Influence de la projection des fonctions BCS sur les transitions M1 et E2 dans les terres rares

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Influence de la projection des fonctions BCS sur les transitions M1 et E2 dans les terres rares

M. Fellah, T.F. Hammann

To cite this version:

M. Fellah, T.F. Hammann. Influence de la projection des fonctions BCS sur les transi- tions M1 et E2 dans les terres rares. Journal de Physique, 1975, 36 (6), pp.461-470.

�10.1051/jphys:01975003606046100�. �jpa-00208274�

461

INFLUENCE DE LA PROJECTION DES FONCTIONS BCS

SUR LES TRANSITIONS M1 ET E2 DANS LES TERRES RARES

M. FELLAH et T. F. HAMMANN Institut d’Etudes

Nucléaires, Alger, Algérie

(Reçu

^{le 16 décembre}

1974, accepté

^{le 20}

février 1975)

Résumé. ²⁰¹⁴ Les probabilités ^de transitions E2 et M1 dans

plusieurs

^{noyaux de la} région ^{des terres}

rares, ^ont été calculées avec les fonctions BCS habituelles et avec les fonctions BCS

projetées

^{sur les}

états propres de

l’opérateur

^{nombre de} particules. ^{Il a été tenu} compte systématiquement ^{et exacte-}

ment de l’effet de

bloquage.

^Le couplage de Coriolis a été traité par ^une méthode

perturbative.

^Les

effets des vibrations 03B2 ^et 03B3 ^ont été approximativement pris ^en considération. Il s’avère que les ^erreurs dues à la non-conservation stricte du nombre de nucléons, ^{si elles ne sont} pas toujours

négligeables,

sont

cependant

^moins

importantes

^en moyenne que les effets de Coriolis.

Abstract. ²⁰¹⁴ E2 and M1 transition

probabilities

for odd-mass rare earth nuclei, have been cal- culated

using

both the usual BCS wave functions and the strict particle

conserving,

projected ^BCS

functions. The

blocking

effect has been exactly ^and systematically taken into account. The influence of the Coriolis interaction has been studied

using

the first order

perturbation theory.

Allowance has been made for

the 03B2 and 03B3

vibrations. The

unphysical

effects, ^{due to}

particle

fluctuation in the BCS

theory, ^{are not} always

negligible,

^{but are in most cases, less} important than the Coriolis effect.

LE JOURNAL ’DE PHYSIQUE TOME 36, ^JUIN 1975,

Classification

Physics ^Abstracts

4.470 ^- 4.220 ^- 3.350

Introduction. ^- Les méthodes de Hartree-Fock et les formalismes

particule-trou

^tels que

l’approxima-

tion de Tamm-Dancoff ou la RPA ont

permis

^d’ex-

pliquer

^un

grand

^{nombre de}

propriétés

^des noyaux

légers

^{ou des} noyaux lourds

n’ayant qu’un petit

^nombre

de nucléons hors des couches

pleines.

^{Pour les autres}

noyaux

cependant

^{ces méthodes ne sont}

plus appli-

cables. Devant

l’impossibilité

matérielle

d’expliquer

leurs structures et

propriétés

^à

partir

des interactions nucléon-nucléon

réalistes,

deux formalismes essen-

tiellement ont été

utilisés,

^tenant compte

schématique-

ment du caractère

d’appariement

^{des forces}

nucléaires : le formalisme de

Hartree-Fock-Bogo- lyubov (HFB)

^et le formalisme BCS. Dans les deux cas, la non-conservation stricte du nombre de nucléons entraîne un certain nombre d’effets non

physiques

^tels

que l’existence d’une valeur

critique

de la force de

pairing

^en dessous de

laquelle

^n’existe que la solution triviale des

équations

^BCS

[1] ;

^et l’inversion du spectre

d’énergie

dans des calculs de type ^{HFB avec}

projection

sur les états _propres du moment

cinétique [2].

Si la fluctuation du nombre de

particules

^entraîne

des

conséquences

^fâcheuses pour les

énergies [2, 3],

ceci est vrai a

fortiori

pour des

phénomènes qui

^tels

les transitions

électromagnétiques

^ou

bêta, dépendent

d’une

façon

^très sensible des fonctions d’onde. Ce _pro- blème a été très _peu étudié

jusqu’à présent.

