PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES MÉTALLIQUES

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PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES

COUCHES MINCES MÉTALLIQUES

F. Abelès

To cite this version:

F. Abelès. PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES

MÉTALLIQUES. Journal de Physique Colloques, 1968, 29 (C2), pp.C2-37-C2-49.

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 2, supplément au no 2-3, Tome 29, Février-Mars 1968, page C 2

-

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PROPRIETES

DE TRANSPORT

ET

OPTIQUES

DES COUCHES MINCES

METALLIQUES

par F. ABELES

Faculté des Sciences de Paris et Institut d'optique (*)

Résumé. - On discute quelques problèmes relatifs au transport de charges dans les couches minces métalliques. Dans le cas de la résistivité, on montre que le coefficient de réflexion des électrons de conduction sur les surfaces des couches n'est pas nul, et qu'il est souvent supérieur à 0,s ; on souligne quelques difficultés liées aux mesures de résistivité aux basses températures. Ensuite, on passe en revue les résultats les plus récents obtenus dans l'étude de la magnétorésistance. Enfin, on examine l'effet de peau faiblement anormal dans les couches minces, lorsque l'épaisseur de la couche, la profondeur de pénétration de l'onde électromagnétique et le libre parcours moyen sont du même ordre de grandeur.

Abstract. - Some problems related to clectron transport in thin metallic films are discussed. In the case of electrical resistivity, it is shown that the diffusion parameter of the conduction elec- trons at the surfaces of the films is greater than zero and often exceeds 0.5. Some difficulties connec- ted with resistivity measurements at low temperatures are pointed out. The latest results from the study of magnetoresistance are reviewed. Finally, some theoretical and experimental results on the anomalous skin clïect in thin films are presented.

Le texte qui suit représente en gros la substance d'un exposé sur certaines propriétés de transport et optiques des couches minces métalliques normales. II s'agissait, dans mon esprit, d'essayer de présenter, aussi claire- ment que possible, l'état actuel de la question et de profiter de cette occasion pour présenter certains résul- tats récents obtenus dans nos laboratoires. On ne trouvera donc pas, dans le texte qui suit, un exposé bibliographique complet de la question. Ce sera plutôt un exposé critique et qui se limitera à des problèmes de résistance, de magnétorésistance et d'effet de peau anormal dans les couches minces, les phénomènes qui font intervenir un gradient de température en étant déli- bérément exclus. Le titre donné peut paraître un peu présomptueux et je m'en excuse d'avance.

Les recherches sur les propriétés de transport des couches minces poiirsuivent plusieurs buts. Elles doi- vent servir a mesurer le libre parcours moycn I des électrons de conduction, l'épaisseur d de la couche servant d'unité de longueur. D'autre part, elles font une large place à l'interaction entre les surfaces limitant la couche et les électrons de conduction. L'intervention du champ magnétique H oblige à introduire une nou- (*) Laboratoirc associk au Centre National de la Recherche Scientifique.

velle longueur : le rayon i. = muc/eH de l'orbite décrite par un électron libre de masse m, de vitcsse u, portant la charge e . Les expériences effectuées en présence d'un champ magnétique permettent donc d'obtenir la valeur de la quantité de mouvement mv des électrons sur la surface de Fermi. Les mesures optiques, dans I'infrarouge, font intervenir encore l e t l'interaction électrons- surfaces ainsi qu'une masse moyenne des électrons de conduction que nous appellerons masse optique m,. Tels sont les paramètres qui nous serviront à décrire les propriétés des couches minces métalliques.

Un certain nombre de points obscurs subsistent encore. En particulier, I'interaction des électrons de conduction avec les surfaces est décrite phénoméno- logiquement depuis Fuchs [ l ] par lc paramètre p que nous introduisons au paragraphe suivant. Il est certain quc celui-ci ne fournit qu'une première approximation et qu'il serait très souhaitable d'avoir une description plus fine de ces interactions. Un effort en ce sens a été fait récemment par Greene [2]. 11 me semble qu'un résultat nouveau obtenu par cet auteur concerne le fait que p n'a pas la même valeur, pour une couche donnée, lorsqu'on étudie sa résistivité ou sa magnétorksistance. D'autre part, ainsi que cela sera signalé à la fin de l'exposé, il n'est pas non plus certain que 1 ait la même

(3)

valeur, pour une triques statiques appliqués.

couche donnée, dans les champs élec- ou de très haute fréquence (optique) 1. Résistivité des couches minces. - 1 . l . R É ~ U L T A T S THÉORIQUES GÉNÉKAUX. - NOUS commencerons par le problème le plus simple, à savoir la résistivité d'une couche mince. Il permet de préciser certaines notations et notions. Historiquement, c'est aussi le premier problème de transport dans les couches minces qui ait été traité. Sa solution complète, telle que nous l'utilisons encore aujourd'hui, a été trouvée par Fuchs [ l ] il y a une trentaine d'années et un exposé complet de l'état de laquestion il y a environ quinze ans peut être trouvé dans l'article de Sondheimer [3], qui traite à peu près les mêmes problèmes que nous.

