Sur les réactions (dp) et (dn)

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Sur les réactions (dp) et (dn)

J. Horowitz, A.M.L. Messiah

To cite this version:

695.

SUR LES

_{RÉACTIONS (dp)}

ET

_(dn)

Par J. HOROWITZ et A. M. L.

_MESSIAH,

Centre d’Études nucléaires de _Saclay. Service de _Physique mathématique.

Sommaire. - En étudiant les réactions

(dp) et _(dn), ou _plutôt les réactions _{équivalentes (pd)} et _(nd),

nous examinons les conditions de validité de _{l’approximation} de Butler. Son équivalence avec

l’approxi-mation de Born a _déjà été notée dans la littérature; la théorie de Butler ne _{tient donc pas compte} de

la réaction des diverses ondes sortantes. La plus importante est celle de l’onde élastique diffusée du nucléon incident. _Après un _{exposé général} de la _question, nous établissons des formules _qui permettent

d’en tenir _compte. Nous calculons _{numériquement} les formes l= o et l = 1 dans _{quelques exemples} précis, en _{supposant que l’onde élastique} diffusée est purement « _potentielle ». Dans la _plupart des cas,

les distributions _angulaires sont sensiblement les mêmes que dans la théorie de Butler, mais on trouve

pour les maximums des sections efficaces différentielles des valeurs de deux à _cinq fois _plus faibles.

On _peut simuler _{grossièrement} l’effet de réaction considéré ici en _augmentant d’environ 25 pour 100 le

rayon nucléaire r0 figurant dans la formule de Butler.

JOURNAL PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_14,

DÉCEMBRE

1953,

695.

Introduction. -

L’interprétation

des distribu-tions

_angulaires

des réactions

_(dp)

et

_(dn)

à basse

énergie

au _{moyen de} la théorie du «

stripping »

de

Butler

_[1]

constitue une méthode

_puissante

d’inves-tigation

des états des noyaux

légers. D’après

Butler,

une fois données

_l’énergie

incidente

Ed

et la chaleur de réaction

_Q,

la

distribution

_angulaire

du nucléon

émergent

dépend

de

_{façon caractéristique}

du

moment

orbital 1 du nucléon

_capturé.

En

fait,

le nombre des valeurs de 1

_possibles

est

considérablement

limité par les

règles

de sélection de moment

_angulaire

et de

_parité

_(une

seule valeur si le

_spin

_{du noyau} initial ou celui du _noyau final est

_{nul); lorsque}

plusieurs

valeurs de 1 sont

_possibles,

leurs contri-butions sont

_purement

additives et la distribution

angulaire

totale est une

_{superposition}

des distri-butions

_angulaires

_{caractéristiques}

de

_chaque

valeur de 1. Toutes ces

distributions

_angulaires

ont un

pic

très

_prononcé

vers

_l’avant;

ce

_pic

se trouve à 0° pour 1 = o et se

_déplace

_{progressivement}

vers de

plus grands

angles lorsque 1

augmente.

Les formes des courbes et notamment les

_positions

des

_pics

sont suffisamment

distinctes,

dans la

_plupart

des

cas, pour

qu’il

soit

possible,

en les confrontant avec les distributions

_{angulaires expérimentales,}

de déter-miner sans

_ambiguïté

les valeurs de 1

_qui

ont

con-tribué à la réaction et d’en déduire le

_parité

relative des noyaux en

_jeu

et éventuellement leur

_spin.

La méthode

de

Butler consiste en une résolution

approchée

de

_{l’équation}

de

_{Schrôdinger.}

Bhatia

et al.

_[2],

d’une

_part,

Daitch et French

_[3],

de

l’autre,

arrivent au même résultat par

_application

de

l’ap-proximation

de

Born;

ces derniers conduisent leur calcul de

_façon

à mettre en évidence

_{l’équivalence}

des deux méthodes.

_L’objet

du

_présent

travail est

de

_présenter

une solution

_plus

_rigoureuse

du

_problème

et de montrer

_pourquoi

_{l’approximation}

de Born

permet

d’obtenir la distribution

_angulaire

sans

_grande

erreur.

Conformément à tous les traitements antérieurs

_{[ 1 ],}

[2],

[3],

nous

négligerons

tout effet coulombien. Les traitements des réactions

_(dp)

et

_(dn)

sont donc

équivalents.

Pour fixer les idées nous considérons

les réactions

_(dp).

Au

_paragraphe

I,

nous établissons une formule

_rigoureuse

_{pour la} section efficace.

Au

_paragraphe

II,

nous montrons comment on _passe de cette solution

_rigoureuse

à celle de

_{l’approximation}

de Born d’une

part

[2],

[3]

et à celle _que donne Butler de l’autre

_{[1] ;}

nous faisons un examen détaillé de

_{l’équivalence}

des deux méthodes. Au

para-graphe

III,

nous _reprenons l’examen de la formule

rigoureuse;

dans les traitements

antérieurs,

la fonc-tion d’onde décrivant l’état stafonc-tionnaire de collision

qui figure’ dans

la formule

_rigoureuse

était

_remplacée

par une onde

_plane;

on

_négligeait

ainsi les effets de

réaction;

nous montrons

_qu’on

peut

tenir

_compte

très

_simplement

de l’effet de réaction à notre

avis

le

_plus

_important,

à savoir la réaction due à la diffu-sion

_élastique

des

_protons.

Au

_paragraphe

IV,

nous

spécialisons

les résultats du

_{paragraphe précédent}

au cas où la diffusion

_élastique

est

_{purement «}

poten-tielle »,

c’est-à-dire

équivalente

à la diffusion par une

_sphère

dure _{de rayon}

_égal

au _{rayon du noyau.}

Nous nous limitons aux formes 1 = o et 1 = 1. Au

paragraphe

V,

divers

_{exemples numériques}

sont

traités avec la théorie du

_paragraphe

IV et les

résul-tats

_comparés

avec ceux _que

donne

la théorie

plus

simple

de

Butler;

en

règle générale

on _{constate que} l’effet de réaction dû à la diffusion

_élastique

du

proton [ou

du neutron pour les réactions

_(dn)]

se

traduit essentiellement _par une réduction d’un

facteur 2 à 5 de la section efficace

_totale,

_{mais que} l’allure

_générale

des distributions

_angulaires

est à

peine

modifiée

_{(déplacement}

des

_pics

inférieur

_{à I0°).}

Le

_paragraphe

VI est consacré à la discussion des

approximations

faites et à la conclusion.