Miranda et Preston

[4]

^{ont étudié une} demi-douzaine

de transitions M4 dans les

isotopes

^du

plomb

^{et une}

vingtaine

^de

désintégrations bêta

^{dans les} terres rares, avec les fonctions

génératrices

^de

Bayman [5].

^Utili-

sant les mêmes fonctions

projetées, Monsonégo

^et

Piepenbring [6]

^{ont étudié une douzaine} de transi- tions El entre un état excité et l’état fondamental d’une dizaine de terres rares.

La méthode de

projection

^{utilisée ne semble} pas être la

plus puissante

^et l’interaction de

Coriolis, négligée

dans les deux

articles,

peut modifier l’ensemble des résultats.

A notre

connaissance,

^{le seul} calcul de transi- tions E2

impliquant

^une

projection

^{sur les états}

propres de

l’opérateur

^{nombre de}

particules,

^{est celui}

de la référence

[7].

D’une part le nombre relativement faible

(une

^demi-

douzaine)

de transitions étudiées ne permet pas de conclure quant à l’influence des effets non

physiques

de la

dispersion

du nombre de

particules,

^d’autre

part

ce calcul ne concerne que des _noyaux

légers

^de type 4 n

(2°Ne

^et

28Si)

^{où l’effet de}

pairing

^{est de toute}

façon négligeable.

^{Enfin les}

approximations

^utilisées

pour réaliser la

projection,

^{ne semblent}

plus

^valables

pour les _noyaux de la

région

^{des terres rares}

qui

^nous

intéressent.

Nous nous proposons, dans le

présent ^travail,

d’étudier les effets non

physiques

^{dus à} la fluctuation du nombre de nucléons dans la théorie

BCS,

^{sur les tran-}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01975003606046100

sitions E2 et M1 des _noyaux de la

région

^{des terres}

rares, ^en tenant compte de l’interaction de

Coriolis,

de l’effet de

bloquage

^et des effets vibrationnels du noyau.

Dans la section suivante nous donnons les fonctions d’onde

projetées

pour des _noyaux de masse

impaire

et calculons les facteurs de réduction

correspondants.

La

description

^du

champ nucléaire,

le calcul des

probabilités

de transitions avec les fonctions d’onde

projetées

^et la discussion des résultats obtenus se trouvent en section 2.

1.

Fonctions d’onde projetées. -

Dans la théorie BCS usuelle les _noyaux de masse

impaire

^{sont décrits}

par des kets du

type

où les

amplitudes

^de

probabilité d’occupation

^ou

d’inoccupation Vv

^{et u, de}

l’état 1 v >

par ^une

paire

^de

particules,

^sont déterminées de manière à conserver en

moyenne le nombre de nucléons du _noyau. Evidem- ment, le fait que le ket

(1)

^ne soit pas ket propre de

l’opérateur

^{nombre de}

particules,

se

répercutera

^sous forme d’effets fantômes dans les

probabilités

^de

transitions y

^ou

p.

Selon les conventions

habituelles,

^nous

désignons

par aÿ

^et av les

opérateurs

de création et d’annihilation d’une

particule

^dans

l’état v ).

^Les

états v ) et 1 v )

sont

conjugués

par rapport ^au renversement du sens

du temps. Le vrai vide de

particules

^{est défini} par

. Il a été démontré

[3, 8]

que la suite

d’états,

^corres-

pondant

^{à P}

paires

^de

particules :

où

converge ^vers l’état BCS

projeté [9], 1 PBCS >

^{ou vers}

l’état 1 FBCS > [10, 11]

^selon que les

paramètres

^varia-

tionnels _u,

et v,

^sont déterminés avant ou

après projec-

tion.

Le calcul des

intégrales

^de type Fowler-Darwin

qui

interviennent dans le calcul des éléments de matrice

avec fonctions d’onde

projetées,

^n’est pas ^un

problème

trivial

[1, 9-11]. Moyennant

de laborieux calculs une

solution exacte

peut

être obtenue

[10, 11],

^le

plus

^sou-

vent

cependant,

^{on se contente} d’une solution _appro- chée

[5, 12].

^{Face à ces} difficultés les avantages ^{de la} sommation discrète de

l’éq. (2)

^sont évidentes. Dans la

pratique

^la convergence ^est atteinte _{pour n} voisin de 2 ou 3

[3, 8, 13]. La rapidité

^{de cette} convergence

s’explique

par le fait _que le ket

(2)

^{ne contient} que des composantes

correspondant

^{à P +}

2 1(n

⁺

1) paires (1

^{est un entier}

quelconque) [3, 8, 13].

