Sur les proprietés optiques des couches métalliques minces. 1

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Sur les proprietés optiques des couches métalliques

minces. 1

N. Cabrera

To cite this version:

quantique pouvaient

être retrouvés _par un ensemble de

_règles

différentes des

_règles

_classiques

de la

Mécanique

ondulatoire. Cette

_{« para-mécanique}

ondu-latoire »

_comportant

une constante

arbitraire,

coïncide avec la

_Mécanique

ondulatoire

_classique

chaque

fois

_qu’il

_y a lieu de

_prévoir

les

_grandeurs

physiquement

accessibles,

à savoir : les niveaux

d’énergie,

les

_fréquences

émises lors des

_transitions,

la

_longueur

" d’onde ),

== 2013?

et la vitesse du fluide

mv

de

_{probabilité.}

Elle en différe

_{lorsqu’elle prévoit,}

pour la

fréquence )

et la vitesse de

phase

V,

gran-deurs inaccessibles à

_{l’expérience,}

des valeurs arbi-traires.

L’emploi

de cette «

para-mécanique

>a n’est pas à

conseiller,

du fait de sa

_complication

inutile. Mais le fait

_qu’elle

est

_possible

_{prouve que} nous devons considérer v au même titre _que le

_{potentiel-vecteur,}

le mouvement absolu ou la

permutation

de deux

particules

de même nature, comme un inobservable.

SUR LES

_{PROPRIETÉS OPTIQUES}

DES COUCHES

_MÉTALLIQUES

MINCES. 1 Par N. CABRERA.

Docteur ès Sciences.

Bureau International des Poids et Mesures.

Sommaire. - Les couches

métalliques minces (transparentes) se _séparent en deux groupes : couches

épaisses continues et couches très minces _granulaires. Les _{propriétés optiques} des premières doivent être

un prolongement de celles du métal massif; l’auteur discute les mesures de Krautkramer _{[1] sur} des couches de Ag et Au. Pour le Ag on trouve sensiblement les mêmes _{caractéristiques} que pour le métal

massif, en _particulier le nombre n d’électrons libres par atome _{est ~ 1 ; pour le} Au, pour lequel les

mesures sur le métal massif ou opaque ont donné n = 0,75, les couches minces conduisent à n ~ _1, en

meilleur accord avec la théorie _{électronique} du métal Au. Il est donc nécessaire de refaire des mesures avec _{des couches opaques de Au. Une publication} ultérieure étudiera les propriétés optiques des couches

granulaires.

Introduction. - Les couches

métalliques

minces et leurs

_propriétés

ont été

_l’objet

de nombreux

travaux récents.

Lovell,

Appleyard

et autres

_[2]

ont mesuré la conductibilité

_électrique

des couches minces des métaux alcalins entre

64°

K et

_goo

K dans des conditions

_{expérimentales remarquables.}

A

tempé-rature constante, et au-dessus d’une certaine

épais-seur

_critique,

les couches sont stables et continues et

_présentent

une conductibilité

sensible;

au-dessous,

il se

_produit

des

fissures,

le métal

_ayant

tendance à

s’agglomérer

en

_grains,

la conductibilité diminue et devient nulle. Pour les couches continues ils ont

interprété

leurs résultats en admettant une

dimi-nution du libre _{parcours moyen des électrons due} aux collisions

_{inélastiques}

sur les

_parois,

_hypothèse

introduite

_déjà

_par J.-J. Thomson

_[3].

En ce

_qui

concerne les

_{propriétés optiques,}

on n’a

pas encore

_fait,

à ma

_{connaissance,}

_{d’expériences}

analogues.

Néanmoins,

les métaux nobles

_Ag

et Au ont été étudiés à la

_température

ambiante et

au-dessus _par Krautkramer

_[1]

assez

_{soigneusement,}

quoique

seulement dans le

_spectre

visible;

ces

expériences

permettent

aussi de

_séparer

les couches en deux _groupes bien

distincts,

l’un

_{correspondant}

aux couches

épaisses

et

continues,

l’autre aux couches

très minces formées de

_{grains indépendants.}

L’exis-tence de ces

_grains

a été _{d’ailleurs confirmée par} l’observation directe au

_{microscope électronique [4].}

L’épaisseur critique,

séparant

les deux _groupes, est différente d’un métal à

l’autre,

et d’autant

_plus

grande

que la

température

est

plus

élevée.

Les

_{propriétés optiques}

des couches continues doivent

_{pouvoir s’interpréter}

dans le cadre de la théorie

_{électronique}

des métaux, en _y

_ajoutant

l’hypothèse

de J.-J. Thomson. Nous nous _proposons

donc,

après

avoir résumé l’état actuel de la théorie des

_{propriétés optiques}

du métal massif

_(Chap.

_I),

de discuter les résultats des mesures de Kraut-kramer sur les métaux

Ag

et Au en couche continue

(Chap.

II).