Afin

d’alléger

l’exposé

général,

nous _y avons

supposé

les nucléons et _{les noyaux} sans

_spins,

et

les noyaux infiniment lourds. La

_première

de ces

deux restrictions est levée à la fin du

_paragraphe

III. Les modifications

_{qui permettent}

de tenir

_compte

de la masse finie des _noyaux sont

_indiquées

en

Appen-dice.

Paragraphe

I.

Considérons pour fixer les idées la réaction

Par

commodité,

nous allons étudier la réaction inverse

Formellement le traitement des deux réactions

est

_identique.

D’ailleurs les sections efficaces se

déduisent l’une de l’autre _par

_application

du

prin-cipe

de microréversibilité.

Nous

_adoptons

les conventions et notations sui-vantes :

n=I;

rIZ, rp,

position

du

neutron,

du

_proton;

p, variables

dynamiques

de tous les autres

nucléons;

k, K,

vecteurs d’onde du

_proton

incident,

du deuton

_émergent;

t2 2

2M ’ M’

énergie

de liaison du neutron dans

_Dt.,

du

deuton;

’f2(P,

rn),

i(p)’ yd(r),

fonctions d’onde de

_,9t2,

de

_%,,

du deuton.

L’hamiltonien

du

_système

est

où

_{V, N,}

P sont

_{respectivement}

les interactions _n-p,

n --

_ml,

_p

_-.%,

et

_7;fp

l’hamiltonien de

_%,.

La

conser-vation de

_{l’énergie s’exprime}

_par

Soit

_T(p,

rn,

_rp)

la fonction d’onde décrivant l’état stationnaire de collision

_engendré

_{par le}

_proton

incident. C’est la solution de

_{l’équation}

de

Schrô-dinger :

dont le

_comportement

_asymptotique

_correspond

à l’existence du

_{proton incident,}

du

_proton

élasti-quement

diffusé,

de deuton diffusé conformément

à la réaction

₍₂₎

et de

toutes

autres réactions

énergé-tiquement

possibles

telles

_que

_{(pp’), (pn),}

_(pot),

....

Suivant la méthode de traitement bien connue des

_problèmes

de collision avec

_{réarrangement}

_[4],

on écrit :

La section efficace de réaction

_(pd)

se déduit

aisément de la forme

_asymptotique

de la

fonc-eiKR

tion

_F(R).

C’est évidemment une forme en

7

caractéristique

d’une onde

_divergente.

_F(R)

est en fait la solution

_ayant

ce

_comportement

asympto-tique,

de

_{l’équation}

_inhomogène

du second ordre :

qui

s’obtient aisément en substituant

₍₆₎

dans

l’équa-tion de

_{Schrôdinger (5).}

On en déduit

_{l’expression}

suivante pour la forme

asymptotique

de F :

L’intégrale figurant

dans

₍₈₎

n’est autre _que

l’élé-ment de matrice

où

d

représente

un

_{système d +}

_ml

en onde

plane

de vecteur K.

D’où la formule _pour la section efficace :

(v,,,

vitesse du

_proton

_{incident; PE,}

densité des états

finaux).

La même méthode

conduit

à une formule similaire pour la réaction inverse :

[ 1 w ),

état stationnaire de collision

_{(d + %,);}

vd, vitesse du deuton

incident;

1 p >,

onde

plane

(p -p m2);

pÉ,

densité des états

_finaux].

Paragraphe

II.

Pour retrouver

_{l’approximation}

de

Born,

de Bhatia et al.

_[2]

et de Daitch

_et

French

_[3]

à

_partir

de la formule

_rigoureuse

(10) :

, a. On

_néglige

la contribution de l’élément de matrice du

_potentiel

P;

cela suppose que

l’ampli-tude de

_probabilité

de

_présence

du

_proton

dans la

zone d’action du

potentiel

,P est

pratiquement

’

b. On

_{remplace ) W )}

_par l’onde

_plane

_{1 d).}

C’est

l’approximation

de Born

_proprement

dite.

En somme, on substitue dans

₍₁₀₎

l’élément de matrice

_approché

_{(1) :}

Butler

_prend

un

_point

de

_départ

_apparemment

différent : Soit ro la

portée

du

_potentiel

N. La méthode consiste à bâtir une fonction d’onde appro-chée de la forme

OÙ tJ;d

est une onde

_plane

de deuton

_coupée

à la

surface rn

=

ro, c’est-à-dire

y’

est fonction _{propre de l’hamiltonien} obtenu en

négligeant

l’interaction p --

9t2

(c’est-à-dire

P +

_V)

pour la même

énergie :

Par

_hypothèse

_c’

contient le

_proton

en onde

divergente.

Puisque

est

_continu,

_cL’

doit

_présenter

une discontinuité _{que compense exactement celle} de

_Çj.

On

_peut

ainsi bâtir (f) de

_{façon unique.}

Butler le fait

_{explicitement.}

Mais on

_peut

voir

l’équi-valence avec

_{l’approximation}

de Born sans faire ce

calcul

_explicite.

De

_{façon analogue}

au traitement

_rigoureux

du

paragraphe

I,

la section efficace se _{déduit du}

compor-tement

_asymptotique

de

F’ (rp)

est la solution

_régulière

à

_l’origine

et en onde

divergente

à l’innni d’une

_équation

_qui

se déduit de

₍₁₄₎

en

_multipliant

les deux membres

_{par tJ;;}

et

en

_intégrant.

L’expression

obtenue se

_simplifie

à l’aide de

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

de

_{tp2 :}

la seule difficulté

_provenant

de la discontinuité

de Ç’

sur la surface r = _{ro. Il} vient

[cf.

éq.

(7)] :

La forme

_(17’)

se déduit de la forme

₍₁₇₎

_par

application

du théorème de Green et examen des (1) Noter que

Daitch et French prennent

pIN 1 d >

pour

point

de _départ.

discontinuités _par

_rapport

à rn.

Finalement,

on

obtient pour la section efficace la même

expression

que

(10),

sauf que l’élément de _{matrice y} est

rem-placé

par

Si l’on note _que

_{e+k.rp ?}

satisfait à

_{l’équation (14),}

que

satisfait à une

équation

similaire obtenue en

_remplaçant

dans

₍₁₄₎

le

_potentiel

N’ _par

V,

et,

qu’en

raison de la structure de

_{Çd, l’intégration}

de

₍₁₈₎

_porte

sur le

domaine

rn ro,

où N est

_nu],

il est aisé de _{voir que}

₍₁₈₎

est

_égal

à

C’est cette

_expression

_qu’il

faut _comparer à

_(11).

On voit

_{qu’elle s’y}

ramène,

si la contribution du

domaine

rnL-ro

à l’élément de

_{matrice p}

_{1 VI d)}

est

_{négligeable.}

Daitch et _{French ont montré que} cette contribution _{affecte relativement peu la} dis-tribution

_angulaire.