Pour des raisons d’économie de temps ^{machine nous} effectuons dans tout ce

qui

^{suit la}

projection après

la variation

(appro-

ximation

PBCS)

^mais pour

distinguer

^{notre méthode}

de

projection

par sommation discrète des méthodes habituelles _par

intégration,

^{nous la}

repérons

par l’abréviation SBCS.

Lorsque

^le

système

^{a 2 P + 1}

particules

^toutes

appariées

sauf celle de

l’état 1 Jlo), il

^{a pour}

énergie

Ello = E:Ocs - G L

^{A VII}

U2(,Ào) ^{V2(po) (3)}

v * Il( * 110)

où

E:OcS

^est

^l’énergie

BCS évaluée avec les kets de

l’éq. (1),

^et les fonctions A VilS’ écrivent:

avec

Dans ces

équations,

^Q

représente

^la

dégénérescence

^{totale de}

paires.

463

Les

intégrales

^de recouvrement des fonctions

SBCS, qui

interviennent dans les calculs des éléments de matrice des

opérateurs

^{à un} corps, s’écrivent tout calcul fait :

T est

pair

^ou

impair

^selon que

l’opérateur

^{à un} corps ^est

pair

^ou

impair

par renversement du sens du temps, c’est-à-dire de

type électrique (tiBCS(n»)

^ou

magné- tique (rsBcs(n)).

Les facteurs de réduction

correspondants

^{sont notés}

2. Probabilités de transitions E2 et Ml. - 2.1 LE CHAMP NUCLÉAIRE. ^- Dans le modèle unifié de

Bohr-Mottelson,

l’hamiltonien

décrivant un noyau déformé à

symétrie

^axiale

comprend

^{un terme collectif}

Hcoll

décrivant les mou-

vements collectifs de rotation et de vibration du coeur, ^un terme

intrinsèque H;nt

décrivant le

champ

nucléaire déformé _moyen, et un terme H’ décrivant les interactions entre les trois modes de mouvements :

intrinsèque,rotationnel

^et vibrationnel

[14-16].

Nous admettrons _que le

champ

moyen ^est décrit _par l’Hamiltonien de Nilsson

[13-16].

Les distances radiales sont

exprimées

^en

[n/mwgX]1/2

et n

indique

^{la nature de la}

particule,

^neutron

(n)

^ou proton

(p).

^Les

énergies

^des orbitales d’une même couche N ont été renormalisées _par la

quantité x’ p’ hml’ ( 12 )N

⁼

2 L X" jun hcoo’ 0 N(N

⁺

3)

pour tenir compte ^{de la} conservation de la distance des centres de

gravité

des couches successives. _{Les para-} mètres

x’

^et

J1x dépendent

linéairement de la masse

atomique

^des noyaux, ^et les

énergies Fi wgx

^{et la cons-}

tante

d’appariement

^G

dépendent

^de

l’iso-spin

^selon

les

prescriptions

des références

[13]

^et

[17].

En

désignant par 1 vK >

^{les kets} propres de

H;nt

^et

par

Eÿ K

^les

énergies

propres

correspondantes,

^{les kets}

propres normalisés de

Hint

⁺

H,,.,,

peuvent ^{s’écrire :}

où Il K -

^Q

^1,

ⁿ²

^non

^{est le ket état} décrivant les

vibrations fi

^et y.

La

symétrie

axiale entraîne

que K

^{= Q. Nous} sup- poserons aussi que le _noyau se trouve dans l’état vibra- tionnel

fondamental,

^soit que n2 ⁼ no ⁼ 0.

Les valeurs _propres

correspondant

^{aux kets de}

l’éq. (8),

^notés

dorénavant l, KM ; vu

^sont

où a est le

paramètre

^de

découplage dépendant

^{du ket}

intrinsèque j 1 vK >

^et

Ep

^et

EY

^{sont les}

^énergies

^des

vibrations

^et y.

L’interaction H’ n’étant _pas

diagonale

dans la base des états

(8),

^nous écrivons le ket état décrivant le noyau ^{comme une} combinaison linéaire de ^ces

états, soit,

ce

qui

^a pour

conséquence que K

^n’est

plus

^{un bon}

nombre

quantique.

