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Crystals - symétries des cristaux dans la composition
Alexander Mihalic
To cite this version:
Crystals
(symétries des cristaux dans la composition)
Alexander Mihalic, 3, rue A. Wersand, 93440 Dugny, mihalic@ircam.fr
Résumé: Dans le présent papier, je vais parler d'une des possibilités de l'application des éléments extra
musicaux dans la composition musicale. Il s'agit d'une application des groupes ponctuels à trois dimensions des symétries des cristaux pour ma pièce "Crystals" pour quatuor à cordes.
1. Introduction
La symétrie et ses diverses opérations ont toujours joué un grand rôle dans la composition musicale comme dans d'autres arts (sculpture, peinture, architecture). Mais si dans les arts visuels les opérations de symétrie ne posent pas de problème particulier, il est plus difficile d'appliquer les diverses symétries dans la composition musicale. La première difficulté est l'absence de l'espace physique visuel et la deuxième est le déroulement dans le temps d'une pièce musicale.
Schématiquement, je vais distinguer deux niveaux d'application des symétries dans une composition musicale: global et local. Le niveau global détermine la forme de la pièce et le niveau local détermine les rapports entre les paramètres musicaux (comme par exemple les hauteurs et les durées des lignes mélodiques).
La symétrie au niveau globale se limite le plus souvent à un simple miroir comme par exemple dans la forme ABA', où A' est une reprise ou une répétition du mouvement A, par rapport au miroir posé à la place de la lettre B.
Au niveau local, l'utilisation des symétries est établie dans tous les manuels de polyphonie comme étant miroir, rétrograde et miroir rétrograde. Toutes ces symétries sont utilisées dans le cadre de la musique polyphonique et le dernier système "universel" en était le système sériel. Leur utilisation est presque toujours ramenée au système des hauteurs et des durées. La raison en est surtout la visualisation de ces symétries dans la notation musicale et la facilité de leur "calcul" par le contrôle visuel immédiat.
Dans le présent article, je vais montrer l'une des possibilités de l'application des symétries des cristaux sur les paramètres musicaux. On verra plus loin que dans ces symétries des cristaux, on peut trouver des groupes de symétries, lesquels contiennent les symétries de miroir ou de rétrograde. Je donne comme exemple de l'exploitation de ces symétries la pièce "Crystals" pour le quatuor à cordes. La composition "Crystals" est une des pièces du projet "Encyclopaedia Musicalis"1 , dans lequel chacune des pièces utilise comme matériau pour sa construction les données tirées du domaine extra musical.
Pour les besoins de la composition de la pièce, il était nécessaire de créer une librairie pour le logiciel PatchWork, avec laquelle j'ai effectué les calcules nécessaires sur les divers paramètres musicaux. Cette librairie est accessible gratuitement et certains des algorithmes de la librairie ont servi aussi aux autres compositeurs dans leurs travaux; citons par exemple la pièce "Freibrief für einen Traum" du compositeur allemand Hans Tutschku.
2. Symétries dans les cristaux
La science qui s'occupe d'étudier les cristaux s'appelle la cristallographie. C'est une science auxiliaire à la minéralogie et se propose l'analyse de la constitution des corps à l'état cristallin.
La matière cristallisée présente dans sa structure et dans toutes ses propriétés des caractères de symétrie. Pour cette raison, il y a une importance capitale de l'étude de la symétrie pour la cristallographie2.
2.1. Que sont les symétries des cristaux?
La symétrie d'un objet géométrique A est une opération qui appliquée à cet objet, la transforme en figure A'. Cet objet A' est "équivalent" à l'objet A et on dit que l'opération de symétrie "restitue" la figure. On peut diviser l'objet possédant une symétrie en plusieurs parties égales, lesquelles sont "équivalentes" par un "mouvement" particulier - que l'on appelle l'opération de symétrie.
D'après la figure sur laquelle est appliquée la symétrie, on divise les symétries en: symétries des figures
finies et symétries des figures périodiques infinies. Les symétries finies laissent au moins un point de
l'objet inchangé. Les symétries infinies changent la position de tous les points de l'objet. Ici, nous allons nous intéresser uniquement aux structures des symétries des figures finies.
En ce qui concerne les cristaux, on ne peut appliquer que les trois opérations de symétries suivantes:
inversion, rotation et réflexion. À chacune de ces opérations de symétrie correspond un élément de symétrie, lequel est défini comme un élément géométrique: point, droite et plan. Ces éléments de symétrie
caractérisent la symétrie extérieure des cristaux et on les appelle les éléments macroscopiques de symétrie.
2.2. Éléments macroscopiques de symétrie
Voici la brève description des trois éléments macroscopiques de symétrie. Pour chaque élément, il y a une description de la symétrie et ensuite sont donnés les opérateurs de symétrie en coordonnées cartésiennes et polaires.