En

fait,

parce que

l’intégration j18)

porte

sur un

domaine où N est

_nul,

toutes les

_{quantités figurant}

dans

_{l’intégrande}

₍₂₎

sont bien connues

_(ǧ

à une normalisation

_près;

cette normalisation est liée à la

_largeur

réduite dans la voie fermée n +

ml

comme

nous le verrons

_plus

en détail dans la

_suite).

L’inté-gration

(18)

s’effectue aisément

_[3]

et conduit à la formule de Butler.

La méthode de Butler

_s’inspire

du traitement

classique

des

réactions nucléaires :

_l’espace

de

confi-guration

est

_séparé

_{par la surface} rn = _{ro en une}

«

_région

interne » ou zone du noyau

_composé

et une

«

_région

externe J. Pour le calcul des sections

effi-caces, il suffit de résoudre

_{l’équation}

de

_SchrÖdinger

dans la «

région

_externe » avec une condition conve-nable sur la surface. Dans le traitement

_classique,

la résolution de

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

dans la

«

région

externe »

_peut

se faire en

_principe

rigoureu-sement et toute la difficulté réside dans la détermi-nation des conditions sur la surface. Dans le

trai-tement de

_Butler,

on se trouve dans la situation

inverse :

le rôle

du « _noyau

_{composé »}

est

joué

_par

le noyau

(n + ml)

=

’)t2;

la condition sur la surface

est alors

_{particulièrement}

_simple

dans

_{l’hypothèse}

du «

_{stripping »}

où l’on

_néglige

l’interaction

neutron-proton

dans la zone d’action du

_potentiel

N,

c’est la dérivée

_{logarithmique}

_{caractéristique}

_d’une

expo-k2

nentielle décroissante

_{d’énergie E2013 2013.. ;}

_par

_contre,

la résolution de

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

propre-ment dite dans la zone externe, à cause de la

pré-sence des

_potentiels

V et

_P,

ne

_peut

se faire que de

façon approchée.

L’approximation

de Butler consiste

(2) Nous employons ici et dans la suite de cet article le terme intégrande pour désigner la quantité sous le signe

à

_prendre

une combinaison linéaire d’ondes

_planes

d

et _{p; il n’est donc pas}

_surprenant

_que son résultat diffère si peu de celui de

l’approximation

de Born.

Paragraphe

III.

Nous

_présentons

dans

cette section un traitement

plus

rigoureux

que les

précédents.

Pour fixer les

idées,

nous considérons les réactions

(pd).

Le pro-blème consiste à évaluer l’élément de matrice de

l’équation

(9),

c’est-à-dire

Le deuton est un _corps

étendu dont

le « _{rayon »}

rd est notablement

supérieur

à la

portée

du

potentiel

d’interaction V. C’est là un

_point

essentiel

_qui

doit être à la source de toute

_{approximation}

au calcul de I. Dans le calcul du

_{terme ( N),}

seules

impor-tent les valeurs

_qu’atteint

W

_lorsque

le neutron est intérieur au _noyau

_{(rn¿ ro)}

et le

_proton

évolue dans le domaine

_plus

étendu r

_L

_{r,, +}

rd. La

signifi-cation

_précise

de _ro est ici la

_portée

des forces N et P. La contribution

_{,P >,}

par

contre,

exige

que ce

soit le

proton

qui

soit intérieur au _{noyau. On}

_peut

donc

_séparer

dans I la contribution de «

_stripping

pur o

provenant

de la

_partie

de W où le

_proton

évolue dans la couronne

_{sphérique d’épaisseur}

rd entourant le noyau, de la

contribution

interne

(tout

en réalisant tout l’arbitraire d’une telle

sépa-ration).

La méthode de Butler revient à ne retenir

que le «

stripping

_{pur »} et à le calculer en

rempla-çant

qr par une onde

_plane.

On s’attend à ce _que

le «

stripping

_{pur » soit bien la contribution}

domi-nante

_(sauf

_peut-être

_près

d’une

_résonance),

et l’extrême

_anisotropie

des courbes

_{expérimentales}

le confirme. Par

contre,

rien ne

_légitime

le

rempla-cement _{de qr par} une onde

_plane

dans cette

_région

de

_l’espace.

Comme il

_{s’agit d’approximations}

sur ’If

dans une

_région

où le

_proton

est extérieur au _noyau,

cela a un sens de

_séparer

dans qr l’onde

_plane

inci-dente et les diverses ondes diffusées

_(sauf

_peut-être

l’onde diffusée de

_deuton).

De

_plus,

_{précisément}

parce

qu’il

s’agit

de la

_région

extérieure,

l’impor-tance relative des diverses ondes diffusées est

cor-rectement mesurée _par la valeur relative des

sec-tions

efficaces

_{correspondantes.}

Dans la

_plupart

des cas, c’est la section efficace de

diffusion

élastique

qui

est de

_beaucoup

la

_plus

_importante;

c’est donc

avant tout de l’onde diffusée

élastique qu’il

convient de tenir

_compte.

Nous allons voir

_qu’il

est

possible

de le faire sans

_trop

de difficulté.

Les calculs sont

_grandement

_simplifiés

si l’on _y

remplace

la fonction d’onde du deuton qd par sa

partie

asymptotique

C’est certainement une bonne

_{approximation}

dans

l’hypothèse

du «

_stripping

_{pur », où les} distances

n-p relativement

_grandes

sont en

_jeu.

L’erreur introduite sera estimée

_plus

loin.

Désignons

alors par

T’(p,

rn,

rp)

la fonction d’onde décrivant l’état stationnaire de collision

_analogue

à

_T,

obtenue

en

_négligeant

le

_potentiel

V dans

l’équation

de

_{Schrôdinger.}

En substituant à _cpd

et qr dans

_{l’expression (20)}

les fonctions

_approchées

_cpd

et ’V’

_{respectivement,}

on _obtient une valeur appro-chée l’ de l’élément de matrice

I,

Cette dernière

_expression

_{pour l’} s’obtient _par

application

du théorème de

_Green,

en _{faisant usage}

sucessivement des

_équations

de

_{Schrôdinger :}

En

_remplaçant

W _par

_T,

nous avons essentiel-lement

_négligé

la contribution de l’onde diffusée de

deuton;

I’ constitue le

_premier

terme d’un

déve-loppement

de I en

_puissance

de

V,

et l’on

_pourrait

estimer l’erreur faite en calculant le terme d’ordre immédiatement

_supérieur.