Dans un dernier

_{chapitre, qui}

sera

_publié

plus

tard,

nous étudierons les

_propriétés

_optiques

des couches

_{granulaires, qui}

doivent être

_envisagées

d’un

_point

de vue différent.

I.

_Propriétés

_optiques

des métaux massifs

_[5].

- Soit K la constante

diélectrique

complexe;

elle est donnée en fonction de n

_(indice

de

_réfraction)

et k

_(coefficient

_{d’extinction)}

_{par la loi de Maxwell}

La

_partie

réelle n2 - k2

_représente

la constante

diélectrique

du

milieu,

fonction de la

_longueur

d’onde ~. et _que nous

_{appellerons s(~).}

La

_partie

imaginaire

2 n k : est liée à

_{l’absorption d’énergie}

par sec et cm3 : vecteur

_électrique,

v

_fréquence

de l’onde

lumineuse),

fonction

_également

de

~;

nous

_{appellerons cr (1. ) == nkv}

la conducti-bil ité pour la

longueur

d’onde ~.

Évidemment

c et s tendent vers les constantes

statiques E, et co.

Finalement,

le facteur de réflexion

sous incidence normale

r2,

est donné _{par la} formule

La théorie

_permet

de calculer les

_{fonctions s (/.)}

et

1. CRISTAL PARFAIT. ABSORPTION

PHOTOÉLEC-TRIQUE INTERNE. -

Supposons

d’abord un cristal

métallique parfait,

c’est-à-dire

_n’ayant

pas de traces

_{d’impuretés}

ni de

tensions,

et maintenu au

zéro absolu. Les électrons se classent alors en

d’après Minor _(Ann. der _Physik,

1903, 10, p. 581) : ~, et Kretzmann _(Id.,

37, p. 303) : Q.

-.-. a,.(),) calculée d’après la résistivité à o~C :

Po =

niveaux

_{énergétiques}

_disposés

par bandes

(zones

de

Brillouin),

entre

_lesquelles

il _y a des zones

_d’énergie

interdite. Les électrons des bandes

_{plus profondes}

restent attachés aux _noyaux formant le réseau

cristallin. La bande au-dessus

_(bande

de

conduc-tibilité)

est en

_général

en

_partie

_vide,

et les électrons

qui

l’occupent

sont libres. Entre cette bande de conductibilité et les bandes

_supérieures

vides,

il

peut

exister une zone

_d’énergie

interdite.

Un

_{photon d’énergie}

h v

_peut

être absorbé par le métal en

_provoquant

la transition d’un électron

d’un niveau

_occupé

dans une bande à un autre

vide

_appartenant

à une autre

bande,

la différence des

_énergies

étant

_égale

à c’est ce

_{qu’on appelle}

l’absorption photoélectrique

interne. La connaissance actuelle de la distribution des niveaux ne

_permet

pas un calcul exact de la

_probabilité

des

transi-tions,

d’où l’on tirerait la conductibilité correspon-dante

_[6].

_Néanmoins,

on

_peut

dire que

l’absorption

se

_produira

_pour les

_longueurs

d’onde inférieures à

_~1,

telle _que soit

_égal

à la

diffé-Fig. 2. -

a(i,) d’après Meir (Ann. der _Physik, 1910, 31, p. o ~ ~7) : ~, et Kretzmann : 0.

.-.-. OE,,(À) calculée d’après la résistivité à o°C :

po = _{2,04.10-6 Q} ,cm.

rence

_d’énergie

entre le niveau

_occupé

_supérieur

de la bande de conductibilité et le niveau

corres-pondant

de la zone immédiatement

au-dessus,

et

corresponde

à

_l’énergie

la

_{plus petite qui}

_peut

être absorbée par effet

photoélectrique

interne. Dans les

_figures

i et 2 sont

_{représentées}

les courbes

expéri-mentales de

_OE(À)

_{pour les métaux}

_Ag

et Au. L’on y voit les bandes

d’absorption photoélectrique qui

commencent à

_{~~~ ~}

0~,32o pour

l’argent

et à

_{i.1 N}

_pour l’or.

On _remarque tout de suite _{que les}

_{courbes a(/B)}

expérimentales

ne s’annulent pas

_{pour ~}

> en

_plus

de

_{l’absorption}

_{photoélectrique}

_{a ph} il y a une

_absorption

0’,. due au _{fait que} nous n’avons pas un cristal

_parfait

_{(voir 2).}

Il

_pourrait

aussi _y

avoir une contribution due aux transitions

secon-daires entre des zones

_{supérieures,}

normalement

vides ;

cette contribution

doit,

dans tous les cas, être

petite.

.

Le calcul de la

_dispersion

de la constante

diélec-trique E(v)

peut

se faire à l’aide de la formule de

Kramers-Heisenberg;

l’on obtient

₁₇₁

Le

_premier

terme

_correspond«

à la contribution des électrons liés aux _noyaux,

_occupant

les zones

polari-250

sabilités oc des ions

_[8].