2.2.1. Centre de symétrie (inversion)
Une figure possède la symétrie par rapport à un point, appelé centre d'inversion, si à tout point
xyz
correspond un point symétrique
xyz
. Le symbole est c ou1
. Au contraire des autres éléments de symétrie, il ne peut exister qu'un seul centre d'inversion dans un objet.2.2.2. Axes de symétrie (rotation)
Ce sont des rotations d'un angle de 2π/X autour de l'axe de symétrie. X est toujours le nombre entier. Le
nombre 1 désigne la rotation de 360°, ce qui représente l'identité de la figure. Le nombre 2 correspond à
180° etc. Les seules rotations des cristaux sont: 1, 2, 3, 4 et 6.
rotation Opérateurs:
Coordonnées cartésiennes (axe dirigé suivant Z): axe 2:
2
× (xyz) → xyz
axe 4:
4
× xyz
(
)
→ yxz
(
)
,4
2× xyz
(
)
→ xyz
(
)
axes 3 et 6:
3
× xyz
(
)
→ y − x, x, z
(
)
,3
2× xyz
(
)
→ y, x − y, z
(
)
Coordonnées polaires:
X
× rθϕ
(
)
→ r,θ,ϕ + 2π / x
(
)
2.2.3. Plan de symétrie (réflexion)
La moitié d'une figure est une image de l'autre dans un miroir ou plan de symétrie. Ce plan divise le cristal en deux parties comme le fait le miroir pour un objet et sa réflexion. Le symbole de l'élément de symétrie est m.
Opérateurs:
Coordonnées cartésiennes (m confondu avec le plan Z=0):
m
× xyz
(
)
→ xyz
(
)
Coordonnées polaires (m dans le plan de l'équateur):
m
× rθϕ
(
)
→ r,
(
π − θ,ϕ
)
2.3. Groupes des symétries
Une figure peut posséder plusieurs éléments de symétrie et dans ce cas les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique du terme. En plus, les éléments de symétrie de la figure doivent se couper au moins en un point et on appelle alors groupe ponctuel l'ensemble des opérations de symétrie. D'après le nombre de dimensions, il existe les groupes à une, deux et trois dimensions.
Si sur un objet géométrique isolé on peut réaliser n'importe quel groupe ponctuel, en cristallographie il n'existe que 32 groupes ponctuels à trois dimensions lesquels ont été décrits par le mathématicien Bravais. Ces groupes sont ensuite répartis en 7 ensembles: les systèmes cristallins. La librairie "Crystals-Symetries" travaille avec les 32 groupes de symétrie. Voici la liste des 7 ensembles contenant les 32 groupes3:
N° système groupe N° système groupe
1 Triclinique C1 16 Trigonal C3 2 Ci 17 C3i 3 Monnoclinique C2 18 C3v 4 Cs 19 D3 5 C2h 20 D3d 6 Orthorombique D2 21 Hexagonal C6 7 C2v 22 C3h 8 D2h 23 C6h 9 Quadratique C4 24 C6v 10 S4 25 D6 11 C4h 26 D3h 12 C4v 27 D6h 13 D4 28 Cubique T 14 D2d 29 Th 15 D4h 30 O 31 Td 32 Oh F i g . 1
3. Application des symétries sur les paramètres musicaux
La plus simple application des symétries est celle qui est utilisée dans la polyphonie. Il s'agit de la symétrie dans les deux dimensions. La première dimension est l'entrée de la note dans le temps et la deuxième est la hauteur de la note. Dans le système sériel, il y a aussi l'ajout de la dynamique ainsi que de timbre. Mais les seules symétries utilisées sont: miroir, rétrograde et leurs combinaisons.
Les symétries des cristaux élargissent considérablement le champ des possibilités, mais le problème qui se pose est le choix des paramètres sur lesquels les symétries vont être appliquées. Une autre difficulté est l'espace tridimensionnel des symétries des cristaux et donc la recherche des paramètres pour le troisième axe de la symétrie.
3 Les symboles utilisés pour désigner les groupes ponctuels sont les symboles de Schoenflies. Pour
Dans la pièce "Crystals," j'ai appliqué toutes les symétries des cristaux à l'exception des symétries de système cubique. Les symétries sont appliquées sur les paramètres musicaux suivants: hauteur, entrée de la note, durée, dynamique, mode de jeu et l'apparition du son dans l'espace. Les symétries sont appliquées au niveau global et local de la pièce. Pour créer l'illusion de l'espace, les instruments sont disposés autour du public d'après le schéma suivant:
Vle. 1 Vla. Vle. 2 Vlc. public avant arrière F i g . 2
4. Librairie "Crystals-Symetries" pour PatchWork
Afin de faciliter le calcul, la visualisation et l'application des symétries sur les paramètres musicaux, j'ai écrit la librairie "Crystals-Symetries"4 pour le logiciel PatchWork. La librairie calcule tous les groupes de symétrie des cristaux ainsi que d'autres symétries définies par l'utilisateur lui-même. L'utilisation de la librairie ne se limite donc pas aux 32 groupes de symétries des cristaux, mais peut servir pour la création de n'importe quelle autre symétrie.
