1
drôle de coïncidence ?!...
en adoptant une condition particulière, il est possible de faire coïn-cider le calendrier grégorien et la gamme musicale.
cette curiosité apparait si l'on remarque une structure de singularités identique aux deux systèmes de réglages, celui des mois et celui des notes..
la remarque.
elle est constituée de trois observations :
a) tout comme les horloges, les deux systèmes sont composés de douze éléments :
a1 – les douze mois (ici accompagnés de leur abréviation) :
janvier (jr), février (f), mars (ms), avril (av), mai (mi), juin (jn), juillet
(jt), août (at), septembre (s), octobre (o), novembre (n), décembre
(d).
présentation traditionnelle des calendriers. a2 – les douze notes de la gamme :
do, do dièze (do#), ré, ré#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si. présentation traditionnelle des notes.
b) tout comme les horloges encore, les deux systèmes sont cycliques : après décembre revient janvier et après si revient do.
on dit que ce sont des systèmes modulo 12.
c) mais contrairement aux horloges ces deux systèmes possèdent des singularités :
c1 – les mois sont soit de 31 jours, soit de 30 jours – je compte le mois de
février dans la série des 30 jours – selon une certaine alternance.
je note 1 les mois de 31 jours et 0 ceux de 30 jours (février inclus); nous obtenons les deux séries cycliques, dont l'une est binaire : série "mois" : d) jr f ms av mi jn jt at s o n d(jr.
2
deux singularités apparaissent : alors que les 0 et les 1 alternent, une
rupture d'alternance apparaît avec les deux couples (jt, at) et (d, jr)
qui sont tous deux = (1, 1).
ce qui fournit la série circulaire (cyclique) binaire : 101010110101(1. c2 – les notes sont séparées en tons et demi-ton – "entières" et diésées. je note 1 les notes "entières" (non diésées) et 0 les notes diésées; nous
obtenons les deux séries cycliques, dont l'une est binaire : série "notes" : si) do do# ré ré# mi fa fa# sol sol# la la# si (do 1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 (1
deux singularités apparaissent : alors que les 0 et les 1 alternent, une rupture d'alternance apparaît avec les deux couples (mi, fa) et (si, do) qui sont tous deux = (1, 1).
ce qui fournit la série circulaire (cyclique) binaire : 101011010101(1. comparons les deux séries telles qu'écrites ci-dessus :
série "mois" : d) jr f ms av mi jn jt at s o n d(jr.
1) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1(1 série "notes" : si) do do# ré ré# mi fa fa# sol sol# la la# si(do 1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1(1
nous observons que ces deux séries, telles qu'écrites juxtaposées, ne coïncident pas en deux paires :
{jn = 0 et fa = 1} et {jt = 1 et fa# = 0}.
en observant que nous avons deux modules circulaires, nous pouvons considérer chaque élément comme "début" du module, c'est-à-dire que par translation, chaque élément peut devenir le "premier" de la série.
A1 – mais sectionnons la série "mois" entre juillet et août 1010101 10101 = jr f ms av mi jn jt at s o n d
et permutons les deux segments :
3
ce qui fournit la nouvelle série 101011010101.
comme on le voit, cela ne change rien aux singularités, on obtient simplement une autre écriture de la même série, qui la fait "com-mencer" en août et "terminer" en juillet :
jt) at s o n d jr f ms av mi jn jt (at
1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 (1
comparons maintenant cette nouvelle écriture à celle initiale des notes.
jt) at s o n d jr f ms av mi jn jt (at
1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 (1 si) do do# ré ré# mi fa fa# sol sol# la la# si(do 1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1(1 maintenant, ces deux séries coïncident.
cette comparaison fait apparaitre une structure des singularités com-mune aux deux séries.
A2 – effectuons la même opération sur la série des notes, tout en conservant l'écriture initiale de la série des mois.
nous sectionnons la série "notes" entre mi et fa et permutons les deux segments, on obtient une autre écriture de la même série (je laisse à la lectrice et au lecteur le soin d'effectuer l'opération, en tout point semblable à A1) :
mi) fa fa# sol sol# la la# si do do# ré ré# mi (fa 1) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 (1
à nouveau, comparons la nouvelle écriture de la série des notes avec celle des mois initiale :
d) jr f ms av mi jn jt at s o n d (jr.
1) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 (1 mi) fa fa# sol sol# la la# si do do# ré ré# mi (fa 1) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 (1
4
là encore (mais on s'y attendait peut-être) les deux séries binaires coïncident parfaitement. on dit qu'on a une bijection entre ces deux ensembles.
B – dessinons deux cercles (comme pour une horloge), l'un pour les mois et l'autre pour les notes.
en projetant un cercle à l"'intérieur" de l'autre, nous pouvons ajuster ces deux cercles de sorte que les singularités se correspondent. plaçons sur chaque cercle les éléments correspondants comme les 12
heures de l'horloge : décembre occupera la place de 12h par exemple, janvier la place de 1h,…, novembre la place de 11h.
mi en vis-à-vis de décembre, fa de janvier,…, ré# de novembre. écrivons maintenant le tableau de la bijection obtenue :
1) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 (1 d) jr f ms av mi jn jt at s o n d (jr.
mi) fa fa# sol sol# la la# si do do# ré ré# mi(fa
les parenthèses indiquent le raboutage en cercle des séries.
à la lectrice curieuse et au lecteur curieux de tirer des observations diverses et variées de cette drôle de coïncidence!!!
C – on peut se demander quelle est l'origine de cette coïncidence. pour ma part j'y vois la rencontre de deux systèmes de pensée :
le premier, c'est que le calendrier grégorien et la gamme telle que nous la connaissons sont deux produits du christianisme. peut-être y a-t-il un inconscient qui se niche quelque part et que des considérations d'anthropologie psychanalytique révèleraient?
ou encore, comme le disait le magnifique poète pierre reverdy en par-lant de la formation d'une image, issue du rapprochement de deux réalités plus ou moins éloignées, le résultat obtenu contrôlant im-médiatement la justesse du rapprochement. n'est-ce pas là l'essence de la poésie et de la mathématique?
5
le deuxième, c'est la manière mathématique de chercher des en-sembles qui entrent "en communication", et que l'algèbre modu-laire, par exemple, couple en en présentant une structure commune. cette pensée s'étend jusqu'à la mathématique moderne des catégo-ries illustrée par le génial alexander grothendieck.
par exemple : on peut donc traduire les saisons en notes, et récipro-quement, les notes en mois de l'année?!
printemps = {mars, avril, mai] = {sol, sol#, la} été = {juin, juillet, août} = {la#, si, do}
automne = {septembre, octobre, novembre} = {do#, ré, ré#}, et hiver = {décembre, janvier, février} = {mi, fa, fa#}.
D – peut-être un.e musicologue nous dira ce qu'il en advient chez vi-valdi, bach, etc.; voire chez d'autres musiciens! voire dans d'autres cultures musicales!!