Soit p la résistivité d'une couche mince d'épaisseur d et p, l'épaisseur qu'elle aurait lorsque d + m. Il convient de bien préciser que p, n'est pas nécessaire- ment la résistivité du métal massif; c'est la résistivité qu'aurait le métal massif s'il avait la même distribution d'imperfections que la couche mince. Si l'on admet que la loi de Matthiessen est valable, on peut écrire, pour le métal massif, p, = p,,,

+

p,, où p,,, et p,, représentent respectivement la contribution apportée à la résistivité totale par la diffusion des électrons de conduction par les phonons et par les imperfections du réseau cristallin du métal. Pour un métal pur, on a, en général, p,,, b p m i à la température ambiante T, ce

-

qui permet d'écrire, pour T

-

300 OK, p, - y,,,. Dans les couches minces, la densité et l'importance des défauts sont, en général, plus grands que dans le métal massif. On ne pourra donc pas écrire p,

=

y,,, et il faudra bien tenir compte de p,,, ce qui signifie qu'on aura p, supérieur à celui qui correspond au métal massif. Depuis Fuchs, on introduit un paramètre, purement phénoménologique, que nous désignerons par la let- tre p. II représente la fraction des électrons de conduction qui subit une réflexion spéculaire (avec conserva- tion de la quantité de mouvement) sur les surfaces de la couche, celles-ci intervenant de façon tout à fait symé- trique. D'après sa définition, O

<

p

<

1, p = O signi- fiant, par exemple, une réflexion purement diffuse. Nous appellerons p, coefficient de réflexion des élec- trons. L'importance des surfaces de la couche sera d'autant plus grande quep est plus petit. En particulier, lorsque p = 1, p = p,. Les calculs de Fuchs ont été

faits en supposant une surface dc Fermi sphérique et c'est aussi ce que nous supposerons dans la suite de cet exposé, tout en signalant qu'il existe des calculs relatifs à des surfaces de Fermi plus compliquées [4, 51. On trouve que plp, est une fonction de

K

= dl1 et de p

Dans le cas des métaux massifs, on sait que p, 1 est une constante, indépendante de la température, ainsi que de la nature et de la densité des imperfections, tout au moins tant que celle-ci n'est pas trop forte. Il est alors, parfois, préférable de remplacer la relation (1) par P ~ P , 1 =

Kf

(K, P) (2) qui présente l'avantage de rassembler dans le membre de gauche uniquement des grandeurs mesurées (pet d ) OU connues (p, 1).

Nous ne discuterons pas davantage la théorie, car ceci nous entraînerait trop loin, d'autant plus que l'article de Sondheimer [3] déjà cité en contient l'essentiel. 1 . 2 RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. - Ainsi que nous l'avons indiqué dans l'introduction, nous présenterons aussi quelques résultats récents obtenus, dans notre laboratoire, par MM. Broquet et Van et, dans le laboratoire que dirige M. Croce, par M. Devant. Les couches étudiées sont toujours des couches d'or. Elles sont préparées par évaporation sous vide sur support amor- phe (verre ou silice fondue). Précisons que, pour ce métal et à la température ambiante, p,,, = 2,20 pflcm, p, 1 = 838 x IO-' pRcm2, ce qui conduit, pour le

(4)

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES C 2

-

39

L'épaisseur des couches était mesurée par interférences de rayons X. La deuxième colonne contient les valeurs des résistivités des couches mesurées à la température ambiante. On constate que p > p,,,. Si l'on néglige p,,, c'est-à-dire l'influence des imperfections de la couche, en posantp, = p,,, = 2,20 pQcm, on obtient les valeurs de K = dl1 correspondant à chaque couclie qui sont consignées dans la troisième colonne du tableau, et on détermine certaines valeurs du coefficient de réflexion des électrons, qui sont présentées dans la cinquième colonnc du même tableau. Ces valeurs de p

sont des valeurs minimales ( p , , , ) ; si p , > p,,,, comme ccla est certainement le cas en réalité, alors p > p,,,,. Le résultat important qui découle de l'exa- men de ce tableau est donc que, même pour des couches très minces (d = 120

A),

le coefficient de réflexion des électrons de conduction peut être différent de zéro et même supérieur à 0,5. Un raisonnement simple, et probablement incorrect, laisserait penser que p est voi- sin de l'unité si la perfection de la surface est de l'ordre de la longueur d'onde associée aux électrons. Dans notre cas, ceci signifierait que la surface est parfaite à l'échelle atomique, ce qui est peu probable. Ces exem- ples sont destinés à montrer que l'on peut avoir des couches très minces pour lesquelles p est voisin de l'unité, sans d'ailleurs que cela implique quoi que ce soit au sujet de p,,, c'est-à-dire au sujet de la (( perfec-

tion en volume )) de la couche.

