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Année Scolaire 2020 – 2021

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(1)

Année Scolaire 2020 – 2021

MATHÉMATIQUES MPSI

1,2,3

DS N°8

Samedi 27/02/2021 (4h)

Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles

ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés ou soulignés à larègle.

Les différents problèmes doivent être rédigés sur des copies séparées.

La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.

Problème 1 : Algèbre

Soit𝑛un entier naturel non nul.

On se donne une matriceMdeℳ𝑛(ℂ), et on lui associe les deux suites(𝑑𝑘)𝑘∈ℕet(A𝑘)𝑘∈ℕ, respectivement suite de nombres complexes et suite de matrices, définies par les relations (la notation tr désignant bien sûr la trace de la matrice correspondante) :

⎧⎨

𝑑0= 1

A0= I𝑛 et pour tout𝑘 ∈ ℕ: ⎧

⎨⎩

𝑑𝑘= −𝑘1 tr(A𝑘−1M) A𝑘= A𝑘−1M+𝑑𝑘I𝑛

L’objectif du problème est d’établir le résultat suivant :

« la matriceMest inversible si, et seulement si,𝑑𝑛≠ 0, et dans ce casM−1= − 1𝑑𝑛A𝑛−1. »

Partie I : Étude d’un exemple On considère,dans cette partie seulement, le cas particulier où

M =⎛

3 0 2 2 0 −2 0 1 1

⎞⎟

⎠ .

Q1) En utilisant une méthode vue en cours, justifier que la matriceMest inversible et calculer son inverseM−1.

(2)

Q2) Calculer sur cet exemple les termes𝑑1,A1,𝑑2,A2et𝑑3des suites définies en préambule, et vérifier qu’on a bienM−1= −𝑑13A2.

Partie II

On considère unℂ-espace vectorielEde dimension finie𝑛 ⩾ 1, et un endomorphisme𝑓 ∈ ℒ(E). Onadmetque sous ces hypothèses le résultat suivant est vrai :

« Il existe un scalaireλ ∈ ℂet un vecteurnon nul𝑒 ∈ E\{0E}tels que𝑓(𝑒) = λ𝑒.»

Le but de cette partie est de prouver qu’il existe une base deEdans laquelle la matrice associée à𝑓soit triangulaire supérieure.

Pour cela, on se propose de raisonner par récurrence sur la dimension𝑛deE. Q3) Établir le résultat pour𝑛 = 1.

Q4) Dans les questions suivantes, on suppose le résultat vrai pour une dimension𝑛 ⩾ 1fixée, et on considèreEde dimension𝑛 +1.

Le résultat admis permet de justifier qu’il existe scalaireλ1∈ ℂet un vecteur non nul𝑒1∈ E\{0E} tels que𝑓(𝑒1) = λ1𝑒1.

a) Justifier qu’il existe un sous-espace vectorielEdeEtel queE =vect(𝑒1)⊕E, et préciser la dimension deE.

b) On note𝑝le projecteur surE parallèlement à vect(𝑒1), et pour tout𝑥 ∈ Eon pose𝑔(𝑥) = 𝑝(𝑓(𝑥)).

Justifier que𝑔est un endomorphisme deE, et que

∀𝑥 ∈ E, ∃α ∈ ℂ ∶ 𝑓(𝑥) = α𝑒1+𝑔(𝑥).

c) Justifier qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice associée à𝑔soit triangulaire supérieure, puis conclure en prouvant qu’il existe une base deEdans laquelle la matrice associée à𝑓soit triangulaire supérieure.

Partie III

On considère toujours unℂ-espace vectorielEde dimension finie𝑛 ⩾ 1, et un endomorphisme𝑓 ∈ ℒ(E).

En utilisant le résultat de la partie précédente, on sait qu’il existe une baseℬ = (𝑒1,…,𝑒𝑛)deEdans laquelle la matrice associée à𝑓soit de la forme (∗désignant des scalaires quelconques dansℂ)

⎛⎜⎜

⎜⎜

λ1 ∗ … ∗ 0 λ2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ ∗ 0 … 0 λ𝑛

⎞⎟⎟

⎟⎟

(3)

L’objectif de cette partie est de montrer que

(𝑓 −λ1idE)∘(𝑓 −λ2idE)∘⋯∘(𝑓 −λ𝑛idE) = 0ℒ(E).

Q5) Vérifier que(𝑓 −λ1idE)(𝑒1) = 0E et que∀𝑘 ∈J2,𝑛K, (𝑓 −λ𝑘idE)(𝑒𝑘) ∈vect(𝑒1,…,𝑒𝑘−1). Q6) Justifier que∀(𝑘,ℓ) ∈J1,𝑛K2, (𝑓 −λ𝑘idE)∘(𝑓 −λidE) = (𝑓 −λidE)∘(𝑓 −λ𝑘idE). Q7) Prouver que

∀𝑘 ∈J1,𝑛K, [(𝑓 −λ1idE)∘⋯∘(𝑓 −λ𝑘idE)](𝑒𝑘) = 0E. Q8) Conclure.