Ensuite,

pour ne conserver dans _{T’ que l’onde} diffusée

_élastique

et l’onde

incidente,

nous

rem-plaçons

P dans

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

₍₂₃₎

_par un

potentiel

_{moyen % qui}

donne correctement les

déphasages

de diffusion

_élastique.

Nous

_négligeons

ainsi la _{formation de noyau}

_composé.

Soit T’ la solution de cette nouvelle

_équation

de

_{Schrôdinger.}

Dans cette

_équation

les variables se

_séparent,

d’où

et l’on est conduit à l’élément de matrice

_{approché :}

avec

Il est facile de voir

_qu’on

retrouve la formule de Butler

₍₃₎

en

_remplaçant

dans

(26)

la fonction

e(r)

par une onde

_plane

_coupée

à r = _ro.

Un cas

_{particulièrement}

intéressant est celui

où

_correspond

à la diffusion «

potentielle »

_pure

(e oo

pour

r ro).

Dans ce’ cas,

_{-f (r) = o}

à

l’intérieur du noyau

et,

comme dans le traitement de Butler

_{[1], [3]}

_{l’intégration}

Il est limitée aux valeurs externes _pour

_{lesquelles:;; (r)}

est

complè-(8) Avec une _petite différence due à notre choix particulier

tement connu et

_;j(r)

défini à une normalisation

près (plus

précisément,

il y a autant de coefficients de normalisation _{que de} valeurs 1 du moment orbital du neutron

_capturé;

le sens

_physique

de ces

coeffi-cients sera discuté

_plus

_loin).

Dans tout ce

_{qui précède,}

nucléons et _noyaux ont

été

_supposés

sans

_spin.

Nous allons maintenant lever

cette restriction.

_Désignons

_par

_/i

et ij-,, le

_spin

total du _noyau

_%,

et sa

_composante

suivant l’axe

des z ;

_i.

et [1-2’ les

grandeurs

correspondantes

relatives

au _noyau

_{fJt2; XI}

et

_{xf les}

états de

_spin

du

_proton

2

incident et du deuton

_émergent.

Dans

_{l’équation (9),}

le carré de l’élément de

_matrice

_{1 112}

doit être

rem-placé

par la sommation

La méthode

_qui

conduit aux

approximations

₍₂₂₎

et

₍₂₆₎

n’est _{pas modifiée. Notons que, pour aboutir} à

_(26),

_{il n’est pas nécessaire que le}

_potentiel

N soit

central;

par

contre,

le

_potentiel

_{moyen q. qui}

remplace

P est

_supposé

tel

_(4).

La seule modification à

_apporter

à

_{(26) consiste}

_{à y insérer les fonctions} de

_spin

et à étendre le

_produit

scalaire à

_l’espace

des

_spins.

Soit

_Z’

la fonction de

_spin

du

neutron;

2

il est facile d’effectuer la sommation sur 7r et a et

ramener

₍₂₈₎

à

où

Introduisons les fonctions

_Ur

_{formées par} combi-naison de

_xÎ

et

_{§ fi ,}

Les coefficients

C, 1 (i p.;

14 v )

sont les coefficients Ji,

usuels de Clebsch-Gordan.

Développons

Ç1l/2 :

(4) On pourrait en _principe, s’affranchir de cette dernière restriction au _prix d’assez sérieuses _{complications} formelles.

Substituant

₍₃₁₎

dans

_(27’),

on _{obtient pour le}

produit

scalaire

_partiel

_{;ltk t4}

_{l’expression}

qui

substituée dans

_(29),

_{donne, compte}

tenu des relations

_{d’orthogonalité}

des coefficients de Clebsch-Gordan :

avec la notation

Rappelons

les

_règles

de sélection

_{sur 1.}

et 1 :

(2013y

=

_produit

_des

_parités

_de

_ml

et

_m2.

Comme dans la théorie de

_Butler,

S est une somme de contributions

_{correspondant}

chacune à une valeur différente du moment orbital 1 du neutron

capturé,

et ces contributions n’interfèrent _pas.

La forme de

_{gî (r)}

_peut

être très

_compliquée

lorsque

r

_à

_{ro. Mais} son

_comportement

à l’extérieur

est connu

(6)

et

_lorsque,

comme dans le cas de la diffusion

poten-tielle pure,

l’intégration

(34)

est limitée aux valeurs

externes,

l’intégrande

est

_{complètement}

connu. Les

A"

sont alors

_{complètement}

calculables et les seuls

_paramètres

inconnus

_figurant

dans

l’expres-sion de la section efficace sont les coefficients de normalisation

En

_particulier,

si une seule valeur de 1

intervient,

la distribution

_angulaire

est

_{complètement}

déter-minée.

x// est

l’amplitude

de

probabilité

relative pour que le neutron

_apparaisse

à _{la surface du noyau}

_%,

dans la voie de

_{spin i}

et de moment orbital 1.

_xj’,

est donc relié

_simplement

à la

_largeur

réduite dans cette voie. Dans certains cas favorables

_[5],

_{l’interprétation}

d’autres

_expériences

_permet

de déterminer les lar-geurs réduites du noyau

IX2;

on

_peut

alors

_prévoir

théoriquement

non seulement la distribution angu-laire de la réaction

_(pd),

mais même la valeur absolue de la section efficace.

(6) Ici et dans la suite de ce travail, nous _adoptons les

notations de Schiff, Quantum Mechanics (Mc Graw _Hill,

,p. 6 6- 79) pour les «

-Paragraphe

IV.

Ce

_paragraphe

et les suivants sont consacrés à l’étude des sections efficaces obtenues avec l’élément de matrice l’ dans

_{l’hypothèse}

où la diffusion est

«

potentielle

» _{pure. Nous donnerons à cette théorie}

le nom de théorie «

_potentielle

». Le modèle sur

_lequel

elle est basée n’est véritablement

_justifié

_que

lorsqu’on

se trouve loin des résonances.

_Toutefois,

même si ces conditions ne sont _pas

_réalisées,

le

modèle,

tout en

_ayant

l’avantage

d’être

_précis

et

simple,

doit

_permettre

d’estimer au moins

quali-tativement

_{l’importance}

de l’effet dû à la

_présence

dans W de l’onde diffusée

_élastique.

De

_plus,

les sections efficaces

_prévues

_par la théorie «

poten-tielle »

_dépendent

des _mêmes

paramètres

_{que celles}

que

prévoit

la théorie de

Butler,

à savoir les nombres d’onde k et K

_(ou

encore Ed et

_Q),

_{le rayon} d’ac-tion ro de la force

N,

le ou les moments

orbitaux

du

neutron

_capturé

et les

_paramètres

_proprement

nucléaires

_’

_rJ.},.