L'utilisateur définit quels sont les paramètres musicaux attribués aux trois axes de l'espace et choisit un groupe de symétrie pour calculer les points résultants. Il faut donc faire une conversion des paramètres musicaux vers les points qui vont servir pour le calcul de la symétrie et une conversion des points qui sont le résultat de la symétrie vers les paramètres musicaux.
Les symétries qui peuvent être appliquées le plus intuitivement sont celles où le troisième axe n'effectue pas de changements (voir par exemple la rotation). Dans ce cas, on peut directement traduire les points en dates et hauteurs des notes (les axes x et y) et ne pas prendre en compte le troisième axe. Les symétries qui conviennent sont les symétries suivantes: C1, C2, Cs, C2v, C3, C3v, C4, C4v, C6, C6v. Le groupe C2v nous donne les quatre symétries utilisées dans la polyphonie.
On peut citer comme exemple de l'utilisation de la librairie, l'application de groupe C3 du système trigonal sur la série de douze tons de "Concerto pour violon" Op.36 de Shönberg5. Le point de la rotation est la note Si2 et l'angle de rotation est de 120°. On obtient alors trois séries: originale, rotation de 120°
et la rotation de 240°.
4 La librairie va être accessible à la même adresse que le projet Encyclopaedia Musicalis.
Shönberg: Violin Concerto Op.36 C3 3 dates hauteurs F i g . 3
Le problème qui se pose ici est l'approximation des résultats pour les hauteurs et les dates. Pour les hauteurs, on peut choisir directement dans PatchWork le niveau de l'approximation qui peut être un demi-ton, un quart de ton ou un huitième de ton. L'approximation choisie pour l'exemple est d'un demi-ton. Les dates des apparitions des notes doivent être quantisés soit directement dans PatchWork, soit dans un séquenceur. Une autre solution consiste à choisir une écriture graphique.
5. Structure et forme de la pièce "Crystals"
On peut observer le schéma simplifié de la pièce sur la figure 4. Chacune des quatre voix, jouées par une des quatre instruments, est marquée par une couleur différente. Pour des raisons de clarté, le schéma ne comporte que deux axes: temps et hauteur. Le temps est sur l'axe horizontal et la hauteur sur l'axe vertical. La dynamique, qui forme le troisième axe, n'est pas visualisée.
Le schéma montre clairement la symétrie autour le point central qui est le centre d'inversion pour les durées, les hauteurs et les dynamiques. Il est donc possible d'appliquer d'autres éléments de symétries, comme par exemple la rotation ou la réflexion.
F i g . 4
5.1. Niveau global
Au niveau global, il est possible d'appliquer une des quatre groupes de symétries: C1, Ci, C2 et Cs. Ce sont les quatre seuls groupes de symétrie où les notes ne se superposent pas sur le plan des axes de temps et de hauteurs. La forme de la pièce peut donc changer en fonction de la symétrie appliquée. La symétrie utilisée pour l'écriture de la pièce est le groupe Ci.
Le centre d'inversion pour les hauteurs est la note Si2. Pour cette raison, si on réécrit la première moitié de la partition en clé de Do, on peut juste retourner cette partition pour obtenir la deuxième moitié de la pièce dans sa version actuelle à condition que les dièses deviennent les bémols et vice versa. La figure 5 illustre ce renversement.
Fig. 5
Il reste donc encore trois possibilités de symétrie: C1, C2 et Cs. Dans le cas de la symétrie C1, il ne reste que la moitié du schéma de la figure 4, parce qu'il s'agit d'une simple identité. La symétrie Cs est le miroir de la pièce par rapport à l'axe y, où il faut réécrire (ou simplement rejouer) la pièce de la fin jusqu'à son début. Le groupe C2 est une rotation autour de l'axe z.
5.2. Niveau local
Le niveau local est composé des phrases musicales indépendantes. Chacune de ces phrases contient les groupes de symétries d'un système cristallin. Les phrases sont caractérisées par des applications différentes des symétries sur les paramètres musicaux.
Les exemples suivants montrent l'application des symétries sur les hauteurs et sur la position du son dans l'espace, laquelle est conditionnée par la dynamique. Dans les deux exemples il s'agit de l'utilisation du même groupe de symétrie - D3d.
