Sujet et Corrigé Maths Bac S 2015 Liban, exercice 2

(1)

Exercice 2 Corrigé

(2)

O ^BLI ^GA

TO IRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2015

MATHÉMATIQUES Série S

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

15 MASCOLI1 Page 1/4

(3)

EXERCICE 1 (6 points) ABC DE F G H est un cube.

B C

F G

A D

H E

I

J

K

L

Iest le milieu du segment [AB],Jest le milieu du segment [E H],K est le milieu du segment [BC] etLest le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé A;−→

AB;−−→

AD;−→

AE .

1. a) Démontrer que la droite (F D) est orthogonale au plan (I J K).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (I J K).

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (F D).

3. SoitM le point d’intersection de la droite (F D) et du plan (I J K). Déterminer les coor- données du pointM.

4. Déterminer la nature du triangleI J K et calculer son aire.

5. Calculer le volume du tétraèdreF I J K. 6. Les droites (I J) et (K L) sont-elles sécantes ?

EXERCICE 2 (6 points)

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier natureln,u_n=

1

0

xⁿ 1+xdx.

1. Calculeru₀=

₁

0

1 1+xdx.

2. a) Démontrer que, pour tout entier natureln,un+1+un= 1 n+1. b) En déduire la valeur exacte deu₁.

3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rangnde la suite (u_n) oùnest un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables : i etnsont des entiers naturels uest un réel

Entrée : Saisirn

Initialisation : Affecter àula valeur ...

Traitement : Pourivariant de 1 à ...

| Affecter àula valeur ...

Fin de Pour Sortie : Afficheru

b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n 0 1 2 3 4 5 10 50 100

un 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050 Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (u_n) peut-on émettre ? 4. a) Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

5. On appelleℓla limite de la suite (un). Démontrer queℓ=0.

On considère la courbeC _{d’équation}_y₌_e^x, tracée ci-dessous.

1 2 3 4

−1

−2

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

C

Pour tout réelmstrictement positif, on noteD_m la droite d’équationy=mx.

1. Dans cette question, on choisitm=e.

Démontrer que la droiteD_e, d’équationy=ex, est tangente à la courbeC en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbeC et de la droiteD_m.

3. Démontrer cette conjecture.

EXERCICE 1 (6 points) ABC DE F G Hest un cube.

B C

F G

A D

H E

I

J

K

L

Iest le milieu du segment [AB],J est le milieu du segment [E H],K est le milieu du segment [BC] etLest le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé A;−→

AB;−−→

AD;−→

AE .

1. a) Démontrer que la droite (F D) est orthogonale au plan (I J K).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (I J K).

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (F D).

3. SoitM le point d’intersection de la droite (F D) et du plan (I J K). Déterminer les coor- données du pointM.

4. Déterminer la nature du triangleI J K et calculer son aire.

5. Calculer le volume du tétraèdreF I J K. 6. Les droites (I J) et (K L) sont-elles sécantes ?

On définit la suite (u_n) de la façon suivante : pour tout entier natureln,u_n=

₁

0

xⁿ 1+xdx.

1. Calculeru0=

₁

0

1 1+xdx.

2. a) Démontrer que, pour tout entier natureln,u_n+1+u_n= 1 n+1. b) En déduire la valeur exacte deu₁.

3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rangnde la suite (un) oùnest un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables : i etnsont des entiers naturels uest un réel

Entrée : Saisirn

Initialisation : Affecter àula valeur ...

Traitement : Pouri variant de 1 à ...

| Affecter àula valeur ...

Fin de Pour Sortie : Afficheru

(4)

1 alainpiller. fr 1. Calculons U

₀

:

Ici: f ( x ) = 1

1 + x et U

₀

=

¹

0

f ( x ) d x .

f est continue sur [ 0;1 ], elle admet donc des primitives sur [ 0;1 ] et par conséquent: U

₀

existe.

U

₀

=

¹

0

1 1 + x d x <=> U

₀

= [ ln | 1 + x | ]

₀

<=> U

₀

= [ ln ( 1 + x ) ]

₀

=> U

₀

= ln 2 . Au total: U

₀

= ln 2 .

2. a. Montrons que, pour tout entier naturel n, U

_{n + 1}

+ U

_n

= 1 n + 1:

Cela revient à calculer:

j =

¹

0

x

^{n + 1}

1 + x d x +

¹

0

x

ⁿ

1 + x d x , <=> j =

¹

0

x

^{n + 1}

+ x

ⁿ

1 + x d x . Soit: h ( x ) = x

^{n + 1}

+ x

ⁿ

1 + x .

h est continue sur [ 0;1 ], elle admet donc des primitives sur [ 0;1 ] et par conséquent: j existe.

1

EXERCICE 2

[ Liban 2015 ]

(5)

2 alainpiller. fr Dans ces conditions:

j =

¹

0

x

ⁿ

( x + 1 )

1 + x d x => j =

¹

0

x

ⁿ

d x . D’où: j = x

^{( n + 1 )}

( n + 1 )

1

0

=> j = 1 n + 1 .

Au total, nous avons donc bien: U

_{n + 1}

+ U

_n

= 1

n + 1 , pour tout entier naturel n . 2. b. Déduisons-en la valeur exacte de U

₁

:

Nous savons que: U

_{n + 1}

+ U

_n

= 1

n + 1 , et U

₀

= ln 2 . D’où: U

₁

+ U

₀

= 1

0 + 1 <=> U

₁

+ ln 2 = 1

=> U

₁

= 1 - ln 2 . Au total: U

₁

= 1 - ln 2 .