La

_comparaison

des deux théories

7

n’en est _que

_plus

facile.

D’après

l’équation

(33),

la distribution

_angulaire

caractéristique

d’une valeur de 1 donnée est

La fonction

_{g’t figurant}

dans

_{l’intégrale}

de

l’expres-sion

₍₃₄₎

définissant

A 1’?

est _{donnée par}

_{l’équation (36).}

Quant

à la fonction d’onde du

_proton,

dans

l’hypo-thèse

_présente,

elle s’écrit

₍₅₎

U == (0,

cp )

et

Qk==

(9k,

Pk)

sont les coordonnées

angulaires

des vecteurs r et

_k,

_repérées

_par

_rapport

à un trièdre dont l’axe des z est

_dirigé

suivant K.

Substituant

₍₃₈₎

dans

_{(34) :}

avec

En

_rayant

Ci"’

de

_(40),

on retombe sur le résultat

de Butler.

Pour les

B"’,

on obtient

_(c/.

_{éq. (5)}

de la

réfé-rence

_[3])

-(Qq,

coordonnée

_angulaire

du moment transféré _q dans le

_système

de référence

_adopté

_{plus haut).}

En _{faisant usage} de la relation

_(4),

on voit aisément que le

facteur +

est

l’amplitude

de

probabilité

de trouver un

proton

de

moment

k dans un deuton dont le-centre de masse se

_déplace

avec le moment K

(calculée

avec la fonction d’onde

_q§i).

. Pour calculer

C’ï ,

on

développe

et l’on substitue dans

₍₄₂₎

les

_expressions

_(36),

(39)

et

_(44).

_{L’intégration}

_angulaire

dQ ne

_présente

pas de difficulté

(voir

Appendice B)

et les

Cî

s’ex-priment

finalement sous forme de séries dont les

termes

_dépendent

des

_intégrales

radiales :

Les méthodes de calcul de ces

_intégrales

radiales

sont

_exposées

dans

_{l’Appendice}

B.

Voici les résultats

_{algébriques complets}

relatifs

aux formes 1 = o

et 1

= 1. Dans les

applications

numériques

qui

suivent,

nous nous sommes bornés à ces deux valeurs de 1.

Pour les

_polynomes

de

_Legendre

et les

_polynomes

de

_Legendre

associés,

nous

_adoptons

les définitions de

_Magnus

et

_{Oberhettinger}

_[6].

Paragraphe

V.

A l’aide des formules du

_paragraphe

_précédent,

nous avons calculé les contributions 1 = a _{et 1 = 1}

données par la théorie «

_potentielle

» dans

_cinq

exemples numériques

différents

_{correspondant}

à des valeurs diverses de

_{Ed, Q}

et _ro; nous _comparons les

résultats avec ceux de la théorie de Butler. La

liste des

_exemples

traités est

donnée

dans le

tableau

_I,

où nous

indiquons

_également

les réactions nucléaires

_{correspondantes,}

les valeurs de

_kro,

Kro

et

_tro

et, s’il y a

_lieu,

les valeurs de 1

effective-ment _{obtenues par}

comparaison

des résultats

expé-rimentaux avec la théorie de Butler. La valeur

adoptée

pour y

[cf.

éq.

(21)]

est

Dans tous les cas, sauf

3b,

la valeur de ro choisie

correspond

à la formule

où A est le nombre de nucléons du _noyau

_9t,

initial.

. TABLEAU I.

Liste des cas

_particuliers

étudiés.

(a), F. AJZEN13ERG, Phys. Rev., 1952, 88, 2g8.

(b) BuRGE, BuRROws, GIBSON et _ROTBLAT, Proc. _Roy. Soc., 195,, 210, 534. Expériences faites à une _{énergie plus} élevée : E,i = 7 MeV.

(c) BROMLEY, BRUNNER et _{FULBRIGHT, Phys. Rev., 1953, 89, 3g6.}

Dans les cas 1 et

2,

nous avons tenu

_compte

de la masse finie des noyaux

_{en jeu}

conformément aux

prescriptions

de

_{l’Appendice}

A. Tous les autres

cas concernent _{des noyaux}

_plus

_lourds;

nous avons

supposé

leurs masses infinies.

Les distributions

_angulaires

obtenues sont tracées sur les

_figures

1, 2,

3a,

3 b et

_4.

_Lorsque

des

expé-riences ont été faites aux

_énergies

_{considérées,}

nous avons

_reporté

à titre

_purement

indicatif les

_points

expérimentaux

sur les

_graphiques.

Les courbes en

trait

_{plein correspondent}

à la théorie «

_potentielle

_»,

celles en tiret à celle de

Butler;

de

_façon

à faciliter

la

_comparaison

des deux

théories,

les deux courbes

sont normalisées de

_façon

_{que leurs} ordonnées au

maximum soient

_égales.

Il est intéressant

_également

_{de connaître le}

rap-port

des sections efficaces

_prévues

_{par les} deux

théo-ries.

Le tableau II

donne,

dans

_chaque

cas

étudié,

le

_rapports

de la valeur maximum de la section efflcace

_prévue

_{par la} théorie de Butler à celle _que

donne

la théorie «

_potentielle

o.

Dans la

discussion,

il importe

de mettre à

_part

les

cas tels que 2

qui correspondent

à une faible valeur

de t

_(réactions

à

_{Q négatifs),}

cas où l’accord entre la théorie de Butler et

_{l’expérience}

est rendu douteux. Les courbes

_{caractéristiques}

des différentes valeurs de 1 ne

_présentent

_pas entre elles les différences

marquées

aux

petits

_angles

_que l’on observe dans les

autres cas.

TABLEAU II.

Rapports

des maxima des sections

_efficaces

prévus

par les deux théories.

Comparons

donc les deux théories dans les cas

_1,

3 et 4. Dans ces cas «

orthodoxes

_», aussi bien avec une théorie

_{qu’avec l’autre,}

les distributions angu-laires sont _peu sensibles au choix de _ro

_{(cf. fig.}

3a et

_3b)

et les formes

_{correspondant}

à des valeurs différentes de 1 ’se

_séparent

bien. La similarité des distributions

_{angulaires prévues}

_{par les} deux théories

est

_frappante.

L’examen du tableau II montre, par contre, que les sections efficaces que nous

obte-nons sont nettement moins

_grandes

_{que celles}

qu’obtient

Butler. La réaction de l’onde

élastique

diffusée a _{donc pour effet essentiel} de diminuer la section efficace en valeur absolue sans affecter sensiblement sa

_dépendance

_angulaire.

