1 Méthode des rectangles

Informatique - Simulation numérique

Chapitre 2 : Calcul approché d’intégrales

Sommaire

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1 Méthode des rectangles 1

1.1 Principe général des méthodes élémentaires et composées . . . 1

1.1.1 Méthode élémentaire . . . 1

1.1.2 Méthode composée . . . 2

1.2 Codes Python pour les méthodes composées . . . 3

1.3 Ordre d’une méthode . . . 3

2 Méthodes d’ordres supérieurs 4 2.1 Méthode des trapèzes . . . 4

2.2 Méthode de Simpson . . . 5

2.3 Méthodes intégrées en Python . . . 6

Le but de ce chapitre est de présenter quelques méthodes de calcul approché d’intégrales. De manière similaire à la problématique de la résolution d’équations numériques, il y a notamment deux motivations pour chercher de telles méthodes :

— les fonctions usuelles (fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmes...) qu’on manipule pos- sèdent souvent des primitives que l’on peut exprimer à l’aide des fonctions usuelles. Cependant, ce n’est pas toujours le cas : il est par exemple impossible d’exprimer une primitive de x 7→ exp(x²) à l’aide des fonctions usuelles. Pour estimer une intégrale comme ^R₀¹exp(x²)dx, il est donc nécessaire de recourir à des méthodes numériques ;

— si une fonction n’est connue que par ses valeurs prises en certains points (par exemple issus d’une série de mesures physiques), le calcul exact d’intégrales n’a pas de sens et on ne peut que chercher une estimation de l’intégrale d’une fonction « raisonnable » passant par ces points (ou s’en approchant suffisamment).

1 Méthode des rectangles

1.1 Principe général des méthodes élémentaires et composées 1.1.1 Méthode élémentaire

La méthode de quadrature élémentaire repose sur un principe simple : pour estimer une intégrale de la forme^R_x^x_k^k+1f(x)dx, on choisit un pointx_i de l’intervalle [x_k, x_k+1], et on approche l’intégrale par

Z x_k+1 xk

f(x)dx'(xk+1−xk)f(xi)

Il y a a priori trois choix possible pour le point xi : le point xk, le pointxk+1, ou le point milieu ^xk+x₂^k+1, comme illustré sur la figure (1).

x y

x_k x_k+1

f(x_k)

x y

x_k x_k+1

f(xk+1)

x y

xk xk+xk+1 xk+1 2

f^Äxk+x₂^k+1ä

Figure 1 – Méthode des rectangles élémentaire : à gauche, à droite et au point milieu

1.1.2 Méthode composée

Ces trois méthodes de quadrature élémentaire donnent des méthodes de quadrature composée : on découpe l’intervalle d’intégration [a, b] en morceaux égaux, et on applique la méthode des rectangles à gauche/à droite/du point milieu sur chacun d’eux. Soit n un entier strictement positif, et soit h = ^b−a_n le pas de discrétisation. On écrit donc :

Z b a

f(x)dx=

n−1

X

k=0

Z a+(k+1)h

a+kh f(x)dx

et on applique la méthode élémentaire à chacune des intégrales^R_a+kh^a+(k+1)hf(x)dx.

x y

a b

Figure 2 – Méthode composée

Ce principe d’approximation est connu dans le cours de mathématiques comme « sommes de Riemann ».

1.2 Codes Python pour les méthodes composées Rectangles à gauche, quadrature composée

.

i'

N−1

X

k=0

f(a+kh)h=h

N−1

X

k=0

f(a+kh) + dessin rectangles

def int_rect_gauche ( f , a , b , n) : h = (b a )/n

somme = 0 .

f o r k in range (n) : somme += f ( a+k∗h) return somme∗h

Rectangles à droite, quadrature composée .

i'

N−1

X

k=0

f(a+ (k+ 1)h)h=h

N−1

X

k=0

f(a+ (k+ 1)h) + dessin rectangles

def int_rect_gauche ( f , a , b , n) : h = (b a )/n

somme = 0 .

f o r k in range (n) :

somme += f ( a+(k+1)∗h) return somme∗h

Rectangles au point milieu, quadrature composée .

i'

N−1

X

k=0

f(a+^Åk+1 2 ã

h)h=h

N−1

X

k=0

f(a+^Åk+1 2 ã

h) + dessin rectangles

def int_rect_gauche ( f , a , b , n) : h = (b a )/n

somme = 0 .

f o r k in range (n) :

somme += f ( a+(k+.5)∗h) return somme∗h

1.3 Ordre d’une méthode

Une méthode d’intégration est dite d’ordre n si elle est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal àn et inexacte pour un polynôme de degrén+ 1.

On se convainc rapidement avec un dessin que la méthode des rectangles à gauche ou à droite n’est pas exacte sur les fonctions affines : ces deux méthodes sont donc d’ordre zéro. En revanche, la méthode du point milieu est d’ordre 1 :

.