3. a. Recopions et complétons:

Le tableau recopié et complété est le suivant:

…

Initialisation: Affecter à u la valeur ln (2)

Traitement: Pour i variant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1 i - u

…

3. b. Quelle conjecture ?

D’après les données du tableau, on pourrait, a priori, penser que

la suite: ( U

_n

) est strictement décroissante.

(6)

3 alainpiller. fr Par ailleurs, ( U

_n

) semble positive et converger vers " 0 " ( minorant ).

4. a. Montrons que ( U

_n

) est décroissante:

Il s’agit de déterminer le signe de: U

_{n + 1}

- U

_n

. Posons: g ( x ) = x

^{n + 1}

1 + x et h ( x ) = x

ⁿ

1 + x .

Nous remarquons alors que: g ( x ) = x x h ( x ).

Or: x ı [ 0;1 ], d’où nous pouvons affirmer que:

g ( x ) ≤ h ( x ) <=> x

^{n + 1}

1 + x ≤ x

ⁿ

1 + x .

Notons que: • les fonctions g et h sont continues sur [ 0;1 ] ;

• g et h admettent donc des primitives sur [ 0;1 ], et par conséquent:

¹

0

g ( x ) d x et

¹

0

h ( x ) d x existent ;

• de plus, les fonctions g et h sont positives sur [ 0;1 ] ;

• enfin, les bornes d’intégration sont dans l’ordre croissant.

Les conditions étant réunies:

0 ≤ x

^{n + 1}

1 + x ≤ x

ⁿ

1 + x <=> 0 ≤

¹

0

x

^{n + 1}

1 + x d x ≤

¹

0

x

ⁿ

1 + x d x

<=> 0 ≤ U

_{n + 1}

≤ U

_n

=> 0 ≤ U

_{n + 1}

- U

_n

≤ 0.

Ainsi, nous pouvons affirmer que: la suite ( U

_n

) est décroissante.

4. b. Démontrons que ( U

_n

) est convergente:

Nous savons que toute suite décroissante et minorée est convergente.

(7)

4 alainpiller. fr Or ici: • ( U

_n

) est minorée par m = 0, ( car: º n ı –, U

_n

≥ 0 )

• ( U

_n

) est décroissante, pour tout entier naturel n.

Donc nous pouvons affirmer que: ( U

_n

) est convergente.

5. Soit � la limite de ( U

_n

), montrons que � = 0:

Soit 　 la limite de ( U

_n

), quand n tend vers +∞.

Nous avons: • lim U

_n

n g +∞ = 　

• lim U

_{n + 1}

n g +∞ = 　 => lim U

_n

n g +∞ + U

_{n + 1}

= 2　.

Or, nous avons vu que: U

_n

+ U

_{n + 1}

= 1 n + 1 . D’où: lim ( U

_n

+ U

_{n + 1}

)

n g +∞ = lim n g +∞

n + 1 1

= 0.

Ainsi, nous obtenons l’égalité:

2　 = 0 => 　 = 0.

Donc si 　 est la limite de ( U

_n

Sujet et Corrigé Maths Bac S 2015 Liban, exercice 2

Exercice 2 Corrigé

O BLI GA

TO IRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2015

MATHÉMATIQUES Série S

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7

1

alainpiller. fr 1. Calculons U

:

Ici: f ( x ) = 1

1 + x et U

=

f ( x ) d x .

f est continue sur [ 0;1 ], elle admet donc des primitives sur [ 0;1 ] et par conséquent: U

existe.

U

=

1

1 + x d x <=> U

= [ ln | 1 + x | ]

<=> U

= [ ln ( 1 + x ) ]

=> U

= ln 2 . Au total: U

= ln 2 .

2. a. Montrons que, pour tout entier naturel n, U

+ U

= 1 n + 1:

Cela revient à calculer:

j =

x

1 + x d x +

x

1 + x d x , <=> j =

x

+ x

1 + x d x . Soit: h ( x ) = x

+ x

1 + x .

h est continue sur [ 0;1 ], elle admet donc des primitives sur [ 0;1 ] et par conséquent: j existe.

EXERCICE 2

[ Liban 2015 ]

2

alainpiller. fr Dans ces conditions:

j =

x

( x + 1 )

1 + x d x => j =

x

d x . D’où: j = x

( n + 1 )

=> j = 1 n + 1 .

Au total, nous avons donc bien: U

+ U

= 1

n + 1 , pour tout entier naturel n . 2. b. Déduisons-en la valeur exacte de U

:

Nous savons que: U

+ U

= 1

n + 1 , et U

= ln 2 . D’où: U

+ U

= 1

0 + 1 <=> U

+ ln 2 = 1

=> U

= 1 - ln 2 . Au total: U

= 1 - ln 2 .

3. a. Recopions et complétons:

Le tableau recopié et complété est le suivant:

…

Initialisation: Affecter à u la valeur ln (2)

Traitement: Pour i variant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1 i - u

…

3. b. Quelle conjecture ?

O ^BLI ^GA

Soit 　 la limite de ( U

n g +∞ = 　

n g +∞ = 　 => lim U

= 2　.

2　 = 0 => 　 = 0.