IE3: Logarithme+Correction

(1)

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2009-2010

http://www.taye.fr/ 1

Interrogation : fonction logarithme népérien Pour s’échauffer

( )

² ^{ln 2 ln}

1 3

Simplifier au maximum:

ln 1 ; ln ; ln e ; ^a 0

a b e c d ae a

e e

−

 

=   = =   = >

Exercice 1

( )

₀

Déterminer les limites suivantes:

ln ln 1

) lim ln ln ; ) lim ; ) lim ; ) lim ln 1

1

x x x x

x x

a x x x b c d x

x ⁺ x x

→+∞ →+∞ → →+∞

 

−  + 

+  

Exercice 2

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

Résoudre dans :

a) ln 1 ln 2 ln 2

b) ln 1 2 ln 2

c) ln 1 ln 3 ln 3

x x x

x x

+ + + = −

+ + = −

+ + − <

ℝ

Exercice 3

( )

2

( )

D terminer les ensembles de d finition et de d rivabilit puis calculer les d riv es des fonctions ci-dessous:

1 3 1

( ) ) ( ) ln 2 3 ) ( ) ln

ln 2 3

é é é é é é

f x b f x x x c f x x

x x x

= = − = +

− Exercice 4

( )

( ) ( )

On considère la fonction: ( ) ln et sa courbe représentative.

1) Déterminer les nombres réels a et b sachant que: 2 0 et ' 3 3. 4 Quel est alors le domaine de définition de ? Quel est son sens

f x ax b C

f f

f

= +

= =

( )

de variation?

2) Déterminer les nombres réels a et b sachant que la courbe passe par le point 2; 0 et la tangente en est parallèle à la droite d'équation 2 1.

C A

A y= − +x

Question bonus : Calculer: lim 1 1

x

x^→+∞ x

 

 + 

 

(2)

Correction Interrogation : fonction logarithme népérien Pour s’échauffer

( )

1

2 3

1 3

ln 2 ln ln 2 ln ln

Simplifier au maximum:

1 1 5

ln ln 1 ; ln 2 ln 2 ; ln ln ln 3 ;

2 2

2 2 1 2

a a a

a e b e e c e e e

e e

d ae ae e a e a

a

−

− −

 

=  = = = = = =  = − = − = −

= = × = × × =

Exercice 1

( ) ( )

0 0

0

Calcul de limites :

) lim ln ln lim ln 1 .

ln ln 1

) lim lim 0 1 0

1 1

1

ln 1

) lim lim ln .

1 1 ln 1 1

) lim ln 1 lim ln 1 lim 1. On pose

x x

x t x

a x x x x x

x x

b x x

x

c x x

x x

d x t t t

x t t x

+ +

→+∞ →+∞

→ →

→+∞ → →+∞

− = − = −∞

= × = × =

+ +

= × = +∞× −∞ = −∞

+

 

+ = + = = =

 

 

Exercice 2

( ) ( ) ( )

] [

( )( ) ( ) { }

( )( ) ( )

2 2

Résoudre dans :

a) ln 1 ln 2 ln 2

1; 2

pour tout , on a l'équation est équivalente à:

1 2 2 3 2 2 4 0 soit 4 ou 0 donc 0 .

b) ln 1 2 ln 2 cette équation est définie su

x x x

D

x D

x x x x x x x x x D x D S

x x x

+ + + = −

= −

∈

+ + = − ⇔ + + = − ⇔ + = = − ∉ = ∈ =

+ + = −

ℝ

] [ ] [

( ) { }

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ( )( )

2

r ' ; 1 1; 2

l'équation est équivalente à: 4 0 4 0 soit 4 ' ou 0 ' donc 4; 0 . c) ln 1 ln 3 ln 3 cette équation est définie sur ' 3;

ln 1 ln 3 ln 3 1 3 3 2 6 0

28 les racin

D

x x x x x D x D S

x x D

x x x x x x

= −∞ − ∪ −

+ = ⇔ + = = − ∈ = ∈ = −

+ + − < = +∞

+ + − < ⇔ + − < ⇔ − − <

∆ = ₁ ₂

2

1

es sont: 1 7 1 7

2 6 0 pour tout réel entre les racines, comme 1 7 ', l'ensemble des solutions est: 3;1 7 .

x x

x x x x D

S

= − = +

− − < = − ∉

 

= + 

(3)

Exercice 3

( ) ] [ { }

( )

( ( ) ) ^{( )}

( )

2

2 2 3

2

a) ( ) 1 , 0; 1 . est dérivable sur chaque intervalle de son domaine de définition et:

ln

ln 2 ln ln 2

'( ) .

ln ln

3 3

) ( ) ln 2 3 , ; . est dérivable sur ;

2 2

f

f x D f

x x

x x x

f x

x x

b f x x x D f

= = +∞ −

+ +

= − = −

   

= − = +∞  +∞

( )

( )( )

et: '( ) ln 2 3 2 .

2 3

3 1 1 3 1 3

) ( ) ln , ; . est dérivable sur ; et:

2 3 3 2 3 2

'( ) 9

2 3 3 1

f

f x x x

x

c f x x D f

x

f x x x

= − +

−

+    

= − = −  − 

= − +

Exercice 4

( )

( ) ( ) ( )

( )

On considère la fonction: ( ) ln et sa dérivée est '( )

3 3

1) 2 0 ln 2 0 2 1 et ' 3 5 3 0

4 3 4

2 1

On résoud le système: 3 5 ( ) ln 3 5

5 3 0

est définie et d

f x ax b f x a

ax b

f a b a b f a a b

a b

a b a et b soit f x x

a b

f

= + =

+

= ⇔ + = ⇔ + = = ⇔ = ⇔ + =

+ + =

 ⇔ = = − = −

 + =



( ) ( )

5 3 5

érivable sur ; et '( ) 0, donc est strictement croissante sur ; .

3 3 5 3

2) 2; 0 (2) 0 ln 2 0 2 1

la tangente en est parallèle à la droite d'équation 2 1 '(2) 2 2

f x f

x

A C f a b a b

A y x f a

a

   

+∞ = > +∞

  −  

   

∈ ⇔ = ⇔ + = ⇔ + =

= − + ⇔ = − ⇔

( )

2 5 2 0

2 1

d'où le système: 2 5. soit ( ) ( ) ln 2 5

5 2 0

a b

b

a b

a et b f x f x x

a b

= − ⇔ + = +

+ =

 ⇔ = − = = = − +

 + =



Question bonus :

( )

lim 1 1

1 1 1

( ) 1 ln ( ) ln 1 ln 1

D'après la question d) de l'exercice 1): lim ln 1 1 1

donc on a: lim ln ( ) 1 ln( ) lim ( )

x

x x

x

x x

x

f x f x x

x x x

x x

f x e f x e

→+∞

→+∞ →+∞

 

 + 

 

     

= +  ⇔ =  +  =  + 

     

 

+ =

 

 

= = ⇔ =

IE3: Logarithme+Correction

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

] [

( )( ) ( ) { }

( )( ) ( )

] [ ] [

( ) { }

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ( )( )

( ) ] [ { }

( )

( ( ) ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ( ) ) ^{( )}