^Nous admettrons

cependant que K

reste

approximativement

^{une constante du mouve-}

ment et traiterons H’ comme un terme

perturbatif;

cette

approximation

^est certainement valable tant que le moment

cinétique

n’est pas trop

grand.

^Les

états

propres 1 IK>

de l’hamiltonien

(6)

^{sont alors}

avec

Il est manifeste _que les

coefficients Kv 1 IK >

dépendent

du choix de l’hamiltonien

Hin,

^{donc des}

valeurs _propres

EvK

^{et kets}

propres 1 vK >.

^Plus

précisément

^en

désignant

par

les éléments de matrice de H’ calculés ^avec les kets

(8)

où

les vK )

^{sont les} kets propres de

Nilsson,

^nous

avons

[16],

où

Dans cette

équation r(v, ^K’, K)

^est

l’intégrale

^de

recouvrement des fonctions d’onde

intrinsèques

^décri-

vant les états initial et

final ;

^{elle vaut 1}

si 1 vK >

^{est un}

état de

Nilsson, r â si 1 vK >

^{est un état BCS et}

rsbcs

^si

vK >

^{est la} composante de ^BCS

correspondant

^{à un}

nombre déterminé de

particules. (L’exposant

^{M de}

l’intégrale

^de recouvrement

indique

^que

HRpc

^est

impair

par rapport ^au renversement du sens du

temps.)

2.2 PROBABILITÉS DE TRANSITIONS E2. ^- Si

E,

^est

l’énergie

^de

transition,

^la

probabilité

^{de transi-}

tion

quadrupolaire P(E2)

^{est :}

Après

^avoir

exprimé l’opéxateur

^de transition

quadru- polaire

^{dans le}

système intrinsèque

^{lié au} noyau ^et

séparé

^les

parties intrinsèque

^et

collective,

^la

probabi-

lité de transition réduite

devient,

^en fonction des kets des

éq. (11) :

^:

où

Dans

l’éq. (14),

^{Z est} le nombre de protons ^du coeur,

Ro

⁼

1,2

^{x A 1/3 fm et}

Po

^{est lié aux} déformations ô et il ^de Nilsson _par

Dans

l’éq. (15) E(2, p)

^est

l’opérateur

de transition

quadrupolaire intrinsèque ;

^{ses éléments de matrice sont donnés}

par :

L’élément de

matrice

^v’

K’ 1 E(2, p) 1 vK > dépend

du choix des fonctions d’onde

intrinsèques

^{des états}

initial et final. Si on

désigne par

^v’

K’ 1 E(2, Jl) vK >N

^cet élément de matrice calculé avec les fonctions d’onde de

Nilsson,

alors les éléments de matrice calculés avec les fonctions d’onde BCS et SBCS sont donnés

respective-

ment par

l’intégrale

^de recouvrement

correspondant

^{à des}

opérateurs

^{à un} corps invariant _par renversement du sens du temps

(transitions

^de type

électrique).

465

2. 3 PROBABILITÉS DE TRANSITIONS M 1. - La pro- babilité de transition

dipolaire magnétique

n’a pas de composante collective. La

probabilité

^de

transition réduite

intrinsèque B(M 1)

^{est donnée} par

une relation semblable à

l’éq. (15) (prise

^au

carré).

Les éléments de matrice de

l’opérateur U(1, J1) exprimé

^{dans le} référentiel lié au noyau ^sont donnés par ^une

équation

similaire à

l’éq. (16).

^{Les différents} types d’éléments de matrice

intrinsèque considérés,

sont liés _{par les} relations :

les

amplitudes

de réduction étant maintenant de type

magnétique.

Lorsque

^la transition s’effectue entre états d’une même bande

rotationnelle,

^la

probabilité

de transition

se

simplifie

^{en :}

où gK

^et 9R ^sont les rapports

gyromagnétiques

^orbital

et collectif

respectivement [15] :

Pour le nucléon célibataire nous avons

adopté

gK ⁼

0,

gs ^{= -}

3,83

^{s’il est un} neutron et gK ⁼

5,59,

gs ⁼

1,0

s’il est un proton.

2.4 RÉSULTATS

NUMÉRIQUES.

DISCUSSION. ^- 2.4.1

Convergence.

^{- La}

rapide

convergence des suites de fonctions SBCS est bien

comprise théoriquement [3].

