OBLIGA
TOIRE
ÉPREUVE COMMUNE
SESSION 2019
MATHÉMATIQUES
Série : ES OBLIGATOIRE ET TERMINALE L Durée de l’épreuve : 2 heures et un quart d’heure
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de TROIS exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un restaurant propose une formule « entrée + plat » pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2).
Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat.
On a constaté que :
30% des clients choisissent l’entrée no1, 24 % choisissent l’entrée no2 et les autres clients choisissent l’entrée no3.
Par ailleurs, le plat no1 est choisi par : 72 % des clients ayant opté pour l’entrée no1, 58 % des clients ayant opté pour l’entrée no2 et 29 % des clients ayant opté pour l’entrée no3.
On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule « entrée + plat ».
On note E1 l’évènement : « Le client choisi l’entrée no1 », E2 l’évènement : « Le client choisi l’entrée no2 » et E3 l’évènement : « Le client choisi l’entrée no3 ».
On note enfinP1 l’évènement : « Le client choisi le plat no1 » et P2 l’évènement : « Le client choisi le plat no2 ».
1. Traduire la situation étudiée à l’aide d’un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l’énoncé.
2. Quelle est la probabilité que le client choisisse l’entrée no3 et le plat no1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?
3. Montrer que la probabilité de l’évènement P1 est égale à 0,488 6.
4. Quelle est la probabilité qu’un client ait choisi l’entrée no1 sachant qu’il a pris le plat no1 (on arrondira le résultat à 10−4 près) ?
5. On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisamment grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. On définit la variable aléatoire X égale au nombre de clients ayant pris le plat numéro 1.Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.
a. Quelle est la loi de X ?
b. Déterminer la probabilité qu’exactement deux de ces clients aient pris le plat no1.
c. Déterminer la probabilité qu’au moins un client ait pris le plat no1.
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En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d’une entreprise sur une période donnée. Lorsqu’il est strictement positif, c’est un bénéfice.
Propriétaire d’une société, Pierre veut estimer son résultat net à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier 2018, celui-ci était de 10 000 euros.
Pierre modélise ce résultat net par une suite (un) de premier termeu0 = 10 000 et de terme général un tel que un+1 = 1,02un−500
où n désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 2018.
1. Quel est le montant du résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018 ? 2. Pour tout entier naturel n, on pose an=un−25 000.
a. Montrer que la suite(an)est une suite géométrique dont on précisera le premier termea0 et la raison.
b. Exprimeran en fonction de n et montrer que, pour tout entier naturel n, un= 25 000−15 000×1,02n.
c. En utilisant la calculatrice, trouver le plus petit entier natureln vérifiant l’inéquation : 25 000−15 000×1,02n <0.
Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
3. À l’aide d’un algorithme, Pierre souhaite déterminer le cumul total des résultats nets mensuels de la société jusqu’au dernier mois où l’entreprise est bénéficiaire.
Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable N contienne le nombre de mois pendant lesquels l’entreprise est bénéficiaire et la variable S le cumul total des résultats nets mensuels sur cette période.
U ←10 000 S ←0 N ←0
Tant que . . . . S . . . . U . . . . N . . . . Fin Tant que
Exercice 3 8.5 points La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.
L’entrepriseBBE (Bio Bois Énergie)fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle [1 ; 15] par : C(x) = 0,3x2−x+e−x+5
oùx désigne la quantité de granulés en tonnes etC(x)le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction R définie sur l’intervalle [1 ; 15]
par :
R(x) = 3x
oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etR(x)la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
• On définit parD(x)le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C(x), où x désigne la quantité de granulés en tonnes.
Partie A : Étude graphique
Sur le graphique situé en annexe (page 6), on donne C et ∆ les représentations graphiques respectives des fonctions C etR dans un repère d’origine O.
Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.
1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
2. a. Déterminer les valeursC(6)etR(6)puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.
b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
Partie B : Étude d’une fonction On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :
g(x) =−0,6x+ 4 +e−x+5
On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g′ sa fonction dérivée.
1. a. Montrer que g′(x) =−0,6−e−x+5 pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15].
b. En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].
2. a. Dresser le tableau de variation de la fonctiong sur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs g(1) et g(15) arrondies à l’unité.
b. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 15]. Donner une valeur approchée deα à 0,1près.
c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g(x)sur l’intervalle [1 ; 15].
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1. Démontrer que pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15], on a : D(x) = −0,3x2+ 4x−e−x+5
2. On admet que la fonction D est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D′ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a D′(x) = g(x), où g est la fonction étudiée dans la partie B.
3. Dresser le tableau de variations de D sur l’intervalle [1 ; 15] en précisant les valeurs images arrondies à 0.01
4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1tonne près.
b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
ANNEXE
N’est pas à rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
∆ C
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