Théorème de Riesz-Fischer

Théorème de Riesz-Fischer

Manon Runi

Théorème 1 (Riesz-Fischer)

SoitΩun ouvert de R^d; soitp∈[1,∞]. Alors :L^p(Ω) est un espace de Banach.

Preuve : Pour montrer qu'un espace E est un espace de Banach, on prend une suite de Cauchy à valeurs dansE et on montre qu'elle converge.

Cas 1 :p=∞

Soit(f_n)_n∈N une suite de Cauchy dans L^∞(Ω).

∀k∈N^∗,∃Nk∈N,∀m, n>Nk,kfm−fnk_L∞ 6 1 k C'est-à-dire :∀k∈N^∗,∃Ek négligeable tel que :

∀m, n>N_k,∀x6∈E_k,|fm(x)−f_n(x)|6 1 k SoitE=S

k∈N^∗Ek. L'ensembleEest négligeable (union dénombrables d'ensembles négligeables) et :

∀x6∈E,∀k∈N^∗,∃N_k∈N,∀m, n>N_k,|f_m(x)−f_n(x)|6 1

k (1)

Ainsi, ∀x6∈ E, (f_n(x))_n est une suite de Cauchy dans R, qui est complet. Soit f(x) sa limite. La fonctionf est donc dénie presque partout.

Montrons quef ∈L^∞(Ω)et f_n−→f dansL^∞. Par passage à la limite dans (1), on obtient :

∀x6∈E,∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀n>Nk,|f(x)−fn(x)|6 1 k

Avec k = 1 : ∃N₁ ∈ N^∗,kfk_L∞ 6 1 +kf_N1k_L∞. Donc : f ∈ L^∞. (On a maintenant le droit de considérerkf −f_nk_L∞)

Alors :∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀n>Nk,kf−fnk_∞6 ¹k, i.e.fn−→f dansL^∞ DoncL^∞ est un espace de Banach.

Cas 2 :16p <∞

Soit(f_n)_n∈N une suite de Cauchy d'éléments deL^p.

On va montrer que (f_n)admet une sous-suite (f_nk)_k convergente dans L^p, vers une limitef. Alors on aura :

Soitε >0:

∃K₀∈N,∀k>K₀,kf_nk−fk_Lp 6^ε2

∃N0∈N,∀m, n>N0,kfm−fnk_Lp6 ^ε2

Alors :∀n>N0,kf−fnk_Lp6ε, d'où la convergence de (fn)n

De(fn)n on peut extraire une sous-suite(fn_k)k telle que :

∀k∈N^∗,

fn_k+1−fn_k

_Lp 6 1

2^k

En eet, comme(f_n)_n est de Cauchy, il existe(n_k)_k suite croissante d'entiers telle que :

∀m, n>nk,kfm−fnk_Lp6 1 2^k On notera fˆ_k au lieu def_nk.

1

Pour toutn∈N^∗, posons :

gn :=

n

X

k=1

|fˆk+1−fˆk|

Alors :(gn)n est une suite croissante de fonctions deL^p(car sommes de fonctionsL^p), et kgnk_Lp6

n

X

i=1

fˆk+1−fˆk

_Lp6

n

X

i=1

1 2^k 61

Donc, par théorème de convergence monotone, pour presque tout x∈L^p, g_n(x)converge vers une limite nie notéeg(x). La fonctiong est dénie presque partout, et :

kgk^p_Lp= Z

X

|g(x)|^pdx= Z

X

lim inf|gn(x)|^pdx 6

F atou

lim inf Z

X

|gn(x)|^p_Lpdx61 Doncg∈L^p.

SoitN ⊂Ωnégligeable tel que :∀x6∈N, g_n(x)→g(x). Soitx6∈N. On a :

∀m > n>1,|fˆm(x)−fˆn(x)|6|fˆm(x)−fˆ_m−1(x)|+...+|fˆn+1(x)−fˆn(x)|6|g(x)−g_n−1(x)| −→0 Donc,∀x6∈N,( ˆfn(x))n est une suite de Cauchy dans R, donc elle converge. Soitfˆ(x)sa limite.

On a :∀m > n>1,|fˆm(x)−fˆn(x)|6g(x), donc, par passage à la limite :

∀n61,∀x6∈N,|fˆ(x)−fˆn(x)|6g(x) En particulier :kfk_Lp6kgk_Lp+

fˆ1

_Lp<∞donc fˆ∈L^p(Ω)

Enn, ∀x6∈N,|fˆ(x)−fˆ_n(x)|^p6(g(x)−g_n−1(x))^p−→0 ∀x6∈N,|fˆ(x)−fˆn(x)|^p6(g(x))^p avecg^p∈L¹ Par théorème de convergence dominée :

fˆ−fˆ_n

_Lp−→0

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