Le tableau 1 illustre le

comportement,. des

^recouvre-

ments des fonctions d’onde

projetées

^dans

l’espace

« nombre

d’occupation

^», pour ⁿ variant de 0 à 7.

Les deux

symétries possibles

par renversement du sens

du temps ^{ont été}

envisagées

pour des transitions de type ^{neutron ou de} type proton. ^On remarquera

l’importance

^{de la}

projection,

^{et la}

rapidité

^{de la}

convergence des suites

r(n)EfM

^en fonction de n. Les

figures

^{1 et 2 montrent} l’évolution des

amplitudes

^de

réduction en fonction du

paramètre

de déformation et du

paramètre

de la force de

pairing

pour ^une transi- tion proton ^dans

l’europium

^{et une} transition neutron dans le

dysprosium respectivement.

^Les différences considérables

qui

^{existent sauf} pour certaines déforma- tions

isolées,

^entre rbcs ^et RSBCS ^montrent à l’évidence la nécessité de l’élimination des composantes ^non

phy- siques

dans les fonctions d’onde BCS. Ces différences sont

particulièrement importantes

pour les

intégrales

de recouvrement de type

magnétique, ^où,

^contraire-

ment à

rMBcs,

le facteur

projeté rsmbcs

peut

s’éloigner

notablement de l’unité.

2.4.2 Transitions E2. ^- Nous avons calculé les

probabilités

^de transitions de

plusieurs

transitions

quadrupolaires électriques

^{dans des} noyaux de masse

impaire

^{de la}

région

^{des terres rares. Le tableau II}

indique

^{les états entre}

lesquels

la transition a

lieu,

dans la notation

asymptotique

^usuelle

IK1t(Nnz A),

la valeur du

paramètre

de déformation b utilisée et

l’énergie

de la transition

(en keV).

^{En ne} considérant que la

partie intrinsèque

^de

l’opérateur quadrupolaire

E

2,

^{toutes les demi-vies}

théoriques calculées

^{avec les}

TABLEAU 1

Evolution des

intégrales

^de recouvrement de types

électrique

^et

magnétique

en

fonction

^du

degré

ⁿ d’extraction des composantes ^non

physiques

^des

fonctions

^BCS

e

§

! w

0

’N .

°°ù §fi

-,

m ._

o

v

n4à

U #

,v w v

s

GQ S B

t o

cs X )

!i:!

m Q

o

jj

w

%fl £

?va

z #

. x

,c ,ô

# , J3

N

cÀ

M

j

J

467

fonctions d’onde de Nilsson _pures

(TN),

^{les fonctions}

BCS

(TBcs) et

les fonctions

projetées (TSBCS),

^{sont fort}

éloignées

des valeurs

expérimentales Texp,

^ce

^qui souligne

^{le rôle}

important joué

par la

partie

collective.

Lorsque

l’interaction de Coriolis est

prise

^{en considé-}

ration

(colonne

suivante du tableau

II),

^{les trois}

modèles donnent des demi-durées de vie

théoriques comparables

^et

proches

des valeurs

expérimentales.

Lorsqu’on

^tient compte ^en

plus

des effets de vibra-

tions p

^et y, les résultats sont peu

changés

^d’une

manière

générale.

L’amélioration de nos résultats _par rapport ^{à ceux} de la référence

[ 16]

^{est due}

partiellement

à la nouvelle

paramétrisation

^{et à la}

dépendance

^de

l’isospin

du modèle de

Nilsson,

^et

plus

fondamentale- ment à la conservation du nombre de

particules, imposée

^{à nos} fonctions d’onde

intrinsèques.

^Si

Faessler

[16]

^a pu

négliger

l’influence du facteur de recouvrement

M

^{sur les} éléments de matrice de l’interaction de

Coriolis,

^{du fait}

qu’il

^est

toujours

^voisin

de

l’unité,

^{il n’en est}

plus

de même dans le formalisme SBCS où les facteurs

Qàcs

^sont loin d’avoir ^un éffet

négligeable (cf. Fig.

^{1 et}

2).

Sur les transitions

E2,

DK ⁼

0,

s’effectuant entre états d’une même bande

rotationnelle,

^les effets du

pairing,

de l’interaction de Coriolis et les effets vibrationnels sont évidemment nuls.

