fiche4

Université Claude Bernard Lyon 1 Semestre printemps 2016 - 2017 Préparation aux épreuves écrites du CAPES

Fiche 4 SÉRIES ENTIÈRES

Notions abordées

• Domaine de convergence et rayon de convergence des séries entières

• Critère de d’Alembert de de Cauchy

• Opérations sur les séries entières

• Fonctions développables en séries entières : notions de base, résultats d’existence

• Applications : fonctions trigonométriques et exponentielle, logarithme, résolution d’équations différentielles, somme des inverses des carrés

PARTIE I : Séries entières

Dans cette partie, K = R ou C.

On note R+= R+∪ {+∞}, avec les conventions 1

+∞ = 0 et 1

0 = +∞.

Dans ce qui suit, pour tout r > 0, on note D_r= {z ∈ K , |z| < r}.

A - RÉSULTATS DE BASE

1 - Premières définitions et exemples

Définition. On appelle série entière toute série de fonctions de la formeX

a_nzⁿoù z ∈ K et (a_n)_n∈N est une suite d’éléments de K.

Définition. On appelle domaine de convergence l’ensemble D des éléments z de K tels que la sérieX

anzⁿ converge. On définit alors la fonction somme :

∀z ∈ D ,

+∞

X

n=0

anzⁿ.

Remarque : D est toujours non vide car il contient 0.

Exemples.

• Les polynômes sont des cas particuliers de séries entières, pour lesquels la suite (a_n)_n∈N est nulle à partir d’un certain rang. Leur domaine de convergence est D = K.

• La série entièreX

zⁿ admet D = {z ∈ K , |z| < 1} pour domaine de convergence, et on a f (z) = 1

1 − z pour tout z ∈ D.

(b) En déduire que l’ensemble

B =r ∈ R+ , (anrⁿ)_n∈N est bornée est soit un intervalle de R+ contenant 0, soit réduit à {0}.

Définition. Le rayon de convergence d’une série entièreX

a_nzⁿest le réel R = supr ∈ R+ , (a_nrⁿ)_n∈N est bornée .

D_R= {z ∈ K , |z| < R} est appelée le disque de convergence (c) Démontrer le théorème suivant :

Théorème. Soit X

anzⁿ une série entière, de rayon de convergence R.

- si |z| < R, alorsX

anzⁿ converge.

- si |z| > R, alorsX

a_nzⁿ diverge.

- si |z| = R, on ne peut rien conclure.

3 - Résultats de convergence

Proposition (Convergence uniforme). Soit X

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergence R. Alors X

anzⁿ converge uniformément sur tout disque fermé inclus dans le disque de convergence. Plus précisément, pour tout réel r tel que 0 < r < R, on a :

∀ε > 0 , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , ∀z ∈ K , |z| ≤ r ⇒     

n

X

k=0

akz^k−

+∞

X

k=0

akz^k     

< ε .

(a) Démontrer la proposition suivante :

Proposition (Critère de d’Alembert). Soit X

anzⁿ une série entière telle que an 6= 0 à partir d’un certain rang. Si lim

n→+∞

an+1

a_n   

 = ` ∈ R+, alors son rayon de convergence est R = 1

`.

(b) Application. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreXn!

nⁿzⁿ. (c) Démontrer la proposition suivante :

Proposition (Critère de Cauchy). SoitX

a_nzⁿune série entière. Si lim

n→+∞

p|an _n| =

` ∈ R+, alors son rayon de convergence est R = 1

`.

(d) Application. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreX 1 n^{ln n}zⁿ. 4 - Opérations sur les séries

A titre d’exercice, on pourra proposer une démonstration des théorèmes suivants.

Théorème (somme). Soient X

anzⁿ et X

bnzⁿ deux séries de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. On note R le rayon de convergence de la série entière X

(a_n+ b_n)zⁿ. - Si R_a6= R_b, alors R = min(R_a, R_b).

- Si R_a= Rb, alors R ≥ min(R_a, Rb).

Pour tout z ∈ K vérifiant |z| < min(Ra, R_b), on a

+∞

X

n=0

a_nzⁿ+

+∞

X

n=0

b_nzⁿ=

+∞

X

n=0

(a_n+ b_n)zⁿ

Théorème (multiplication scalaire). SoitX

a_nzⁿune série entière de rayon de conver- gence R et λ un réel non nul. Alors la sérieX

(λan)zⁿadmet R pour rayon de convergence.

Théorème (produit). Soient X

anzⁿ et X

bnzⁿ deux séries de rayons de convergence respectifs R_a et R_b. On note R le rayon de convergence de la série somme produit définie par X

cnzⁿ, où l’on a posé c_n =

n

X

k=0

a_kb_n−k pour tout n ∈ N. On a R ≥ min(Ra, R_b), et pour tout z ∈ K vérifiant |z| < min(Ra, R_b) :

+∞

X

n=0

cnzⁿ=

+∞

X

n=0

anzⁿ

! _+∞

X

n=0

bnzⁿ

! .