Un autre exemplc que nous voulons présenter maintenant est tiré des mesures effectuées par MM. Broquet et Van sur des couches minces d'or. La figure 1 repré-

est presque parallèle à p,,,(T). En fait, le parallélisme n'est plus rigoureux pour T

5

170 OK, ainsi qu'on peut le voir sur la figure 2 qui représente la différence

FIG. 2 . - Différence A entrc la résistivité d'une couche mince d'or d'épaisseur 514 X et celle duc aux phonons dans I'or massif.

p - p,,, en fonction de la température. Pour l'analyse des résultats, on a procédé de la façon suivante : on a utilisé la relation (2) en supposant que p est une quan- tité indépendante de la température. Dans ces condi- tions, p étant choisi d'avance et p , I étant connu, on déduit de (2) une valeur de pi pour chaque valeur de T. On admettra que p a la valeur exacte lorsque p i ( T ) est constante. La figure 3 représente les résultats obtenus

FIG. 3. - ~ ' ( 7 ) pour la couche prkcédente, calculé pour

différentes valeurs de p et avec p , 1 =: 838 x 10-14 QcmZ.

FIG. 1 . - Variations de la résistivité d'une couche mincc d'or d'épaisseur 514 A en fonction de la température, ainsi que ccllcs de I'or massif.

sente les variations de p avec la température Tpour une couche mince d'épaisseur d = 514 A, mesurées entre 20 OK et la température ambiante. On constate que p ( T )

(5)

FIG. 4. - Mêmes calculs que pour la figure 3, mais avec p, 1 = 600 x 10 -14 Slcm2.

de p telle que p i ( T ) soit une constante. La figure 5 représente les résultats obtenus en supposant que p , 1 = 1 000 x pRcm2. On constate qu'il existe la solution p = 0,3 et pi = 0,23 pQcm. Ceci signifie qu'il est impossible de s'assurer de la valeur de p, 1 uniquement à partir de mesures de la résistivité d'une couche mince en fonction de la température.

FIG. 5. - Mêmes calculs que pour les figures 3 ct 4, mais avec p, 1 = 10 1 1 Rcm2.

et d

<

1. Leurs résultats sont donnés sur la figure 6 , qui représente qualitativement la variation de p avec T. La courbe inférieure en trait plein est relative au métal massif; la courbe supérieure en trait plein est relative à une couche très mince, tandis que la courbe en traits interrompus est celle qui représente la formule de Fuchs, c'est-à-dire la relation ( 1 ) . Dans le métal massif, la résistivité résiduelle est atteinte lorsque le libre parcours moyen dû aux interactions électrons-phonons, lph, est pratiquement égal à celui dû aux interactions électrons-imperfections, l i , c'est-à-dire lorsque l p h

=

l i . Dans la couche mince, par contre, l'effet de la diffusion sous petit angle devcnant important, la résistivité rési- duelle n'est atteinte qu'à une température beaucoup plus basse, pour laquelle lph(T/0)*

=

l i . Cette variation de la résistivité d'une couche mince en fonction de la température n'a jamais encore été observée, à notre connaissance, malgré des essais faits dans ce but [9]. L'échec peut provenir de ce que la théorie n'est pas encore bien au point.

1 . 3 REMARQUE AU SUJET DE LA RÉSISTIVITÉ DES COU- CHES MINCES MÉTALLIQUES A U X BASSES T E M P ~ R A T ~ R E S . Ainsi que l'ont remarqué Blatt et Satz [7], aux basses températures la diffusion des électrons par les phonons est surtout une diffusion sous petit angle, de l'ordre de T/O, O étant la température de Debye. Dans les métaux massifs, ceci conduit à une variation en T5 pour p,,,. Dans une couche mince, par contre, pour laquelle p < 1, les électrons, même diffusés sous un petit angle, risquent de rencontrer la surface et la résis- tivité de la couche s'en trouvera particulièrement augmentée. Le calcul a été fait par Azbel' et Gurzhi [8], d'une façon assez qualitative, pour le cas où p =

O

FIG. 6 . - Variation de 1) en fonction de la température pour une couche métallique tellc que cl

<

I et p = 0, d'après Azbel' et Gurzhi [8]. En trait plein : variations dc p pour une couche mince (courbz supérieure) ct pour le métal massif (courbe inférieure); en traits interrompus : variations de p d'après la formule dc Fuchs.

(6)

PROPRIÉTÉS D E TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES C 2 - 4 1 métaux aux basses températures les parts prises par les

processus de diffusion normaux et (( umklapp »,

2. Magnétorésistance. - Dans ce cas, plusieurs orientations du champ magnétique H appliqué par rapport au plan de la couche mince sont possibles. Il y a trois orientations principales qui sont représentées sur la figure 7 : a ) H est perpendiculaire à la couche, ce qui donne lieu à ce que l'on pourrait appeler une magnéto- résistance transversale ; b) H est dans le plan de la couche, mais perpendiculaire au courant ; c) H est encore dans le même plan, mais parallèle au courant, d'où le nom, parfois, de magnétorésistance longitudinale. Le cas b) est parfois appelé (( géométrie de

MacDonald », parce que les premiers qui l'ont étudié furent MacDonald et Sarginson [IO].