Le facteur de réduction est en _moyenne de 2 à

_{3 ;}

_{mais il varie}

que dans tous les cas considérés : _so > _{si. Il} semble donc _{que le facteur de réduction soit} d’autant

_plus

important que 1

est faible.

Pour mieux

_comprendre

l’effet de réaction de

l’onde

_élastique

diffusée,

on

_peut

examiner le

déve-loppement, des amplitudes

Aî

en

_harmoniques

sphé-riques

et _{comparer dans}

_chaque

cas les contributions à

_{chaque harmonique sphérique}

du terme

_Bl’l,

seul

_présent

dans la théorie de

Butler,

à celles du

terme

Cl"

introduit _par la

_présence

de l’onde

élas-tique

diffusée. Nous ne donnerons _{pas ici les détails}

numériques

de cette étude et nous

_indiquerons

seu-lement les résultats

_généraux.

,

On constate _que le

_{développement}

de

Bl

converge

plus

lentement _{que celui de}

_C?’.

Les coefflcients du

développement

de

_Bt

en

_harmoniques

_sphériques

atteignent

leur maximum aux environs de À ^_

_kro,

puis

décroissent lentement _{pour des valeurs}

supé-rieures du moment

orbital X

du

_proton.

Ce fait avait

déjà

été noté _par Butler

_[1].

Cela

_correspond

bien

à l’idée

_qu’on

se fait des réactions de «

stripping »

telle que nous l’avons

_exposée

au début du

en

_jeu

_peuvent

aller

’jusqu’à

_{ro +}

rd, à l’inverse des autres

types

de réactions nucléaires où le

_paramètre

d’impact

ne

_dépasse

_{pas ro.}

Dans

C’t,

par

contre,

les moments orbitaux du

proton

intervenant de

_{façon significative}

sont de l’ordre ou inférieurs à

_kro.

Ceci _{n’est pas}

_surprenant

puisque

la contribution

Cl

provient

de l’onde diffusée

élastique

du

_proton

_pour

_laquelle

_le para-mètre

_d’impact

ne

_dépasse

_{pas ro.}

_Cl

se

_sépare

en deux termes : le

_{plus important}

des deux est cohérent avec

Bi

et interfère

destructivement

avec

lui,

l’autre est incohérent avec

_Bln

et donne lieu à une

petite

correction.

En

définitive,

la réaction de l’onde diffusée

élas-tique

se _{traduit essentiellement par} un

affai-blissement des contributions

_{correspondant}

aux

moments orbitaux

_{inférieurs : k . kro.}

Il est à

prévoir

que l’on pourra simuler un tel effet en

aug-mentant le rayon ro

dans

la formule de

Butler,

puisque

cela revient _{à couper} l’onde

_plane

à une distance

_plus

_grande,

autrement dit à favoriser les

_paramètres

_{d’impact plus grands,}

donc les

_grands

moments orbitaux ), au détriment des

_petits.

Effectivement,

dans les

_quatre

cas « _{orthodoxes »}

considérés,

on retrouve très sensiblement la distri-bution

_angulaire

_{donnée par la théorie}

_{« potentielle}

»

si l’on

_majore

le

_paramètre

_ro d’environ _{25 pour ioo} dans la formule de Butler. En

_particulier,

on amène ainsi les

_{pies 1}

=== i à coïncider. Notons que cette

augmentation

de _ro a

_également

_{pour effet} de réduire la section efficace d’un facteur de l’ordre de

_grandeur

du facteur s tabulé dans le tableau II.

Bref,

tant

_qu’on

ne s’intéresse _pas aux valeurs

absolues,

on s’attend à un bon accord entre la théorie de Butler et

_{l’expérience;}

l’accord

_peut

être rendu meilleur si l’on considère _ro comme un

_paramètre

ajustable.

Bien

_{entendu, ro}

cesse d’avoir un sens

physique;

on s’attend seulement à ce

_qu’il

soit un peu

plus grand

que le rayon du noyau mt.

Cette incertitude dans le choix de _{ro n’a pas}

grande importance

dans

_{l’application}

de la théorie de Butler à la

_{spectroscopie}

nucléaire,

où le moment

orbital 1 du nucléon

_capturé

est le seul

_{renseignement}

que l’on cherche à tirer des

distributions

angulaires

expérimentales,

car les distributions

_angulaires

prévues

par la théorie de Butler sont suffisamment peu sensibles aux variations de _ro

(g)

_pour

_permettre

sans

_ambiguïté

de déterminer 1

_malgré

l’incertitude

sur la valeur à donner à ro.

Dans tous les cas où la théorie de Butler a été

utilisée avec

succès,

il a suffi de

_prendre

la valeur

de ro donnée par la formule

₍₅₀₎

_pour obtenir un

accord suffisant. ,

(e) A l’exception de certains cas « non orthodoxes » (cor-respondant en _général à _{Q petit).} Un _exemple particuliè-rement _frappant est le cas de la réaction _160(dn)17F"

( Q = - 1, 9 MeV), où l’extrême sensibilité des courbes au

choix de ro interdit toute interprétation des expériences par

la théorie de Butler.

Il convient _{de noter que} dans la théorie «

poten-tielle » le

_paramètre

_{ro a} une

_{signification}

_physique

bien déterminée. On

_pourrait

donc être tenté d’uti-liser la théorie «

_{potentielle »}

_pour mesurer _ro et

comparer la valeur trouvée à d’autres déterminations.

Cependant,

une telle mesure ne

_pourrait

être très

précise

parce que les distributions

angulaires

données par la théorie «

potentielle »

sont _{elles aussi très peu}

sensibles aux variations de ro. Elles sont en

_général

moins

_sensibles,

_semble-t-il,

_{que celles que}

_prédit

la théorie de

_Butler;

c’est ce

_{qu’illustre}

la

compa-raison des

_figures

3 a et 3 b

_(7).

D’autre

_part,

_{de par}

sa définition

_même,

_ro ne

_peut

être

déterminé

avec une

_grande

_précision

et une formule _{telle que}

₍₅₀₎

ne

_peut

être

_{qu’approchée;}

l’indétermination sur ro

est de l’ordre de

_grandeur

de l’inverse du nombre d’onde _{moyen d’un nucléon dans le noyau, soit} environ IO-13 cm selon une estimation bien connue

En confrontant théorie et

_expérience,

on ne

_peut

espérer

mieux _{que de} voir les

_{points expérimentaux}

se

_placer

dans le domaine

_balayé

_{par les} courbes

théoriques

lorsque

ro varie dans des limites de cet

ordre. Dans les cas « orthodoxes » tels que ceux

considérés ici les

_régions

_balayées

sont très

_réduites,

les diverses formes 1 bien

_séparées

et c’est ce

_qui

rend la détermination de 1

_possible.