2 Méthodes d’ordres supérieurs

2.1 Méthode des trapèzes

Le principe général de la méthode des trapèzes est exactement le même que celui de la méthode des rectangles, mais on approche cette fois-ci la courbe sur le segment [xk, xk+1] par le segment de droite reliant les deux points de la courbe d’abscisses x_k etx_k+1, ce qui revient à calculer une somme d’aires de trapèzes pour approcher l’intégrale.

x y

x_k x_k+1

f(x_k+1)

f(x_k)

La méthode composée consiste donc à découper l’intégrale ^R_a^bf(x)dx en n morceaux sur lesquels on applique la méthode des trapèzes :

. méthode élémentaire (entre x_k etx_k+1) : Z x_k+1

xk

f(x)dx=f(xk)(xk+1−xk) +f(xk+1)−f(xk)

2 (xk+1−xk) (1)

méthode composée (entre aetb, on divise l’intervalle) : Z b

a

f(x)dx=h

n−1

X

k=0

f(xk) +f(x_k+1)−f(x_k) 2

=h f(a) +f(b)

2 +

n−1

X

k=0

f(x_k)

!

Implémentons la fonction int_trapezes(f, a, b, n) correspondante : .

def int_trapezes ( f , a , b , n) : h = (b a )/n

somme = ( f ( a)+ f (b ))/2

2.2 Méthode de Simpson

Après avoir approché la fonction par une fonction constante (méthode des rectangles), puis par une fonction affine (méthode des trapèzes), l’étape logique suivante est de tenter une approximation par des courbes de degré 2, donc des paraboles. C’est le principe de la méthode de Simpson.

D’une manière générale, une méthode élémentaire de quadrature de ^R_x^x_k^k+1f(x)dx se présente sous la forme :

Z xk+1

xk

f(x)dx'(x_k+1−x_k)

N−1

X

i=0

ω_if(x_i) (2)

où les x_i sont des points de l’intervalle [x_k, x_k+1] et ω_i des réels, qu’on appelle les poids. Pour la méthode des rectangles, il s’agit de ne considérer qu’un seul point (x_k (gauche),x_k+1 (droite) ou ^xk+x₂^k+1 (milieu)) :

Z xk+1

xk

f(x)dx'(xk+1−xk)f(xi) ω0= 1

Pour la méthode des trapèzes, nous avons utilisé les bornesxk etxk+1. L’équation (1) peut se mettre sous la forme générale (2) :

Z xk+1

xk

f(x)dx'(x_k+1−x_k)f(x_k) +f(x_k+1)

2 ω₀ =ω₁ = 1 2

Pour la méthode de Simpson, il s’agit d’utiliser comme troisième point le milieu de l’intervalle [x_k, x_k+1], et de déterminer les poidsω₀,ω₁ etω₂ de chacun des trois pointsx_k, ^xk+x₂^k+1 etx_k+1 afin que la méthode soit au moins d’ordre 2.

Z xk+1

x_k

f(x)dx= (x_k+1−x_k)^Å(ω0f(x_k) +ω1f

Åx_k+x_k+1 2

ã+ω2f(x_k+1)^ã

Pour que la méthode soit au moins d’ordre 2, il faut que le calcul d’intégrale soit exact pour les fonctions x7→1,x7→x etx7→x². On en déduit le système suivant :

.











x_k+1−x_k = (x_k+1−x_k)(ω₀+ω₁+ω₂)

x²_k+1−x²_k

2 = (xk+1−xk)^Äω0xk+ω1

Ä_xk+xk+1

2

ä+ω2xk+1

ä

x³_k+1−x³

k

3 = (xk+1−xk)ωx²_k+ω1

Ä_xk+xk+1

2

ä2

+ω2x²_k+1 ce qui conduit après calcul aux résultats suivants :

® ω₀=ω₂= ¹₆ ω₁ = ²₃

En considérant la méthode composée, on peut donc désormais implémenter la fonctionint_simpson(f, a, b, n):

.

def int_simpson ( f , a , b , n) : h = (b a )/n

somme = 0 .

f o r k in range (n) :

somme += f ( a+k∗h) + f ( a+(k+0.5)∗h)∗4 + f ( a+(k+1)∗h) return somme∗h/6

>>> int_simpson ( lambda x : x ∗∗2 , 0 . , 1 . , 4) 0.3333333333333333

2.3 Méthodes intégrées en Python

Pour intégrer en Python, on utilise généralement la méthodequaddu module scipy.integrate. Cette fonction utilise plusieurs méthodes différentes suivant ce qu’on lui donne en paramètre, de façon à ce que le calcul soit optimisé. On a en prime une estimation de l’erreur commise.

> > > f r o m s c i p y . i n t e g r a t e i m p o r t q u a d

> > > q u a d (l a m b d a x : x , 1. , 2.) (1.5 , 1 . 6 6 5 3 3 4 5 3 6 9 3 7 7 3 4 8 e - 1 4 )

Enfin, on peut citer les fonctiondblquad ettplquad, permettant de calculer des intégrales doubles ou triples.

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