Dans le

_visible,

on

_peut

admettre

/ t a 1 T

N étant le nombre d’ions _par cm3. D’autre

_part,

la considération des interactions entre les ions conduisent à la formule de Lorenz-Lorentz

Les deux formules donnent des valeurs nettement différentes pour

(s

-

l )ion;

dans le cas des ions

_Ag

et Au+ on obtient

suivant que l’on

applique

ou non la correction de

Lorenz-Lorentz;

la valeur correcte doit être inter-médiaire. C’est un’

_{point qui}

nécessite une étude

plus approfondie [9].

Les deux autres termes dans la formule

₍₁₎

correspondent

aux électrons

_occupant

la zone de

conductibilité;

n

_représente

le nombre effectif

d’électrons libres par atome,

qui

n’est pas néces-sairement entier et

_égal

au nombre d’électrons de

valence,

surtout

_lorsque

la bande de conductibilité est _presque

_{pleine (à}

la

limite,

_{lorsqu’elle}

est

pleine

n ==

o).

A est le nombre

d’Avogadro

et 12 le

volume

_atomique

du métal

_(en

cm3 _par

atome-gramme)

L’intégrale, appelons-la

peut

être

_{approximativement}

évaluée en utilisant les

courbes

_{expérimentales}

_après

avoir retranché

ce

_qui

ne se

_rapporte

_pas à

_{l’absorption}

photoélec-trique.

On obtient _{ainsi pour}

_l’argent

les valeurs suivantes :

-TABLEAU 1.

L’incertitude de _{la courbe u pour l’or} ne

_permet

pas de calculer

l’intégrale (8

---

correspon-dante ;

celle-ci doit être certainement

_plus

_grande

°

que pour

l’argent.

Nous obtenons donc _pour E, une

_expression

de la forme

avec

La correction

_[

I ₊

(s

-

i);on

+

(ê

- devient

constante et

_petite

dans

_{l’infrarouge;}

il est donc

possible

de déterminer

_)’0

à l’aide de mesures dans

l’infrarouge

lointain,

indépendamment

de cette correction. Ceci a été fait _par

_{Krônig [II]}

à

_partir

des mesures de

_Fôsterling

et Fréederickz

_[12];

en

reprenant

son calcul nous obtenons :

On a utilisé

_pour

les valeurs

_{correspondant}

à la

température

ambiante

_To,3).

Les

ren-seignements

que l’on

peut

tirer d’autres

phéno-mènes _{conduisent à penser que} n - i _{pour les} deux

Fig. 3. _{- - E (À) d’après} Minor : et Kretzmann : -.

0; x, G, après avoir _appliqué la correction

[1 I I

ou n = _{i , o.}

---

Errafum. - Sur la _figure, les _points noirs le _long de la courbe _supérieure, en haut à _gauche, ont été mis à la _place

due 8.

métaux

_[13],

les valeurs ci-dessus semblent donc

petites particulièrement

dans le cas du Au. De

nou-velles mesures dans

_{l’infrarouge}

semblent donc utiles.

Comparons

maintenant la théorie à

_{l’expérience}

pour le visible. Dans les

figures

3

et 4

on

a,repré-senté,

en traits

_pleins,

les courbes

_{expérimentales}

de

2013s(~),

et on les a

_comparées

aux

_{paraboles ()./ÀO)2,}

représentées

en traits

_pointillés.

Pour

_{l’argent après}

avoir

_ajouté

_{à - 8 (~)}

la

correc-tion

_{[ ~}

+

(E - I)iOl1

+

(E ---1 )pn]

tirée de

₍₂₎

et du Tableau

I,

on obtient un accord

satisfaisant,

surtout avec la

_{parabole correspondant}

à n = _I,

ainsi que

l’exige

la théorie

_générale.

Par contre, dans le cas de

l’or,

pour

lequel

la correction

_{[ 1 +...]}

ne

_peut

_pas être

calculée,

mais

qui

doit être _grosso modo constante dans

_{l’infrarouge,}

la courbe

_{expérimentale}

est

_parallèle

à la

_parabole

correspondant

à n =

0,75,

_ce

qui

semble confirmer

la valeur tirée de

_{l’infrarouge}

lointain,

mais est en

2. CRISTAL IMPARFAIT. ABSORPTION DUE A LA RÉSISTANCE. - Dans

un cristal

parfait

les atomes

du réseau n’offrent aucune résistance aux vibrations

des électrons

libres,

ceux-ci ne _{cèdent donc pas}

Fig. 4. 2013 2013s(X) d’après Meier : 8, et Kretztmann 0.

- - -

- (Ào/À)I avec n = _0,75.

d’énergie

lumineuse au

_réseau;

il

_n’y

a _que

_l’énergie

absorbée _{par effet}

_{photoélectrique.}

Par

contre,

dans un cristal

_imparfait,

les électrons libres subissent

des collisions avec les atomes

_déplacés

de leur

_position

d’équilibre

et

_échangent

de

_l’énergie

avec eux;

il y a donc une

_{absorption supplémentaire}

de

_l’énergie

lumineuse;

nous

_appellerons

_ur(2,)

la conductibilité

correspondante.

