de l’air

Les propriétés de l’air ne sont pas prises en compte précisément dans le modèle.

But : Prolonger dans l’air les champs de vitesse et de pression sans perturber la propagation du front fluide.

Air⇔fluide newtonien avec viscosit´eηa<< ηr

Choix : ηr = 0.027 etηa= 0.001

(66)

Repr´ esentation du front fluide

φf : Fonction distance sign´ee⇔ ||∇φf||= 1

Utilisation de la méthodeLevel setavec résolution d’une équation de transport :

∂φf

∂t +v.∇φf = 0 ∀(x,t)∈Ω×(0,T) φf(x,t= 0) =φ0(x) ∀x ∈Ω

φf(x,t) =g(t) ∀x ∈∂Ω⁻,∀t∈(0,T) O`u∂Ω⁻={x∈∂Ω;v.n<0}d´esigne la partie entrante de∂Ω.

Discrétisation par une méthode EF continue stabilisée (SUPG).

Figure:Isovaleurs deφf `a t=0 et `a t>0

Equation de transport⇒φ^t_f, tel que||∇φ^tf|| 6= 1 (tout d´epend du champ de vitesse).

Etape de redistanciation´ pour retrouver la propriété de distance signée

64/70 S. Drapier et G. Pacquaut M´ethodes de suivi d’interface et couplages fluides/poreux

(67)

Loi de m´ elange

La viscosité et la densité sont calculées sur tout le domaine : η=H(φf)ηr+ (1−H(φf))ηa

ρ=H(φf)ρr+ (1−H(φf))ρa

O`uH(φf) est une fonction Heaviside avec une transition continue sur une

´

epaisseurε.

H(φf) =







0 si φf <−ε

1

2(1 +^φ_ε^f) si |φf|6ε 1 si φf > ε

Evite d’avoir des propriétés différentes d’un point d’intégration à un autre dans un même élément (problèmes numériques).

Figure:Exemple pour la viscosit´e de la r´esine en rouge et de l’air en bleu

(68)

R´ esultats num´ eriques

.Simulation du procédé d’infusion : ^2D ^3D Nbre d’éléments : 37679

Nbre de noeuds : 19194 Nbre de dofs : 76776 Temps CPU : 10h30

Calcul sur Intel Pentium 4 CPU 3.20 GHz avec 3.0 Go RAM

.Remarques :

L’infusion dans le milieu poreux se produit avant le remplissage complet du domaine purement fluide.

Emprisonnement d’air lorsque le front atteint le bord gauche du domaine.

(69)

R´ esultats num´ eriques

.Simulation du procédé d’infusion sur pièce courbe : ^Coque

.Remarques : Infusion dans la direction normale à l’interface⇒description fine grâce àφh.

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R´ esultats num´ eriques

.Simulation du procédé d’infusion sur un raidisseur aéronautique : ^Raidisseur

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Synth`ese

Plan

4 Synth`ese

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Synth`ese

Bilan

.Les interfaces sont induites par des Discontinuité des propriétés physiques.

Discontinuité géométrique.

.Les principales m´ethodes de suivi des interfaces dans une discr´etisation spatiale fixe sont

Lesm´ethodes de suividu front mobile (’Front tracking’), Lesm´ethodes de capturedu front mobile (’Front capturing’).

.Dans le cas particulier du couplage Stokes-Darcy, nous avons utilisé Couplage par les équations de bilan (masse et quantité de mouvement) Formulation discrétisée par EF commune aux 2 zones

Repr´esentation et suivi de l’interface avec une m´ethode Level-Set

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Synth`ese

Bilan

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Synth`ese