Pour les transitions

E2,

^{AK =}

2,

l’interaction de Coriolis ^et les ef’ets des

vibrations j8

^et y sont

négli- geables,

leur contribution étant du second ordre seulement. Un calcul exact nous conduit à des résultats voisins de ceux de Lôbner et

Malmskog [18],

pour les quatre transitions

E2,

^{AK = 2 des} noyaux

FIG. 1. ^- Comparaison ^{entre les} variations en fonction de la

déformation 1 ^{et du} paramètre de la force d’appariement, ^des

facteurs de réduction de types électrique ^et magnétique ^d’une transitions 1 AK = ^{1 dans} l’europium.

FIG. 2. ^- Variations en fonction du paramètre ^de déformation 1

et du paramètre de la force d’appariement, des facteurs de réduc- tion, ^de types électrique ^et magnétique pour ^une transitions 1 AK =1 ¹

dans le dysprosium.

169,171,173Yb

et

175Hf.

^Dans l’ensemble le tableau II montre que les

composantes

collectives sont

plus importantes

que les divers types ^de corrélations

d’appariements.

2.4.3 Transitions M 1. - Les

probabilités

^{de tran-}

sitions

magnétiques dipolaires

d’une douzaine de noyaux de la

région

^des terres rares, calculées avec

et sans

couplage

^de

Coriolis,

^ont été rassemblées dans le tableau III. Il semble _que le bon accord

général

avec

l’expérience

^{soit dû}

d’avantage

^{au modèle de}

Nilsson utilisé

qu’aux

corrélations

d’appariement

^ou

même au

couplage

de Coriolis. Il ^est manifeste _cepen- dant _que les effets

spurious

dus à la non-conservation stricte du nombre de

nucléons,

existent dans les transi- tions étudiées

[ 19],

^{et il nous semble} que dans un calcul

précis

il faille en tenir compte. ^La méthode de

projec-

tion discrète _que nous avons

proposée

^{nous semble}

convenir

parfaitement.

Les tableaux IV et V montrent les résultats d’une étude

comparative

des transitions E2 et MI entre les mêmes niveaux des deux

noyaux 18’Os ^{et 189OS}

^{de la}

fin de la

région

^{des terres} rares ; ^ces noyaux ^ont été étudiés

expérimentalement

par

Malmskog

^{et collabo-}

rateurs

[20].

^On remarquera ^{sur ces} tableaux les

importances respectives

des effets collectifs et

d’appa-

riement. Si dans certaines transitions telles _{que par}

exemple 7/2 7/2 - (503) ->. 2 i - (512) (cf.

^Tableau

IV),

la

projection

^{sur les} états propres de

l’opérateur

nombre de

particules apparaît

essentielle et

indispen-

n

S

i-

3

v o àÎ

.N

ài=

.

8 .9

V

H e

;:> -.;

§

C .!!

n

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... r/.)

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È

V

-s

iNr

;::

469

n

u

w

r4à

rlà

N

W

,

M

sable,

^dans l’ensemble

cependant

^on peut ^dire que les

erreurs dues à la fluctuation du nombre de nucléons dans la théorie BCS usuelle sont faibles en ce

qui

concerne les transitions E2 ou M 1.

Conclusion. ^- Nous avons étudié

l’importance

^des

effets non

physiques

^{dus à la} fluctuation du nombre de nucléons dans la théorie

BCS,

^{sur les}

probabilités

de transitions E2 et Ml dans la

région

^{des terres rares.}

La méthode d’extraction des composantes ^non

phy- siques

de la fonction d’onde

BCS,

^s’avère

simple, puissante

^et

particulièrement propice

^{à la} programma-

tion. Il a été tenu compte ^{des effets des}

vibrations fi

^{et y}

quand

^{elles sont}

présentes

^{et l’effet de}

bloquage

^{a été}

systématiquement

et exactement

pris

^en compte.

Les facteurs de réduction BCS dif’èrent en

général

sensiblement des mêmes facteurs calculés avec les fonctions d’onde

projetées. Si,

^à

quelques exceptions près,

les demi-durées de vie calculées avec les fonc- tions SBCS ne diffèrent _pas d’une

façon appréciable

de celles obtenues _par la théorie

BCS,

^{un calcul}

précis

des transitions E2 et Ml devra

cependant

^tenir compte ^{des erreurs induites} par la non-conservation stricte du nombre de nucléons dans la théorie BCS.

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