Pour tenir

_compte

d’une

_façon

formelle de cette

_{absorption d’énergie,}

ou si l’on veut de l’amortissement des vibrations des électrons

libres,

on introduit un

_temps

de relaxation z,

égal

à la moitié du

_temps

entre deux

collisions,

et _que l’on

_peut

écrire

où p a les dimensions d’une résistivité

_électrique.

Le libre parcours moyen

correspondant

1 sera défini

par - 1

v étant la vitesse des électrons libres

_occupant

le niveau le

_plus

élevé dans la bande de conductibilité.

On en tire

_{pour 1}

_{l’expression numérique}

~ étant écrit en Q.cm.

Évidemment,

pour des

longueurs

d’onde très

_grandes,

_{p doit coïncider} avec

la _{résistivité po}

_statique;

mais ce n’est pas

néces-sairement le cas _pour les

_longueurs

d’onde du

visible,

comme ce n’est certainement _{pas vrai pour} les

_longueurs

d’onde de l’ordre du libre _parcours moyen

1,

tiré de

₍₅₎

avec _p = _{p,. Nous} admettrons

néanmoins que p, et _par

_conséquent

r et 1 sont

indépendantes

de la

_longueur

d’onde. Le calcul conduit

_[i4L

dans ces

_conditions,

aux

_équations

où

p étant écrit en S2. cm et 1 en m _p..

Lorsque ~

- _cc, les formules

₍₆₎

doivent donner les constantes

_statiques

_{E, et ao. La formule pour} or

tend vers

_p-1=

comme il fallait

_s’y

attendre. Celle

_{correspondant}

à s, fournit

_{l’expression}

pour la constante

diélectrique

des

métaux;

formule

qui

peut

être _{utile par}

_exemple

dans les

_problèmes

de

_propagation

des ondes

_{électromagnétiques.}

Les formules

₍₆₎

sont

_applicables,

nous

_répétons,

aux électrons de la bande de conductibilité et ont été obtenues dans

_{l’hypothèse}

des électrons

complè-tement libres. Il faut donc

_ajouter

les contributions dues à l’existence du réseau et

_qui

ont été discutées

au

_paragraphe

1. En somme on arrive à une

expres-sion

générale

de la forme

Évidemment

ce sont des

_{expressions approchées;}

dans une deuxième

_{approximation [15]}

il faudrait tenir

_compte

de l’influence des

_{imperfections}

du réseau sur _{C7ph et}

_(e

-

Ainsi

_{qu’on peut}

le

voir,

il faut

que ~~°

> 0,01

pour que l’influence de la résistance sur la constante

diélectrique

soit notable dans le domaine considéré. Pour les métaux

_Ag

et

Au "0

o,o I ; c’est à cause de

A

les résultats

_{expérimentaux}

sans

_plus

attendre.

Par contre,

_{l’absorption}

due à la résistance est

toujours

notable et

_augmente

comme

_.2;

on

_peut

1

d’ailleurs

écrire,

_{lorsque /1,}

L

0,01,

Ceci

_peut

_choquer

à

_première

vue

_puisque

l’on sait que les métaux sont tous très bons réflecteurs pour

l’infrarouge;

il faut remarquer que

repré-sente

_{l’absorption}

_par

cm3,

or, dans une

_réflexion,

le fait d’une

_grande

_absorption

entraîne une très

faible

_{pénétration}

dans le

métal,

donc le volume de métal atteint est

_beaucoup

_plus

_petit

dans l’infra-rouge que dans le visible.

Entre les diverses causes

_{qui produisent}

l’irrégu-larité du réseau

_métallique,

on

_{distingue :}

10 la vibration

_thermique

des ions autour de leur

_position

d’équilibre;

20 la déformation des cristaux à cause

des tensions

_internes;

30 la

_présence

d’atomes

étrangers

(impuretés) qui

déforment aussi le

_réseau;

40

l’existence des surfaces de

_séparation

entre les divers cristaux d’un échantillon

_{polycristallin.}

Pour chacun de ces effets on

_peut

définir un

_temps

de

relaxation ri; d’autre

part I

signifie

le nombre de à,

collisions _{par seconde que subit} un

électron,

donc

en

_{première approximation}

le _{nombre total par} seconde de collisions de toutes sortes-, sera

donc,

d’après (10),

les

_absorptions

dues aux différents

effets

_s’ajoutent

en

_{première approximation.}

Sur les

_figures

i et 2 nous avons

_représenté

les courbes o-r _pour

_l’argent

et l’or en

_prenant

pour p la valeur de la résistivité du métal pur

à o° C

_{(Ag :}

_{== 7 4 P-;}

Au : po =

2,04.10-6

À-r;

= 66

[-1-);

l’on voit

que la vibration

thermique

ne _{suffit pas pour}

expliquer

les valeurs

_{expérimentales}

de ce, ceci se

comprend puisque

les

_expériences

de Minor et Meier ont été faites sur des métaux

_{polis profondément,}

ce

_qui

introduit des tensions et des

_impuretés

dans

ce

_{qu’on appelle}

la couche

_{polycristalline}

de

_Bailby.