' (al

( b

l

(cl

FIG. 7. - Orientation du cliamp magnétique H par rapport au champ électrique appliqué E. (a) H perpcndiculaire à E et à la couche mince ; ( h ) H perpendiculaire à E, mais dans Ic plan d e la couche mince ; (c) H paralléle à E.

D'une façon générale, lorsqu'on applique un champ magnétique, une nouvelle longueur s'introduit naturellement : c'est le rayon r de l'orbite circulaire que décrit un électron libre dans le champ H et que nous appelle- lerons parfois (( orbite cyclotron )). On sait que

r = mucleH, m et c représentant, comme d'habitude, la masse efficace et la vitessc de l'électron. Ainsi donc, les mesures de magnétorésistance fourniront des rensei- gnements sur la quantité de mouvement des électrons à la surface de Fermi. Pour fixer les idées, signalons que pour un métal normal r

-

1OIH cm lorsque H est exprimé en gauss, donc r

-

1 pm pour un champ magnétiquc de 100 kilogauss.

Dans toutes les mcsures de magni.torésistance, un problème délicat est celui qui est posé par la magnéto- résistance du métal massif. En effet, dans le modèle des électrons quasi libres, qui sert de base aux calculs relatifs aux effets de dimension, il n'y a pas de magnéto- résistance pour le métal massif. En fait, on sait que celle-ci existe. Il faut donc l'extraire de la valeur de p

mesurée sur une couche mince pour obtenir une valeur comparable aux résultats du calcul. Ceci est très difficile et l'on utilise souvent une modification de la règle

de Kohler proposée par Olsen [Il]. Il convient de se souvenir de ces difficultés lorsqu'on essaie une compa- raison quantitative entre théorie et expérience. Par contre, la position des maximums et minimums ren- contrés ne devrait pas être influencée par ces correc- tions.

2.1 MAGNÉTORÉSISTANCE TRANSVERSALE.

-

Ce cas est le plus simple à étudier du point de vue théorique, car le champ de Hall qui apparaît est situé dans le plan de la couche mince et il est donc constant. Pour la formulation mathématique du problème et pour sa solution dans le cas où p est quelconque on pourra se reporter au mémoire original de Sondheimer [12]. Le fait intéressant à signaler, ce sont les oscillations de la résistivité d'une couche mince métallique lorsqu'on fait varier le champ magnétique appliqué. Lorsque H = O, p est donné par la formule de Fuchs. L'augmentation de H se traduit par une augmentation initiale de p , suivie d'oscillations de cette grandeur. Les maxima ont lieu lorsque

P

= d/r prend les valeurs 1, 7, 13, 19,

...

et les minima ont lieu pour

P

= 4, 10, 16,

...

La figure 8 représente les variations théoriques et expé-

1 I 1

O 50 100 150 200 210

Hd (O. cm)

FIG. 8. - Variations d e p avec Hd pour deux échantillons minces d'aluminium tels que di1 = 0,30 (Sp. 8) et 0,18 (Sp. 7).

d'après Forsvoll et Holwcch [13].

(7)

1 I I

O 15 30 45 60

Hd (Oc cm)

FIG. 9. - Mêmes quantités que dans la figure précédente, mais pour des échantillons tels que d l - 0,047 (Sp. 3) ; 0,028 (Sp. 2) ; 0,017 (Sp. l), d'après (13).

des oscillations avec l'épaisseur des films. Les positions des extremums des courbes relatives aux différents films permettent la détermination de la quantité de mouvement des électrons de conduction. La figure 10 représente la droite théorique obtenue en traçant la relation Hd = (e/muc)fi avec mu = 1,33 x IO-" gcm/sec ainsi que les points expérimentaux. Des écarts apparaissent pour

fi

> 16.

Dans la thCorie telle que nous l'envisageons dans cet exposé, c'est-à-dire pour des surfaces de Fermi sphé- riques et isotropie de la distribution des électrons, p = p, lorsque p = 1, même lorsqu'on applique un champ magnétique. Les figures 8 et 9 supposaient que

p = O. Lorsque O < p < 1 , les oscillations sont plus amorties ; elles le sont d'autant plus que p est plus grand et disparaissent, bien entendu, lorsque p = 1. Ce qu'il faut remarquer, c'est que la position des extremums ne dépend ni de la valeur de p ni de celle du rapport dl/.

FIG. 10. - Hd en fonction de II = d/r ; points théoriques et cxpérimcntaux. La droite représente la fonction Hd = (elmuc) avec mu -: 1,33 x 10-19 gcm/sec. D'après Forsvoll et Hol-

wech [13].

2 . 2 MAGNI~TORÉSISTANCE DANS LA GÉOMÉTRIE DE MACDONALD.

-

Ce cas est particulièrement difficile à étudier théoriquement en grande partie parce que le champ de Hall est maintenant perpendiculaire à la couche et varie dans le sens de l'épaisseur. Le premier calcul a été fait en supposant que ce champ est constant dans toute l'épaisseur de la couche (MacDonald et Sarginson [IO]). Nous savons maintenant que ceci n'est certainement pas correct, même en première approximation. Un calcul qualitatif a été fait par Azbel' [14], dans lequel on examine les différents types de trajectoires électroniques possibles ainsi que la fraction du nombre total des électrons de conduction qui parcourt celles-ci. La figure 11 représente les trois gen-

FIG. 1 1 . - Les diverses trajectoires des électrons dans une couche mince placée dans un champ magnétique agissant dans le plan de celle-ci. (D'après Azbel' [14].)