B - APPLICATIONS

Exercice 1 : Calcul de rayon de convergence

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1 -

+∞

X

n=0

(−1)ⁿn!zⁿ 2 -

+∞

X

n=0

nⁿzⁿ 3 -

+∞

X

n=0

2n n



zⁿ 4 -

+∞

X

n=0

sin(n)zⁿ

Exercice 2 : Etude au bord

1 - Déterminer le rayon de convergence R de la série

+∞

X

n=1

sin

 1

√n

 zⁿ. 2 - Etudier la convergence en −R et R.

Exercice 3 : Relations entre rayons de convergence Les questions1, 2 et 3 sont indépendantes.

1 - On considère une série entière

+∞

X

n=0

anzⁿ. On suppose qu’elle converge pour z = 3i − 4 et qu’elle diverge pour z = 5. Que peut-on dire sur son rayon de convergence ?

(b) Soit r ∈ R+ tel que r < R_a. Montrer que la suite (n^αanrⁿ) est bornée. En déduire que R_a= R_b.

3 - On considère une série entière

+∞

X

n=0

a_nzⁿ de rayon de convergence R > 0. Déterminer le rayon

de convergence de la série entière

+∞

X

n=0

a_n n!zⁿ.

Exercice 4 : Convergence d’une somme 1 - On considère une série entière X

anzⁿ de rayon de convergence R. Déterminer le rayon de convergence des sériesX

anz²ⁿ. etX

anz²ⁿ⁺¹. 2 - On considère la série entièreX

anzⁿ où a_n=



1 +(−1)ⁿ n

n²

pour tout n ∈ N^∗.

(a) Pour tout p ∈ N^∗, on pose u_p = a2p. Déterminer le rayon de convergence de la série Xu_pz^p. En déduire le rayon de convergence de la série X

a_2pz^2p.

(b) Pour tout p ∈ N, on pose vp = a_2p+1. Déterminer le rayon de convergence de la série Xvpz^p. En déduire le rayon de convergence de la série X

a2p+1z^2p+1. (c) En déduire le rayon de convergence deX

a_nzⁿ.

PARTIE II : Fonctions développables en série entière

A - RÉSULATS DE BASE

1 - Notions essentielles

Définition. Soit R > 0 et f une fonction de D_R dans K. On dit que f est développable en série entière (DSE) sur D_R s’il existe une série entièreX

a_nzⁿ, convergente sur D_R, telle que

∀z ∈ D_R , f (z) =

+∞

X

n=0

anzⁿ.

Exemple. La fonction définie par f (z) = 1

1 − z pour tout z ∈] − 1, 1[ est développable en série entière sur cet intervalle. On a :

∀ z ∈] − 1, 1[ , f (z) = 1 1 − z =

+∞

X

n=0

zⁿ.

Les deux résultats suivants sont fondamentaux. Leur démonstration est laissée à titre d’exercice.

Théorème. Soit f une fonction réelle développable en série entière sur ] − R, R[. On pose f (z) =

+∞

X

n=0

anzⁿ pour tout z ∈] − R, R[. On a les résultats suivants : - f est indéfiniment dérivable sur ] − R, R[. Sa dérivée est donnée par :

f⁰(z) =

+∞

X

n=1

nanzⁿ⁻¹.

- La primitive F de f qui s’annule en 0 converge sur ] − R, R[ et est donnée par :

F (z) = Z z

0

f (t)dt =

+∞

X

n=0

a_n

n + 1zⁿ⁺¹.

Théorème. Soit f une fonction développable en série entière sur ] − R, R[. Alors f (z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ avec a_n= f⁽ⁿ⁾(0)

n! pour tout n ∈ N . La série

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! zⁿ est appelée développement de Taylor de f en 0.

Remarque 1. On déduit de ce théorème l’unicité d’un développement série entière : les a_n sont déterminés par f⁽ⁿ⁾(0)

n! . On en déduit la propriété suivante :

Corollaire. On considère une fonction f développable en série entière sur ] − R, R[. Alors f est une fonction paire (resp. impaire) si et seulement si les ande rang impair (resp. pair) sont nuls.

Remarque 2. Ce théorème ne fournit pas une condition suffisante : il se peut qu’une fonction admette un développement de Taylor en 0 sans pour autant admettre un développement en série entière sur un intervalle ouvert contentant 0. Un contrexemple classique est fourni par la fonction :

f : R −→ R x 7−→





 exp



− 1 x²



si x 6= 0 , 0 sinon.

2 - Théorème fondamental d’existence Démontrer les théorèmes suivants :

Théorème (Taylor avec reste intégral). Soit f une fonction de classe Cⁿ⁺¹sur ]−R, R[.

Alors, pour tout z ∈] − R, R[ on a

f (z) = f (0) + f⁰(0)z + · · · +f⁽ⁿ⁾(0)

n! zⁿ+ r_n(z)

Théorème. Soit f une fonction de classe C^∞ sur ] − R, R[. On suppose qu’il existe M ≥ 0 et λ ≥ 0 tels que pour tout n ∈ N et tout z ∈] − R, R[ :

|f⁽ⁿ⁾(z)| ≤ M λⁿ. Alors f est développable en série entière sur ] − R, R[.