Partie IV

Cette partie peut être traitée indépendamment des parties précédentes, mais son résultat servira dans la partie V.

On considère un polynôme de degré𝑛 ∈ ℕnoté P = ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘X𝑘avec𝑎𝑛≠ 0.

on noteλ1,…,λ𝑛ses𝑛racines comptées avec leurs ordres de multiplicité, ce qui permet de factoriser Psous la forme

P = 𝑎𝑛𝑛

𝑘=1(X−λ𝑘).

On pose∀𝑖 ∈J0,𝑛K, S𝑖= ∑𝑛

𝑘=1λ𝑖𝑘.

L’objectif de cette partie est d’établir une relation entre lesS𝑖et les coefficients𝑎𝑘du polynômeP. Q9) a) Soit(𝑘,𝑖) ∈J1,𝑛K2. Justifier que

X𝑘−λ𝑘𝑖 X−λ𝑖 =𝑘−1

ℓ=0λ𝑘−ℓ−1𝑖 X. b) En déduire que

P(X)−P(λ𝑖) X−λ𝑖 = ∑𝑛

𝑘=1𝑎𝑘𝑘−1

ℓ=0λ𝑘−ℓ−1𝑖 X puis que

P(X)−P(λ𝑖) X−λ𝑖 = ∑𝑛

ℓ=1(∑𝑛

𝑘=ℓ𝑎𝑘λ𝑘−ℓ𝑖 )Xℓ−1 Q10) Justifier queP=∑𝑛

𝑖=1

P(X)−P(λ𝑖) X−λ𝑖 .

(Indication : on pourra commencer par décomposer en éléments simples la fraction rationnelle PP.) Q11) En déduire que∀ℓ ∈J1,𝑛K, ℓ𝑎= ∑𝑛

𝑘=ℓ𝑎𝑘S𝑘−ℓ. Justifier que la formule reste vraie pourℓ = 0. Q12) Conclure que

∀𝑘 ∈J0,𝑛K, ∑𝑘

𝑖=0𝑎𝑛−𝑖S𝑘−𝑖= (𝑛 −𝑘)𝑎𝑛−𝑘.

(4)

Partie V

Cette dernière partie utilise les parties précédentes pour établir le résultat indiqué en préambule.

On considère pour cela une matriceM ∈ ℳ𝑛(ℂ)avec𝑛 ⩾ 1.

Q13) En utilisant la partie II justifier qu’il existe une matrice triangulaire supérieureNsemblable àM, que l’on note

N =

⎜⎜⎜⎜

λ1 ∗ … ∗ 0 λ2 ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ ∗ 0 … 0 λ𝑛

⎟⎟⎟⎟

⎠ En utilisant la partie III justifier que

(M−λ1I𝑛)×(M−λ2I𝑛)×⋯×(M−λ𝑛I𝑛) = 0𝑛(ℂ).

Q14) On définit comme indiqué en préambule les suites(𝑑𝑘)𝑘∈ℕet(A𝑘)𝑘∈ℕpar

⎧⎨

𝑑0= 1

A0= I𝑛 et pour tout𝑘 ∈ ℕ: ⎧

⎨⎩

𝑑𝑘= −𝑘1 tr(A𝑘−1M) A𝑘= A𝑘−1M+𝑑𝑘I𝑛 Établir que

∀𝑘 ∈J0,𝑛K, A𝑘=∑𝑘

𝑖=0𝑑𝑖M𝑘−𝑖 puis que

∀𝑘 ∈J1,𝑛K, 𝑑𝑘= − 1𝑘𝑘−1

𝑖=0𝑑𝑖tr(M𝑘−𝑖).

Q15) On définit le polynômeP = (X−λ1)×(X−λ2)×⋯×(X−λ𝑛), lesλ𝑖étant définis en question13, et on note son écriture développée

P = ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘X𝑘. En utilisant le résultat de la partie IV, justifier que

∀𝑘 ∈J0,𝑛K, ∑𝑘

𝑖=0𝑎𝑛−𝑖tr(M𝑘−𝑖) = (𝑛 −𝑘)𝑎𝑛−𝑘. Q16) En déduire que∀𝑘 ∈J0,𝑛K, 𝑑𝑘= 𝑎𝑛−𝑘.

Q17) Justifier que ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘M𝑘 = 0𝑛(ℂ), et en conclure que si 𝑑𝑛 n’est pas nul alors la matrice Mest inversible avecM−1= −𝑑1𝑛A𝑛−1.