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PROPRIÉTÉS D E TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES

FIG. 12.

-

Allure de la courbe représentant les variations de p avec H lorsque le champ magnétique est dans le plan de la couche mince et perpendiculaire à la direction du courant, d'après Azbel' [14].

tions de p en fonction de H ; elles sont représentées schématiquement sur la figure 12, d'après Azbel' 1141. Dans les champs très faibles, tels que r

>

12/d 9 1, la résistivité commence par diminuer : elle est de la forme

p = A ,

-

B , H Z c t son minimum correspond à

r

-

12/d, c'est-à-dire

p

-

(d/1)2. La résistivité augmente ensuite comme A ,

+

B,/ln(H,/H), passe par un maxi- mum pour r

-

(ld)'I2, c'est-à-dire /?

-

(d/1)li2 ; elle diminue ensuite comme A ,

-

B , H jusqu'à 2 r

-

d. Pour des champs plus intenses, la résistivité reste

constante et égale à celle du métal massif. Ceci se com- prend facilement : lorsque 2 r < d, le champ magné- tique est suffisamment fort pour empêcher les électrons de rencontrer les surfaces de la couche mince ; ceux-ci

1 2 3 4

FIG. 13. - Résultats des calculs de Ditlefscn et Lothe [15] pour les variations d e p en fonction de B = d/r pour trois couches minces d'épaisseurs telles que K = d / l - 0,028 ; 0,100 ; 0,644.

Hd (Oe cm)

(9)

ignorent donc qu'ils se trouvent dans un film et non dans le métal massif.

Plus récemment, Ditlefsen et Lothe [15] ont fait le calcul de p par la méthode Monte-Carlo (simulation du trajet des électrons). Leurs résultats sont représentés sur la figure 13. Les trois courbes correspondent à trois valeurs différentes du rapport d/f. On constate, ainsi que le prévoyaient les résultats d'Azbel' [14], que p

passe par un maximum pour rester constant dès que d/r > 2. Le minimum de p , par contre, n'a pas été trouvé par Ditlefsen et Lothe, malgré une étude assez poussée du cas où d/r

<

1.

Les résultats expérimentaux sont peu nombreux. La figure 14 représente les variations avec Hd de p/p,

pour divers films d'aluminium, d'après Forsvoll et Holwech [13]. Le maximum correspmd, pour tous les films, à d / r

-

0,55, ainsi que la théorie le prévoit. Par contre, il est difficile d'affirmer quelque chose au sujet du minimum de p, qui est pourtant visible sur les qua- tre échantillons les plus épais. Essayons de donner une idée de la valeur de H qui correspondrait au minimum de p pour l'échantillon sur lequel ce minimum est le plus visible et qui est tel que dl1 = 0,047. Compte tenu de ce que d = 40 Pm, on trouve, d'après Azbel', que p est minimum lorsque H atteint une valeur de quelques gauss, ce qui est assez difficile à mesurer. En résumé, disons qu'il y a là un problème qui est encore loin d'être résolu.

2 . 3 MAGNÉTORÉSISTANCE LONGITUDINALE. - Le problème est analogue au précédent, mais l'expression de la résistivité peut, cette fois, être mise sous la forme d'une intégrale multiple (Kanigsberger [16]), à condition que p = O. Le cas où p # O n'a été étudié jusqu'à présent quc d'une façon très générale par Azbel' [17] et on ne connaît pas du tout la façon dont la résistivité des couches minces varie avec H ou avec 1. Quelques calculs numériques ont été faits par Yi-Han Kao [18]. Ici encore, d'après Azbel' [14], on devrait avoir, lorsque H varie, d'abord un minimum de la résistivité pour r

-

f2/d, mais Kao n'indique pas un tel minimum. Toutefois, il est possible que ceci lui ait échappé, si les valeurs de d/r voisines de zéro n'ont pas été étudiées attentivement. La figure 14 reproduit les seuls résultats obtenus par Kao. Le maximum de p pourrait être repré- senté, lorsque O, 1

<

dl1

<

1, par l'expression

à mieux que 10 "/, près, d'après Kao, ce qui est en bon accord avec le résultat obtenu par Azbel' 1141 : d/r

-

(d/l)Ov5.

Les résultats expérimentaux les plus récents sont ceux obtenus par Chopra [19] sur des couches d'argent

I / p

Fiü. 15. - Variations de la magnétorésistance longitudinale avec 1/p = d/r pour des couches telles que a : ci/[ = 0,01 ;

0,l ; 0,5 ; 1 et 1,5. D'après Yi-Han Kao [18].

épaisses de 1 à 3 pm et soumises à des champs magnéti- ques atteignant 150 kilogauss. Ses résultats paraissent en accord avec les calculs de Kao, mais leur interpréta- tion laisse beaucoup à désirer.