D’ailleurs on _{remarquera que} les a- de

Kretzmann,

qui

a travaillé en obtenant des couches

_épaisses

par

évaporation

du métal dans le

vide,

sont nettement

plus

faibles;

les tensions ne sont _{néanmoins pas} inexistantes dans ces

couches,

ainsi que l’a

prouvé

Lovell

_{[ ~ ~~}

dans ses recherches sur la

conductibilité;

d’ailleurs,

elles sont

_{polycristallines}

_{ainsi que l’ont} établi les études par diffraction

électronique,

et finalement il est très difflcile d’éviter ’la

_présence

d’impuretés.

Dans tous les cas, la contribution des

différentes causes de résistance ne sera décidée _que par des mesures

_{plus soignées}

des constantes

optiques,

analogues

à celles faites par Lovell pour la conductibilité des couches

_épaisses.

II.

_{Propriétés optiques}

des couches

métal-liques

continues. -

Supposons

une couche

métal-lique plane parallèle

indéfinie

_{d’épaisseur}

d,

homo-gène

avec des constantes

optiques

n et

_k,

et

_placée

entre l’air et un

_support

non absorbant

(verre)

d’indice no* La théorie

classique permet

de calculer

assez facilement les facteurs de réflexion

_(Ra

côté

air,

Rv côté

_verre)

et transmission

_(T)

_pour l’inci-dence normale

_[17].

Les formules finales sont :

où

En appliquant

ces formules à une couche

expéri-mentale,

nous

_négligeons

naturellement la diffusion due aux défauts de

_planéité

de la surface et au fait que celle-ci n’est pas indéfinie. A titre

d’exemple,

nous avons

_représenté

sur- les

_figures

5 et 6 les facteurs

Ra,

Rv et T donnés _{par les formules}

₍₁₁₎

avec ~~ = 0,55 u,

supposant

pour n et k les

valeurs n =

o,1, k

=

3,7

et n =

o,Q5, k

= _2,6, et

suivant deux méthodes de

_{représentation}

différentes. Krautkramer

_[1]

a mesuré dans le

_spectre

visible les facteurs

Ra,

Rv et T

_{correspondant}

à des couches

d’argent

et d’or

_évaporées

dans le vide et

_déposées

’ sur du

_quartz.

Ses résultats

_{pour ~}

=

_{o,55 p.}

sont

reproduits

aussi sur les

_figures

5 et 6.

On constate tout de suite _que les

_points

expéri-mentaux de

Krautkramer,

qui

coïncident avec les courbes

_théoriques

_pour les couches

_épaisses,

s’en

éloignent

de

_plus

en

_plus

_pour les couches

minces;

en

particulier

celles-ci

_présentent

une

_absorption

plus

grande

que celle

qui

laisseraient

prévoir

les formules

_(11),

en admettant _que n et k sont

cons-tantes. La courbe

Ra ~

T _pour n et k constantes

présente

bien un

_léger

minimum dû à des réflexions

multiples;

mais il est loin d’être

_comparable

à celui donné _par les résultats

_{expérimentaux.}

Les

cons-tantes n et k sont donc variables avec

_{l’épaisseur;}

l’expérience,

ainsi que l’a fait

Haringhnizen

[18]

Fig. 5. _{-- R", R,,} et _{T, --R,, +} T; en fonction de

l’épais-~ seur (support

delquartz),

d’après les formules (11),

admet-tant n = _o,1, k = 3,7 _{pour toutes les} épaisseurs.

Q : R~l;1 : R~; X : T; Q9 : Rtt + T; d’après Krautkramer.

Fig. 6. - Au X _{=o,55~, n = 0,45, k = 2,6, no = 1,46.}

-

R,,, R" en fonction de T (support en quartz), d’après

les formules ₍₁₁₎ avec n = _{o,45, k} = _{2,6 pour toutes}

les _{épaisseurs, indiquées} à droite des courbes. o : R,,; 1 : R,,, d’après Krautkramer; les épaisseurs mesurées sont à gauche de _{quelques couples} de points.

Erratum. - Sur la figure, colonne de _gauche, 3e carré à

paitir da bas, lire : _{i 1,6} au lieu de : I,I6.

pour

l’or;

par

contre,

au-dessous les constantes n et

_{k ;diffèrent complètement.}

Krautkramer a

_entrepris

le

calcul,

à l’aide des formules

_(11),

des n et k

_{correspondant}

à

_chaque

~. et à

_{chaque épaisseur.}

Ceci est relativement facile si l’on connaît d

_{[17], qui}

est mesuré en admettant

que la densité du métal en couche mince est la même que celle du métal

massif;

ce résultat semble être d’ailleurs

_parfaitement

établi _par l’observation de la diffraction _{des électrons par des} couches minces

_[4].