Application directe. Exponentielle et fonctions trigonométriques

(a) Montrer que la fonction exp est développable en série entière sur tout intervalle de la forme ] − R, R[, avec :

exp(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ n! . (b) Montrer que pour tout x et tout n ∈ N, sin⁽ⁿ⁾(x) = sin

x + nπ 2



. En déduire que la fonction sin est développable en série entière sur tout intervalle de la forme ] − R, R[, avec :

sin(x) =

+∞

X

p=0

(−1)^p

(2p + 1)!x^2p+1.

(c) Par un raisonnement analogue, montrer que la fonction cos est développable en série entière sur tout intervalle de la forme ] − R, R[, avec :

cos(x) =

+∞

X

p=0

(−1)^p (2p)!x^2p.

B - APPLICATIONS

Exercice 1 : Autour de la fonction exponentielle Les questions1, 2 et 3 sont indépendantes.

1 - Utiliser le développement en série entière de l’exponentielle pour montrer l’égalité suivante :

∀x, y ∈ R , exp(x + y) = exp(x) exp(y) . 2 - Soit λ ∈ R.

(a) Montrer que le rayon de convergence de la série entière Xλⁿ

n!xⁿ est infini.

(b) Pour tout x ∈ R, on pose f (x) =

+∞

X

n=0

λⁿ

n!xⁿ. Montrer que f⁰(x) = λf (x).

3 - Montrer que pour tout x réel, on a :

+∞

X

n=0

n²

n!xⁿ= (x²+ x) exp(x) .

Exercice 2 : Résolution d’équations différentielles Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1 - Soit α ∈ R. On considère la fonction f définie par f (x) = (1 + x)^α pour tout x ∈ R.

(a) Montrer que f est solution de l’équation différentielle

 (1 + x)y⁰− αy = 0 , y(0) = 1 .

(b) Chercher une solution de l’équation précédente sous forme de série entière, en précisant son rayon de convergence.

(c) En déduire le développement en série entière de√

1 + x sur ] − 1, 1[.

(d) Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[.

√ 1

1 − x² = 1 + 1 2z²+3

8z⁴+ · · · + (2n)!

2²ⁿ(n!)²z²ⁿ+ · · · 2 - Résoudre l’équation différentielle suivante en utilisant les séries entières :

 y⁰⁰− xy = 0 ,

y(0) = 1 , y⁰(0) = 0 .

3 - On considère la fonction f définie par f (x) = ch(x) cos(x) pour tout x ∈ R.

Partie A

(a) Montrer que pour tout x ∈ R, f (x) = 1

4 e^(1+i)x+ e^(1−i)x+ e^(−1−i)x+ e^(−1+i)x
(b) Montrer que pour tout n ∈ N

(1 + i)ⁿ+ (1 − i)ⁿ+ (−1 − i)ⁿ+ (−1 + i)ⁿ = 4(√

2)ⁿcosnπ 4



cosnπ 2

 . (c) En utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, montrer que

pour tout x ∈ R :

f (x) =

+∞

X

p=0

(−1)^p2^2p (4q)! x^4p. Partie B

(a) En revenant à l’expression analytique de f , montrer que f est solution de l’équation différentielle y⁽⁴⁾+ 4y = 0.

(b) Retrouver le résultat de la question (c) de la partie précédente en résolvant cette équation avec les séries entières.

Exercice 3 : Somme des inverses des carrés 1 - Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[

arcsin(x) =

+∞

X

n=0

 1

2n + 1

 (2n)!

2²ⁿ(n!)²x²ⁿ⁺¹.

Indication : on pourra utiliser le fait que arcsin⁰(x) = 1

√

1 − x² et le résultat 1(d) de l’exercice 2.

(a) Utiliser le développement en série entière de la fonction arcsin pour montrer que Z π/2

0

arcsin(sin(t))dt =

+∞

X

n=0

1 (2n + 1)².

Indication : on admettra que Z π/2

0

sin²ⁿ⁺¹(t)dt = 2²ⁿ(n!)² (2n + 1)!

(b) En déduire que

+∞

X

n=0

1

(2n + 1)² = π²

8 , puis que

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

Exercice 4 : Autour du logarithme

1 - Montrer que la fonction f définie par f (x) = ln(1 + x) pour tout x ∈] − 1, 1[ est développable en série entière sur cet intervalle.

Indication : considérer la série géométriqueX

(−1)ⁿxⁿ et utiliser le théorème d’intégration.

2 - (a) Montrer que pour tout x ∈]0, 1[, ln(1 + x)

x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ n + 1 . (b) Montrer que la série précédente converge uniformément sur [0, 1].

(c) Montrer que

Z 1 0

ln(1 + t) t dt =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² . (d) En déduire que

Z 1 0

ln(1 + t)

t dt = π² 12.