3. Effet de peau anormal dans les couches minces.

-

Nous examinons maintenant les propriétés optiques des couches minces métalliques dans le proche infrarouge, en supposant qu'il s'agit de fréquences trop basses pour qu'il puisse y avûir absorption par transi- tions interbandes. Dans ces conditions, le problème peut être envisagé comme étant l'étude des phéno- mènes de transport dans des champs haute-fréquence. Soient A, = (zm, C ~ / N ~ ~ ) ' / ~ la longueur d'onde de plasma pour les électrons de conduction, m, étant leur <( masse optique )) et N leur nombre par unité de

volume, et A, = 2 ncr leur longueur d'onde de relaxa-

(10)

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES C 2 - 4 5

Nous nous placerons essentiellement dans la région de longueurs d'onde d qui est telle que A,

<

A

<

A,.

Une telle région existe en tout cas pour les métaux nobles (Cu, Ag et Au) et correspond à 3, compris entre un et quelques microns.

L'utilisation de l'équation de Boltzmann, qui intervient dans le calcul de tous les phénomènes de transport, permet d'aboutir, pour le métal massif, aux formules de Drude exprimant la cûnstante diélectrique E = c l

+

it2 en fonction de la longueur d'onde (voir, par exemple, à ce sujet l'ouvrage de Ziman [20]) :

P étant une quantité pratiquement constante par laquelle on tient compte de la contribution à E de I'absorption interbande et de la polarisation des couches atomiques profondes. Lorsque A

<

?.,, on peut négliger les termes en devant l'unité dans les dénomi- nateurs des fractions des expressions (3) et (4).

Même pour les métaux massifs, ces résultats ne sont pas tout à fait valables, car ils supposent que le champ électrique a la même valeur en tous les points du métal. En réalité, dans la région spectrale que nous envisageons, l'onde incidente est amortie exponentiellement en pénétrant dans le métal, la profondeur de pénétra- tion étant constante et égale à 6 = Âo/2 n. Pour les métaux nobles, à la température ambiante, 6 est du même ordre de grandeur (quelques centaines d'Ang- stroms) que le libre parcours moyen 1 des électrons de conduction. Il s'ensuit que l'hypothèse relative à la constance du champ électrique n'est plus valable et il en résulte ce que l'on désigne, improprement peut-être, sous le nom d'effet de peau anormal. Cet effet n'est pas une anomalie : il se manifeste toutes les fois que 1

2

6. Dans le cas des couches minces, les phénomènes se compliquent encore. Pour que leur transmittance Tsoit mesurable, leur épaisseur ne doit pas être beaucoup plus grande que 6. La théorie de l'effet de peau anormal pour les métaux massifs, déjà assez complexe, a été faite par Reuter et Sondheimer [21] et complétée ensuite par Dingle [22] pour le cas des fréquences optiques. On constate que les expressions (3) et (4) restent valables à condition de remplacer 1/),, par

Ceci signifie encore que les mesures fournissent A: et non A,. Dans le cas des couches minces, il y a, en plus,

un effet de dimension à envisager. Le calcul a été fait d'abord par Dingle [23] pour le cas d'une couche mince sans support et en supposant que p = O. Le cas général (p quelconque et couche avec support) a été résolu récemment par Ml1' Thèye, dans notre labora- toire. Les expressions de la réilectance R et de la transmittance Ten fonction de A sont telles que :

où no et n, représentent les indices de réfraction du premier milieu (en général l'air) et du dernier milieu (support) et A représente l'absorptance de la couche (fraction de l'énergie incidente absorbée par la couche). Les paramètres caractéristiques de la couche (A,,

).,,

p e t

P)

interviennent dans les expressions (6) et (7) d'une façon très simple. On constate qu'aussi bien 4 no n,/T que 12, AIT sont des droites en fonction de ib2, dont les pentes peuvent être déterminées avec une bonne pré- cision. La figure 16 montre les résultats obtenus pour une couche d'or d'épaisseur 158

A.

Les mesures ont été faites dans le domaine spectral compris entre 1 et 2,5 pm et l'on constate que les nombreux points expé- rimentaux sont parfaitement alignés.

L'analyse des résultats expérimentaux procédait jusqu'à présent de la façon suivante : à partir de R et T, on déduisait c à l'aide des formules classiques relatives aux couches minces et l'on utilisait ensuite les expressions (3) et (4) avec A, remplacé par A: d'après (5) pour obtenir A, et une relation entre A, et p. L'utilisation des droites données par (6) et (7), est non seule- ment beaucoup plus simple, mais conduit à des résul- tats plus précis lorsque d

5

6. Dans le cas de la couche d'or que nous venons de présenter, on a dl6 = 0175. On en déduit par l'analyse exacte m, = 0,928 m et

au lieu de n;, = 0,944 m et

(11)

Y/ I 1 1 1 I 1 I

_

O 1 2 3 4 5 6 7

FIG. 16. - Variation en fonction dc A2 des quantités 4 no ns!T

et rrs AITpour une couche mince d'or d'épaisseur 158 A.

calcul de E . Le libre parcours moyen des électrons de conduction est proportionnel à IV,, car 1 = (v/2 nc) I.,. La figure 17 présente les variations de 1 en fonction d e p

FIG. 17. - Relation entrc le libre parcours moyen ct le coeficient de réflexion p des électrons dc conduction déduite des propriétés optiques d'une couche mince d'or d'épaisseur 158 A en tenant compte dc l'effet de dimension (trait continu) et sans en tenir compte (trait interrompu).

telles qu'elles résultent des formules exactes (traits continus) et des formules qui négligent l'effet de dimension (traits interrompus). Lorsque p = O, les écarts atteignent plus de 20

%.