5.2.1. Application des symétries sur les hauteurs
La figure 6 montre le patch pour le calcul des hauteurs du groupe D3d. Ici, la symétrie est calculée par rapport au motif de quatre notes au milieu du patch (axe y), ainsi que par rapport aux durées (axe z) et les dates d'entrées des notes (axe x).
En haut a droite de la figure on peut voir le patch pour l'entrée des paramètres nécessaire pour le calcul:
notes (ici quatre notes - hauteurs), center notes (la note autour de laquelle on fait la rotation), durées (les
durées pour chacune des notes), dates (le temps de départ pour les notes). Ces données déterminent la figure de départ, laquelle va être ensuite traitée par la symétrie choisie.
Fig. 6
Le choix de la symétrie se fait dans la boîte all-symetries, du patch en haut à gauche de la figure. Les résultats obtenus sont affichés ici sous deux formes: graphique et notation. Les durées calculées ne sont pas visibles sur la figure.
De cette façon, on obtient la symétrie où l'axe horizontal représente l'entrée de la note dans le temps, l'axe vertical la hauteur de la note et le troisième axe représente la durée de chaque note. La figure finale dépend bien sûr du choix de nombre des notes (points) de départ et de leur position par rapport aux trois axes.
5.2.2. Application des symétries dans l'espace
Pour simuler la symétrie dans l'espace, les instruments sont disposés autour du public (Fig. 2). La symétrie calculée prend comme son axe horizontal le temps et les deux autres axes sont représentés par l'espace que l'occupent les instruments.
Pour chaque point calculé d'une symétrie donnée, on peut simuler l'apparition de ce point par le jeu de la dynamique entre les instruments. Ceci est une analogie simplifiée de la spatialisation par le volume entre les haut-parleurs. Ici, on calcule la symétrie pour un point (ceci est la figure la plus simple, mais on peut bien évidement prendre une figure plus complexe), et ensuite il s'agit de redistribuer les volumes, c'est-à-dire les dynamiques pour chacun des instruments.
Dans cette partie de la pièce, les instruments jouent pizzicato sur une corde vide en même temps qu'une ligne mélodique sur une autre corde. Ce mode de jeu est valable pour toute la partie de la pièce où les instruments jouent les symétries de système trigonal.
Sur la figure 7, on peut voir les points formant le groupe de symétrie D3d. Les points sont inscrits dans l'espace des instruments et évoluent dans le temps de gauche à droite. En fonction de la distance qui sépare le point de chaque instrument, on peut voir la dynamique qui est attribuée à chacun des instruments. L'axe du temps est agrandi deux fois par rapport aux plans des instruments afin d'obtenir une meilleure visibilité de schéma.
6. Conclusions
La notion de symétrie est simple et pourtant, les compositeurs n'ont souvent utilisé que le miroir comme élément de symétrie! Les musicologues et théoriciens en revanche s'occupent assez sérieusement de la question de symétrie, ce qui est lié à l'analyse de la musique sérielle. On peut citer ici l'article "Tone Space" de O'Connell [O'Connell 1965] où il montre plusieurs exemples de l'application des symétries sur le matériau musical.
Par contre, il est évident que le calcul fastidieux des symétries rend la tâche assez difficile et le seul moyen de l'exploiter est d'utiliser des programmes appropriés (PatchWork dans le cas présent).
J'ai essayé de montrer dans cet article quelques possibilités de l'exploitation des connaissances du domaine extra musical dans la composition musicale. Même pour un aspect aussi banal que la symétrie, laquelle est utilisée dans la musique depuis longtemps, il est possible de trouver de nouvelles voies en regardant et en s'inspirant d'autres sciences.
Même si l'approche donnée ici est très personnalisée, et il ne s'agit que de quelques exemples, on peut voir les possibilités que nous suggère une telle démarche. L'élargissement de l'application des symétries sur d'autres paramètres que les hauteurs ou les durées et surtout l'exploitation des groupes de symétries autres qu'un simple miroir augmentent considérablement les possibilités et stimulent l'invention du compositeur.
Il ne s'agit pas ici de défendre une position de l'exploitation des groupes de symétries des cristaux en soi, mais de montrer plutôt l'intérêt de la transmission et de l'utilisation des connaissances des sciences en général dans la composition musicale. Comme dans le domaine de la cristallographie il est possible de chercher les impulsions et les idées dans d'autres sciences pour y trouver et dégager de l'inspiration pour le travail de compositeur.
Références
[O'Connell 1965] O'Connell, Walter, “Tone Space”, in Die Reihe n° 8, 1965, pp. 35-67
[Kraus 1993] Kraus, Ivo, Struktura a vlastnosti krystalu, Academia, Praha, 1993, 276 p.
[Meerssche 1984] Meerssche, Maurice Van, Feneau-Dupont, Janin, Introduction à la cristallographie et à la chimie structural, Peeters, Leuveu, 1984, 850 p.