Nous nous _proposons

_{d’interpréter}

les

cons-tantes n et k calculées _par

Krautkramer,

dans le

cadre de la théorie

_{électronique}

des

métaux,

parti-culièrement celles

_{correspondant}

aux couches

épaisses

(d

> 15

_m,u).

Pour les couches très minces les calculs de Krautkramer donnent des n et k très

différents;

or, nous savons _que ces couches ne

sont

_{plus homogènes}

mais

_{granulaires, l’épaisseur}

d n’est donc

_plus

définie et les formules

₍₁₁₎

ne sont pas directement

applicables;

en somme les calculs

de Krautkramer ont une valeur douteuse. Nous

reprendrons

dans le

_Chapitre

_III,

_qui

sera

_publié

ultérieurement,

la discussion des

_propriétés

_optiques

de ces couches.

Examinons donc les résultats

_{expérimentaux}

de Krautkramer pour

l’argent

et

_l’or,

d’abord du

_point

de vue de la constante

_{diélectrique}

_E, ensuite du

point

de vue de la conductibilité cr.

1. CONSTANTE DIÉLECTRIQUE. - Pour les

épais-seurs

_supérieures

_{à iom}

_(environ

3o couches

monoatomiques),

le schéma des niveaux

_{énergétiques}

ne doit pas être modifié sensiblement par

_rapport

à celui du métal massif. Donc on doit _supposer

que (j plu n,

S~,

et par

conséquent Ào

sont les mêmes;

on en déduit que la constante

_{diélectrique E}

=n2-k2 doit être aussi la

même,

pourvu n’ait pas

trop

varié.

Sur les

_figures

_{7 et 8} nous avons

_porté

les résultats

expérimentaux

de _{Krautkramer pour diverses}

épais-seurs

d;

dans le but d’éviter la

_{superposition}

des

courbes,

nous les avons

_déplacées

verticalement d’une

_quantité

variable,

_indiquée

à côté de

_chaque

courbe.

Pour

_{’l’argent (fig.}

_7),

utilisant la correction

[i

I ₊

(E

’-’

+

(8

’-

I)ph]

tirée de

₍₂₎

et du Tableau

I,

nous avons calculé les courbes tracées

en traits

_pleins

et

_{correspondant}

aux valeurs

de

_.0

_ou

2 ) données

au Tableau II. Pour d 15 m

p-(

12

les résultats

_{expérimentaux}

_prennent

une allure

différente,

qui

peut

être

_{interprétée}

_{par les formules}

254

TABLEAU II. - de

1-0 et _)’7 en

_fonction

de

_{l’épaisseur}

_pour ÀÎ.

- --- -

même que pour le métal massif

(00,

sur la

_figure

_7).

D’ailleurs,

en

_prenant

_{la moyenne} des valeurs

_{de n}

données par le Tableau II _pour et

en admettant S~ == io,3, _on tire pour n la valeur

Fig. 7. - - e(1,) d’après Krautkramer : ., pour diverses

épaisseurs de _Ag. Les _{points correspondant} à chaque épais-seur ont été _déplacés verticalement de la _{quantité indiquée} entre _{parenthèses.} - Courbes calculées

théoriquement;

- - courbes

expérimentales.

moyenne n ==

1,07, ce

_qui

confirme les résultats de Kretzmann sur le métal massif. On

_peut

néan-moins déceler sur le Tableau II une

_augmentation

très faible

_{de 0 )même}

pour On

pourrait

avancer, pour

expliquer

cette

augmen-tation,

_{l’hypothèse}

d’une diminution du volume

atomique

~2,

due à un effet de tension

_{superficielle.}

En

effet,

une diminution même faible de Q entraîne

une

_augmentation

de ~ ~

surtout

_lorsque

la bande de

conductibilité est _presque

_pleine.

_Or,

nous avons

déjà signalé

que les observations par diffraction

électronique

n’ont décelé aucune variation de Q

_[4].

Fig. 8. _{2013 - s (A) d’après} Krautkramer : _{e, pour diverses}

épaisseurs de Au. Les _{points correspondant} à _chaque

épaisseur ont été _déplacés verticalement de la _quantité

indiquée entre parenthèses. - Courbes

expérimentales.

Pour l’or

_8),

l’incertitude sur _o’ph ne

_permet

pas de faire des calculs

analogues;

l’on constate néanmoins que les courbes

_{expérimentales}

dessinées sont

_{pour d}

> ~ o à _peu

_près

parallèles,

ce

_qui

indique

que

1B0

est constante. D’autre

part,

elles

présentent

une

_pente

_{beaucoup plus}

_prononcée

que la courbe de Kretzmann pour le métal massif

(onc,

sur la

_figure

8).

Cette

_pente

doit conduire à

des valeurs de n N I, ce

_qui

serait d’accord avec la théorie

_générale.

_Quoi

_qu’il

en

_soit,

des nouvelles

mesures avec des couches très

_épaisses

de Au sont nécessaires. Pour les courbes

_prennent

positif)

et doivent être

_{interprétées}

sur la base de la formation de couches

_granulaires

_{(voir Chap.}

_III).