Il nous reste à examiner le cas 2. Nous l’avons

traité attitré d’illustration de cas « non orthodoxes »

où

_{l’interprétation}

basée sur la théorie de Butler

est

_sujette

à caution : les formes

_{correspondant}

aux différentes valeurs de 1 ne _{sont pas} assez distinctes

les unes des autres _{pour que}

_malgré

l’arbitraire du

_paramètre

_ro les

_points

_{expérimentaux puissent}

être attribués sans

_ambiguïté

à l’une d’entre elles. On a donc besoin d’une théorie

_{plus rigoureuse.}

Dans la théorie «

_potentielle

_{», ro} a un sens

_plus

_précis

et la

_{comparaison théorie-expérience}

est nettement en faveur de 1 = 1

_(dans

cette

_comparaison

nous ne tenons

compte

que des deux

points

expérimen-taux à

_{petit angle).}

Il n’est _pas

_exclu

_cependant

que l’on ait un

_{mélange 1}

= o et 1 = 2 et des

_points

expérimentaux supplémentaires

à des

_{angles petits}

seraient souhaitables.

Paragraphe

VI.

Passons en revue les

_{approximations qui}

sont à la base des calculs

_{précédents.}

Nous

_rappelons

pour mémoire que nous avons

_négligé

tout effet coulom-bien.

Comme nous l’avons

_indiqué,

le choix de la fonc-tion d’onde

₍₂₁₎

_pour le deuton ne

_peut

introduire

qu’une

faible erreur _{parce que} les distances n-p mises en

_jeu

sont

_grandes

_par

_rapport

à la

_portée

(7) Noùs l’avons également vérifié dans le cas 160 _(dn) 17F" déjà cité dans la note (6), où nous avons fait des calculs

ana-logues à ceux _qui sont _rapportés dans cet article, à une _énergie

du

_potentiel

V. On obtient d’ailleurs une estimation

simple

de cette erreur en

_comparant

les courbes de Butler calculées à

_partir

de

_{(21) (comme}

nous

l’avons fait au

_{paragraphe V)}

avec les courbes calculées au _{moyen d’une} fonction d’onde

_plus

précise,

celle de Hulten par

exemple.

La différence trouvée est très faible.

Ceci étant nous

_rappelons

_{que la} relation

₍₂₆₎

a été obtenue :

a. En

_remplaçant

l’interaction

_5zi-P

_par un

potentiel

moyen S.

b. En

_négligeant

dans le

_T(4l)

ainsi obtenu toute

contribution

venant de

V.

Remplacer

l’onde stationnaire de collision véri-table _{qr par}

_F()

constitue non une

_{approximation,}

mais une bonne définition du «

_pick-up

» _{pur pourvu}

que

T(9,)

et qr donnent lieu à la même diffusion

élastique

et

_qu’aucune

autre

_{approximation}

ne soit effectuée sur

_{qr ().}

La contribution de

_{’Il" - W (q)}

est attribuée au mécanisme de « formation de noyau

composé

». C’est

quand

on se trouve entre deux réso-nances

_{(p + m2) et}

loin de chacune d’elles

qu’il

est

le

_plus

_légitime

de

_remplacer

_{T par}

_qr(q)

dans la

comparaison

avec

l’expérience.

C’est

également

dans ces conditions _{que le choix que} nous avons

fait

_{pour S}

est le

_plus

_justifié.

Mais en faisant

l’approximation

b nous n’avons retenu dans T _que l’onde

_plane

+ l’onde diffusée

_{élastiquement;}

nous avons ainsi

_négligé

en

_plus

d’autres effets

de réactions celui de la réaction

_(pd)

elle-même,

qui

dans lés conditions favorables décrites ci-dessus est seul

_susceptible

d’être

_important.

Cet effet est malheureusement difficile à

estimer,

de

_plus,

contrai-rement à ce

qui

se _{passe pour l’effet Ide} l’onde diffusée

élastique,

il affecte toutes les valeurs du moment

orbital du

_proton

mis en

_jeu

dans la

_réaction;

si donc cet effet de réaction était

_important,

il

_pourrait

modifier sensiblement l’allure des courbes

_théoriques.

Ceci

_pourrait

bien être le cas

_lorsque

t est faible comme dans

l’exemple

2 du

paragraphe

précédent;

lorsque 1

est

_faible,

en

_effet,

le

neutron

a d’autant

plus

de chances de se trouver en _{dehors du noyau}

_Dr,

et la réaction

_(pd)

d’autant

_plus

de chances d’être

importante.

,

Lorsqu’on

se trouve

_près

d’une résonance

_{(p + 9tJ,}

le

_remplacement

de qr _par

_{T (it)}

est moins

_justifié;

les effets des autres

réactions

_pouvant

devenir

importants

et l’onde de diffusion

_élastique

étant de

plus

notablement différente de celle _que nous avons admise. Mais il est à

_prévoir

_que

l’extrême

aniso-tropie

des courbes n’en sera _pas

_trop

affectée,

tous

ces effets concernant les moments orbitaux rela-tivement faibles. _{Il y aurait}

_grand

intérêt à faire une

étude expérimentale

soigneuse

des sections effiicaces

_(dp)

en faisant varier

_l’énergie

dans une zone où l’on traverse une résonance. Loin de la

résonance,

la distribution

_angulaire

due surtout

au «

_{pick-up »}

_permettrait

de

vérifier

la théorie «

_potentielle

». Près de la résonance on

obtiendrait

des

_{renseignements précieux}

sur les contributions

respectives

des deux mécanismes cités

_plus

haut. L’étud.e de la réaction

_160(dp)170*

sera

prochaine-ment

_entreprise

au laboratoire du C.E.N. en relation avec ces

_problèmes.

Toutes ces réserves

faites,

notre étude

permet

de

comprendre

pourquoi

la théorie de Butler

_prévoit

correctement

_(mis

à

_part

les réactions

_{à Q}

_négatifs)

les distributions@

_angulaires

des réactions

_(dp),

(dn),

surtout _{si l’on y} considère le

_{paramètre ro}

comme un

_{paramètre ajustable}

Si l’on

_égale

le

_paramètre

_ro à la

_portée

du

_potentiel

nucléaire

_auquel

est soumis le nucléon

_capturé,

les distributions

_angulaires

sont encore données

avec une

_précision

_{satisfaisante;}

toutefois les valeurs absolues des sections efficaces sont notablement surestimées. La théorie

_plus

_rigoureuse

_que nous

proposons

prétend prévoir

correctement ces valeurs

absolues

_lorsqu’on

connaît les

_largeurs

réduites dans les voies fermées où le nucléon est

capturé.