L'expression (6) montre que la transmittance d'une couche mince ne dépend, dans les conditions déja exposées, que de la profondeur de pénétration

D'autre part, nous avons vu que 6 est directement lié à m,. Or, en première approximation tout au moins, la masse optique ne sera pas très influencCe par la pré- sence de défauts dans la couche. Il s'ensuit que T aura la même valeur pour deux couches du même métal de même épaisseur et ne diIIerant que par le nombre et la nature des défauts (ceci n'étant valable qu'entre certaines limites, naturellement). La figure 18 permet de

FIG. 18. - Variations, en fonction de A, de la transmittance d'une couche mince d'or avant (trait continu) ct après (points) recuit.

(12)

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES

-

AVANT R E ~ T

Fie. 19. - Variations, en fonction de?., de la réliectance de la même couche mince d'or avant (trait continu) et après (points) recuit.

4. Remarques finales. - a ) Nous avons rappelé que, dans le cas des métaux massifs, le produit p, 1 est une constante. Précisons ici que cette constante est inversement proportionnelle à l'aire de la surface de Fermi libre. En fait, il est de plus en plus évident actuel- lement que, pour un métal donné, p, 1 peut varier d'un échantillon à l'autre, même pour des échantillons très purs. Dans ces conditions, l'utilisation de la relation (2) ne présente aucun avantage par rapport à la relation (1). Ainsi, pour l'aluminium obtenu par fusion de zone, Forsvoll et Holwech [24] ont obtenu des valeurs de p , 1 variant de 5,3 x 10-l2 Qcm2 à 8,8 x 10-l2 Qcm2, avec une valeur moyenne de 7 x 10- l 2 12cm2. Le but de cette remarque est d'indiquer que la relation de Fuchs (1) ou (2) fait intervenir en réalité trois grandeurs inconnues : p,, 1 et p.

b) Le libre parcours moyen des électrons de conduction intervient aussi dans l'interprétation des propriétés optiques des couches minces. Si l'on connaissait la valeur du produit p, 1, la mesure de la résistivité en courant continu de la même couche fournirait, par l'intermédiaire de l'équation (2), une deuxième relation entre 1 et p, ce qui permettrait de déterminer ces deux grandeurs. En fait, nous avons toujours trouvé que ce système de deux équations à deux inconnues n'a pas de solution si l'on prend pour p, 1 la valeur com- munément admise. II n'est toutefois pas certain que cet échec provient de la méconnaissance de p, 1 : il se

pourrait que T, donc 1, n'ait pas la même valeur pour des champs continus et aux fréquences optiques.

c) Les métaux très purs ont des libres parcours moyens qui deviennent très longs, de l'ordre du milli- mètre, aux basses températures. Dans ces conditions, il y a des effets de dimension même pour des échantil- lons qui ne sont plus dignes d'être appelés couches minces. Ceci sera examiné de plus près dans l'exposé suivant de M. Reich. On peut donc penser qu'on pourra examiner un jour ces effets sur dcs échantillons monocristallins. D'autre part, la plupart des renseigne- ments obtenus à l'aide des couches minces peuvent l'être aussi à partir d'échantillons massifs. L'intérêt des recherches sur les couches minces dans ce domaine est alors, à mon avis, de permettre la vérification des résul- tats obtenus par d'autres moyens et surtout d'aborder de façon efficace l'étude des interactions électrons- surface.

Je tiens à remercier tout particulièrement MM. P. Broquet, G. Devant, M'le M. L. Thèye et M. V. Nguyen Van d'avoir bien voulu m'autoriser à présenter leurs résultats avant qu'ils soient publiés.

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[24] FORSVOLL (K.) et HOLWECH (I.), J. Appl. Physics,

1963, 31, 2230.

M. MERCIER. - 1) Comment peut-on interpréter les résultats avec un seul coefficient de réflexion p,

puisque par la préparation même, on peut penser que l'influence du substrat rend dissymétriques les deux faces.

2) Les courbes théoriques plp, en f

(P)

à k donné font apparaître pour

P

2 2 une saturation donnant la résistivité massique, indépendante de k. Par contre les courbes expérimentales font apparaître des saturations à des niveaux différents.

M. ABELÈS.

-

1) II y a eu des calculs faits pour le cas où il y a deux coefficients de réflexion pl et p,.