2. ABSORPTION. - Nous avons

_déjà

dit _que doit

être

_égale

à celle

_{correspondant}

au métal

massif,

en

tout cas _pour Par contre, en

_plus

des

facteurs connus déterminant la conductibilité OE,,,

il

doit

y intervenir un autre dû aux collisions des

électrons libres sur les

_parois

de la couche

_métallique.

Fig. g. - Résistivité p d’une couche d’épaisseur d : - courbe

théorique de Fuchs ; e : valeurs de p (Tableau II), calculées à partir des expériences de Krautkramer avec des couches de Ag; po == 5,2.10’~ .cm, 1 = _32,4

mp..

Habituellement on

_représente

la surface du métal

(supposée plane) simplement

par un saut de

l’énergie

potentielle

de

_{l’électron,}

constant sur toute la

surface;

dans ces

conditions,

les collisions sont

élastiques

et _{n’entraînent pas}

_{d’absorption d’énergie.}

Or,

il _{semble évident que,} même si la surface du métal est

_{parfaitement plane,}

c’est-à-dire même si elle coïncide avec un

_plan

réticulaire du

cristal,

le saut de

_potentiel

_{n’est pas le même} dans un

_point

occupé

par un ion que dans un

_point

_vide,

donc

les collisions ne

_peuvent

_pas être

_purement

élas-tiques.

On

_peut

alors choisir l’autre extrême et

supposer que les chocs sont

toujours inélastiques,

en

_particulier

_{que la direction des électrons}

_après

réflexion est

_{indépendante}

de la direction

inci-dente ; c’est-à-dire,

le _{libre parcours moyen des} électrons diminue à cause des collisions avec les

parois,

et ceci d’autant

_plus

que

l’épaisseur

d de la couche devient

_{plus petite.}

Cette idée a été introduite il y a

_longtemps

_{par J.-J. Thomson}

_[3],

et

_reprise

récemment par Lovell

[2]

pour

expliquer

ses belles recherches sur la conductibilité des couches minces. Finalement Fuchs

_[19]

a traité le

_problème

d’une

façon

générale;

la _{formule obtenue par Fuchs étant} très

_compliquée,

nous l’avons

_{représentée}

sur la

figure 9

en

prenant Po

comme ordonnées

_(en

échelle

po

logarithmique)

et T 0

comme abscisse

_(en

échelle

ordinaire);

po et

_1,

sont la résistivité et le libre

parcours moyen dans le métal massif

(dans

Po sont

comprises

toutes les causes

d’irrégularité

du

réseau :

_{température, impuretés,}

tensions,

..., les

tensions étant certainement très

_importantes,

ainsi

Fig. 10. -

OE(1,) d’après Krautkramer : e, pour diverses

épaisseurs de Ag. Les _{points correspondant} à _chaque

épaisseur ont été _déplacés verticalement de la quantité indiquée entre _{parenthèses.} - Courbes calculées

théori-quement ; - - courbes _{expérimentales.}

que l’a

prouvé

Lovell

_[16]),

_{p et 1 la résistivité} et le libre parcours moyen dans la couche

_{d’épaisseur}

d. Fuchs a d’ailleurs considéré un cas

_{plus général,}

admettant que dans les collisions avec les

_parois

il

y a une

_proportion

de collisions

_élastiques.

Les résultats

_{expérimentaux}

de _{Lovell pour la} conduc-tibilité

_électrique

des couches de Cs semblent

indiquer

que 2’

= _o

pour les

épaisseurs

très faibles

_(d

C

_1,),

mais au fur et à mesure _que d

s’approche

o,g. La courbe de la

figure

9

est celle

_{correspondant}

à E’ = _o, et nous admettons

qu’elle

reste _{valable pour} toutes les

_épaisseurs.

En revenant aux

_{propriétés optiques,}

nous avons

représenté,

sur les

_figures

1 o et les résultats

expérimentaux

de _{Krautkramer pour} OE. Nous

avons aussi évité la

superposition

des courbes _par

déplacement

vertical d’une

_quantité

variable

indi-quée

entre

_parenthèses

à côté de

_chaque

courbe. Dans le cas de

_{l’argent (fig. 10), signalons}

tout d’abord que les courbes

_{correspondant}

aux

_grandes

pour le métal

massif;

ceci semble

indiquer

que Krautkramer a mieux réussi à éviter les

_impuretés.

L’ensemble des courbes

_peut

être

_interprété

_{par la}

Fig. I i. - _{a (X) d’après} Krautkramer; 0,

pour diverses _épaisseurs de Au. - Courbes

expérimentales.

formule

₍₉₎

_pour OE, en utilisant les valeurs

de Ào

et

_À’t,

données dans le Tableau II. Pour d > i3,i m ~. cette

_{interprétation}

est

correcte,

et conduit à une

augmentation

de p avec

_{l’épaisseur}

décroissante

_qui

est

_indiquée

dans la dernière

_ligne

du Tableau II. Pour cette

_{interprétation}

n’est

_plus

valable;

nous avons

_déjà

dit

_qu’il

faut admettre que la couche est

granulaire

(aoir Chap. III).