On obtient donc une mesure

_{expérimentale}

de ces

largeurs

réduites _{que l’on}

_peut,

dans certains cas

favorables,

comparer

aux déterminations des mêmes

grandeurs

obtenues à l’aide d’autres

_{expériences;}

il y a là une vérification

_possible

de la méthode

_[5].

Un autre _{moyen de vérification réside} dans les corrélations

_angulaires

_(dpy).

Dans la théorie de Butler

_[7],

la distribution des _rayons y

possède

la

propriété remarquable

d’être

_symétrique

autour du vecteur moment transféré _q = k - K. Il est facile

de voir que cette

_propriété

_disparaît

dans notre théorie. Nous nous _proposons

_{prochainement}

de

faire un calcul

_explicite

de corrélations

_angulaires

(dpy)

sur un

_{exemple particulier qui puisse}

être

expérimenté

au laboratoire du C.E.N.

Nous tenons à remercier le Bureau de Calcul de

notre Service

_qui,

sous la direction de Mlle D. Roi a exécuté les calculs

_numériques.

APPENDICE A.

Calcul

de l’élément de

matrice,

compte

tenu de la masse finie des noyaux.

L’expression

(26)

de l’élément de matrice calculée

au

_paragraphe

III n’est valable que dans la limite

où les _noyaux

_ml

et

_m2

sont

_supposés

infiniment lourds. Si l’on veut s’affranchir de cette

restriction,

il faut modifier les

définitions

_{de rp,}

rn, r,

R,

t. Soit A le nombre de nucléons de

_9t,.

Nous

_adoptons

les définitions suivantes

_(voir

_{fig. 5) :}

rp, coordonnée de p par

rapport

au centre de d ’d "t A -h 1 M

masse de

_m2;

masse

réduite,

A i M;

r,,, coordonnée de n _par

_rapport

au centre de masse de

_%,;

masse

réduite, - ’ --

_M;

_;

r, coordonnée _{de p par}

_rapport

à n; masse

réduite, 2

M; ,

R,

coordonnée du eentre de masse du deutéron par

rapport

à celui de

_oz,;

masse

_réduite,

2A

M.

A+2

On a

l’égalité

entre les

laplaciens

correspondants :

et

_{l’équation}

de conservation de

_{l’énergie (4)}

est

remplacée

par

k et K

_désignent

les vecteurs d’ondes _{de p} et d relativement aux centres de masse de

_{m2 et %,}

respectivement.

On note dans

_{(A. 2)}

la nouvelle défi-nition de t en fonction de

_l’énergie

de

liaiso.,,A 2A

du neutron au _noyau

_%,.

Ceci

fait,

les seules modifications à

_apporter

aux

équations (3)

à

₍₂₁₎

consistent à

_remplacer

les masses

qui

y

figurent

par les masses réduites convenables. Dans

_(24),

il

faut,

au

_{surplus, remplacer}

la

fonction 8

du second

membre,

par

par

suite,

l’argument

de ’If’ dans

(22),

est modifié :

Si alors on

_remplace

P _par un

_potentiel

_moyen

qui

n’est fonction _{que de rp}

_(et

non de la coordonnée de p par

rapport

au centre de masse de

ml

comme

ce serait

plus

logique

de le faire

puisque

P

représente

l’interaction

p -

on obtient _{pour In la}

for-mule

De la même

_façon

₍₃₄₎

doit être

_remplacé

_par

Dans le cas de la diffusion «

_{potentielle »}

_pure

comme dans

_{l’approximation}

de

Butler,

la

fonc-ti0n Y (£ r)

n’est autre que la

_{fonction F (r)}

A+I

/

corres ondant au vecteur d’onde

A

k au lieu

p

au vecteur d’onde

_{A -i- i k}

au lieu

de k et au

rayon A i

_ro au lieu de _ro.

De

même,

les formules

₍₄₆₎

à

₍₄₉₎

_du

para-graphe

IV

_sont

_inchangées

_{pourvu que}

k,

K et t

y aient la

signification indiquée

plus

haut et que dans les

définitions

_{de q} et de

_J(L,

_1,

_{À) [cf.}

_{éq. (41’)}

et

_(45)]

k soit

_{remplacé par}

A

k et _ro

par A

_ro.

APPENDICE B.

Intégrales

angulaires

et radiales relatives au calcul des

Cit.

Après

substitution de

_(36),

₍₃₉₎

et

₍₄₄₎

dans

_(42),

les

_{intégrations}

_angulaires

se font à l’aide de la formule

où les coefficients V sont reliés aux ,coefficients de Clebsch-Gordan _par

Les formules

₍₄₇₎

et

₍₄₉₎

ont été obtenues en

expli-citant les coefficients de Clebsch-Gordan.

Les

_intégrales

radiales relatives au cas l = I

se ramènent à celles du cas 1 = _o,

par

intégration

par

parties,

à l’aide des

_propriétés

bien connues des

Les

_intégrales

radiales relatives au cas 1 = o

doivent être calculées

_{numériquement.}

Ce calcul

peut

se faire directement à

_partir

de la défini-tion

_{(45) :}

Dans

_beaucoup

de cas

pratiques,

notamment

lorsque 1

est

_petit

et _que

_{l’intégrande}

_converge

trop lentement,

il est

_préférable

de modifier

_{(’B . 4)}

de la

_façon

suivante :

Partons de la formule

_{classique :}

k

et

_{k> désignent}

_{respectivement}

le

_{plus petit}

et

le

_{plus grand}

des deux moments k et

K ;

u est le cosinus de

_l’angle

_{(k, K); q}

est le moment transféré :

On

en déduit

io Si

_{k > K,}

_{par substitution} de

_{(B. 7)}

dans

_{(B. 4),}

on obtient

soit encore en

_{prenant q}

_{pour variable :}

2° Si

k K,

(B.8)

n’est

_plus

valable.

Quant

à

_(B.

_9),

ses deux membres sont tous

deux.

fonctions

analytiques

de k pour toute valeur de k entourant le

demi-axe

positif

réel du

_{plan complexe.}

Donc

l’équation

(B. 9)

s’applique

aussi

_lorsque

o k K.

On

_peut

aussi retourner à la variable u. On voit

aisément que la

partie

réelle de

_J(À,

o,

À)

est encore

donnée _{correctement par}

_{(B. 8) :}

Mais sa

_{partie imaginaire,}

est : :

(B. 8)

ne donne _{que la}

_première

_intégrale

de l’acco-lade.

Manuscrit reçu le 12 juin I953.

BIBLIOGRAPHIE.

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