Les résultats de ces calculs peuvent s'interpréter en faisant intervenir un seul coefficient de réflexion

« efficace ».

2) Il est assez difficile d'interpréter les résultats de mesures de magnéto-résistance, parce qu'il faut tenir compte ausside la valeur qu'aurait l'échantillon massif, ce qui est assez mal connu.

M. FRIEDEL. - Quelle fréquence de plasma utilisez- vous pour l'or ?

M. ABELÈS. - Celle qui correspond à un électron par atome.

M. de GENNES. - Existe-t-il des expériences ou l'on étudie la transmission d'une onde optique à travers une lame d'épaisseur

7

1 p (donc opaque dans les conditions normales) soumise à un champ H tel que le rayon cyclotron soit comparable à l'épaisseur. Pour- rait-il y avoir une transmission anormale dans ces conditions ?

M. ABELÈS. - Il n'y a pas eu, à ma connaissance, de telles expériences en optique, et qui seraient, en somme, les analogues de ce qui a été observé en ESR par transmission pour le cuivre [SCHULTZ (S.) et LATHAM (C.), Phys. Rev. Letters, 1965, 15, 1481. U n calcul relatif au problème a été fait récemment [(RoN (A.) et REVZEN (M.), Phys. Letters, 1966, 20, 1061, concluant à la possibilité d'un tel effet dans le cas des microondes. Pour les fréquences optiques, il y a une condition qui paraît difficilement réalisable : 6 4 r, car ceci entraîne- rait des champs magnétiques extrêmement intenses.

M. MONTMORY. - Comment définit-on une couche mince à l'Institut d'optique ? en d'autres termes, quelles structures ont vos couches ? sont-elles mono- cristallines, à orientation azimuthale, polycristallines ? Comment définissez-vous une notion d'épaisseur à l'A près ?

M. ABELÈS. - Nos couches sont continues et mono- cristallines en épaisseur. Elles sont formées de cristal- lites jointifs, dont l'épaisseur est celle de la lame, et dont Ics dimcnsions latérales sont de quelques milliers d'A ; ils sont orientés de la même façon, avec leur axe (1 1 1) perpecdiculaire au plan de la lame, ceci avec une dispersion (ou texture) qui ne dépasse pas quelques degrés (cf. diffraction des rayons X).

Les mesures d'épaisseur de nos couches (entre 100 et 500 A) sont faites par deux méthodes indépendantes : l'une, par interférences de rayons X, mesure une épaisseur mécanique moyenne ; l'autre, par diffraction de rayons X (franges entourant la raie de diffraction (1 11)) mesure une épaisseur cristalline moyenne. Les résultats de ces 2 mesures sont identiques à 1 ou 2

A

près, pour des couches répondant aux définitions données plus haut. Ceci nous permet d'utiliser dans nos calculs une valeur de l'épaisseur connue à l'A près, et vraiment représentative de l'épaisseur à la fois cristalline et mécanique.

(14)

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET OPTIQUES DES COUCHES MINCES C 2 - 4 9

M. ABELÈS - Il est difflcile de déterminer p avec une grande précision. En fait, nous trouvons des valeurs de p qui sont le plus souvent soit voisines de zéro (O

<

p

<

0,2) soit assez grandes (0,6

<

p

<

1). Mais ceci ne permet pas d'affirmer que p ne peut pas prendre n'importe quelle valeur comprise entre O et 1.

M. BOCLESTEIX - Pcut-on obtenir un p # O pour d'autres métaux que l'or ?

M. ABEL& - Ceci est certainement possible pour les métaux nobles [cf. pour l'argent le travail de LAR-

SON (D. C.) et BOIKO (B. T.), Appl. Phys. Letters, 1964, 5 , 155, qui trouvent p = 0,5], et aussi pour les semi- métaux (p. ex. Bi).

M. SAINT-JAMES -- Existe-t-il des expériences cffec- tuées sur des lames suffisamment minces et parfaites pour que l'on puisse observer des effets liés à la discré- tion des états électroniques ?

M. ABELÈS - Non.

M. AUDRAN -- Existe-t-il une discontinuité du coefficient de réflexion optique lors de l'apparition du

phénomène de supraconduction ? (Pour des couches trés minces).

M. ABELÈS - Une telle discontinuité ne peut appa- raître que pour des fréquences correspondant à la lar- geur de la zone interdite des supraconducteurs, c'est- à-dire dans le domaine sub-millimétrique. Voir à ce sujet les travaux de Tinkham et ses collaborateurs et son exposé d'ensemble paru dans Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys, North-

Holland Publishing Co., Amsterdam, 1966.

M. BURGER - Les atomes en surface n'ont pas le même environnement qu'en volume et certaines pro- priétés, telles que les modes de vibrations sont changés. Ceci peut-il avoir une influence sur les coefficients de réflexion ?

M. ABELÈS - Certainement, mais on ne sait pas encore donner une indication, même qualitative, de cette influence.

M. D O B R Z Y N ~ K I - Une expérience de réflexion de lumière par une surface sur laquelle se propage une onde de Rayleigh est reportée dans Applied Physics