Pour _essayer

_{d’expliquer l’augmentation}

de _p pour les faibles

épaisseurs (tout

au moins celle

correspondant

à nous avons

_porté

sur la

figure

9 les valeurs de p tirées du

P.

1 Tableau

II,

en

prenant

=

10,3,

et une valeur

n

due ==5,2.10.cm

(d’où 10

= 3 2,Q

telle que la valeur

expérimentale

p

pour d =

44

m _{p coïncide} avec la courbe

_théorique.

On constate _{que pour d r-} 18 _{m p.} =

o,56 1,

les

résistivités

_{expérimentales}

commencent à être

_plus

grandes

que celles calculées. Ceci

peut

être dû au

commencement d’une

_{agglomération;}

on

_peut

en

effet _penser

_qu’il

se

_produit

des fissures dans la couche

_(structure

en

_{mosaïques) qui}

reste à peu

près

continue du

_point

de vue des

_propriétés

optiques,

mais

_{qui présente}

de ce fait une

_plus

grande

absorption.

Pour les très faibles

_épaisseurs

finalement,

les valeurs _{de p} du Tableau II sont certainement

_{trop grandes}

et ne

_peuvent

_pas être

interprétées

par les collisions avec les

_parois;

l’aug-mentation de a- est alors certainement due à ce _que

la couche est

_granulaire.

Dans le cas de l’or

_{(fig. i i)}

_{et pour d > iomp.,} il est intéressant de

_signaler

_que

_{l’absorption}

photo-électrique

o-ph commence à la même

_longueur

d’onde

_{(À1 ~}

6oo _que

_pour

le métal massif

(00

sur la

figure);

ceci est une confirmation de ce

que la distribution des niveaux

énergétiques

ne

doit pas

changer

avec

_{l’épaisseur}

de la couche. D’autre

_parut,

on _{remarque aussi que aph}

_augmente

plus rapidement

avec 2, _{décroissant que dans la} courbe de Meier

_{(fla. 2)}

pour le métal massif.

Nous croyons

toujours

qu’il

est nécessaire de refaire des mesures avec des couches

_épaisses

d’or,

évaporées

dans un bon vide

_{(expériences analogues}

à celles de

_{Lovell), depuis}

l’ultraviolet

_jusqu’à

l’infrarouge,

celles faites

_jusqu’à

maintenant n’ont pas bénéficié de tous les soins

indispensables.

La différence de

_comportement

_{optique qui}

semble exister entre le métal massif et les couches minces continues doit être

confirmée,

d’autant

_plus

_{que le}

comportement

des couches minces continues est

plus

conforme à la théorie

_générale

du métal massif que celui du métal massif lui-même.

Pour les faibles

_{épaisseurs (d}

~ 10

_mp.)

les courbes de la

figure

II I

indiquent

un

_comportement

très

différent,

qui

doit être

_{toujours interprété}

_par l’existence de

_{grains indépendants.}

Manuscrit reçu le 12 _{juillet 1945.}

BIBLIOGRAPHIE.

[1] Ann. der _{Physik, 1938, 32, p. 537.}

[2] Proc. Roy. Soc., 1936, 157, p. 311; 1938, 166, p. 270;

1938, 172, p. 530.

[3] Proc. Camb. Phil. _{Soc., 1901, 11, p.} 120. [4] G. HAAS, Kolloid. Zeits., 1942, 100, p. 230.

[5] MOTT et JONES, Th. _of the _{properties of} metals and _alloys;

Oxford, 1936. 2014 A. H.

WILSON, Th. of metals,

Cam-bridge, 1936.

[6] MOTT et JONES, loc. _{cit., p. 99.}

[7] MOTT et _JONES, loc. _{cit., p.} 103.

[8] Voir dans V. VLECK, Electric and _magnetic

susceptibi-lities, Oxford, 1932, p. 225; une _{table pour $$ x}

= 403C0/3 A 03B1.

[9] WILSON, loc. cit., p. 135.

[10] Voir une table dans MOTT et JONES, loc. cit., p. 318.

[11] Proc. _{Roy. Soc., 1931, 133,} p. 255.

[12] Ann. der _{Physik, 1913, 40,} p. 201. [13] MOTT et JONES, loc. _cit., p. 315.

[14] MOTT et JONES, loc. _{cit., p.} III.

[15] FUJIOKA, Zeits. f. Physik, 1932, 76, p. 537; Sc. _Pap. I. P. C. R., Tokyo, 1933, 22, p. 202.

[16] Proc. Roy. Soc., 1938, 172, p. 530.

[17] P. ROUARD, Rev. d’Optique, 1938, 17, pp. 1, 61. 2014

M. PERROT, Ann. de _{Physique, 1944,} 19, p. 150.

[18] P. HARINGHNIZEN, D. A. WAS, A. M. KRINTHOF, Physica, 1937, 4, p. 695.