Q18) Prouver que si𝑑𝑛 est nul, alors la matriceMn’est pas inversible.

Problème 2 : Analyse (séries entières réelles)

On appelle série entière (réelle) toute série de la forme𝑛∈ℕ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛(𝑎𝑛)est une suite réelle, et𝑥un réel.

On dit qu’une telle série a un rayon de convergence non nul lorsqu’il existe𝑟 > 0tel que pour tout

(5)

𝑥 ∈ ]−𝑟;𝑟[, la série entière estabsolument convergente, sur l’intervalle]−𝑟;𝑟[la somme de la série est alors une fonction de𝑥. On se propose d’étudier quelques propriétés de ces fonctions.

La partie III utilise le résultat de Q6d et Q6e, et la question Q6 utilise le résultat de Q5e.

Q1) Préliminaire.

Démontrer l’inégalité triangulaire des séries absolument convergentes, c’est à dire si∑𝑢𝑛 est absolument convergente, alors :|||

+∞

𝑛=0𝑢𝑛||| ⩽

+∞

𝑛=0|𝑢𝑛|. Partie I : Exemples Q2) Justifier que la série ∑

𝑛∈ℕ𝑥𝑛 est une série entière de rayon de convergence non nul.

Préciser la somme de cette série en fonction de𝑥. Q3) Soit la série entière𝑛⩾1∑ 𝑛𝑥𝑛.

a) Montrer que cette série est absolument convergente pour𝑥 ∈ ]−1;1[. On montrera que𝑛|𝑥|𝑛= 𝑜(𝑛12).

b) Montrer qu’elle est divergente pour|𝑥| ⩾ 1.

Partie II : Propriétés élémentaires

On considère une série entière𝑛∈ℕ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛, et un réel𝑟 > 0tel que pour tout𝑥 ∈ ]−𝑟;𝑟[, la série est absolument convergente.

Pour𝑥 ∈ ]−𝑟;𝑟[, la somme de la série est notée𝑓(𝑥) =+∞

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛, pour𝑛 ∈ ℕ, la somme partielle de rang 𝑛de la série est notéeS𝑛(𝑥) = ∑𝑛

𝑘=0𝑎𝑘𝑥𝑘, et le reste de rang𝑛de la série est notéR𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) − S𝑛(𝑥) =

+∞

𝑘=𝑛+1𝑎𝑘𝑥𝑘.

Q4) On montre ici la continuité de𝑓sur]−𝑟;𝑟[. Cette question peut être admise pour la suite.

Soit𝑥0∈ ]−𝑟;𝑟[, soitαun réel tel que|𝑥0| ⩽ α < 𝑟. On se fixe unε > 0. a) Soit𝑛 ∈ ℕet𝑥 ∈ [−α;α], montrer que|R𝑛(𝑥)| ⩽ +∞

𝑘=𝑛+1|𝑎𝑘𝑘.

En déduire qu’il existe un entierNtel que∀𝑛 ⩾ N,∀𝑥 ∈ [−α;α],|R𝑛(𝑥)| ⩽ε3. b) On fixe𝑛 ⩾ N, justifier qu’il existeβ > 0tel que :

∀𝑥 ∈ [−α;α], |𝑥 −𝑥0| < β ⟹ |S𝑛(𝑥)−S𝑛(𝑥0)| ⩽ε3 c) En déduire que∀𝑥 ∈ [−α;α],|𝑥 −𝑥0| < β ⟹ |𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)| ⩽ ε.

On montrera que|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)| ⩽ |R𝑛(𝑥)|+|R𝑛(𝑥0)|+|S𝑛(𝑥)−S𝑛(𝑥0)|. d) En déduire que𝑓est continue sur]−𝑟;𝑟[.

Q5) On montre ici que l’intégrale de𝑓sur un segment est la somme (infinie) des intégrales (intégration terme à terme). Puis on en déduit l’expression d’une primitive.

Soient𝑎,𝑏deux réels de l’intervalle]−𝑟;𝑟[avec𝑎 < 𝑏.

a) Montrer qu’il existe un réelα ∈ ]0;𝑟[tel que∀𝑡 ∈ [𝑎;𝑏],|𝑡| ⩽ α. b) Montrer que||∫𝑎𝑏R𝑛(𝑡)d𝑡|| ⩽ M𝑛×(𝑏 −𝑎)oùM𝑛= +∞

𝑘=𝑛+1|𝑎𝑘𝑘. On commencera par justifier l’existence de cette intégrale.

(6)

c) Montrer que lim

𝑛→+∞𝑎𝑏R𝑛(𝑡)d𝑡 = 0.

d) En déduire que∫𝑎𝑏𝑓(𝑡)d𝑡 =𝑛=0+∞∑ (∫𝑎𝑏𝑎𝑛𝑡𝑛d𝑡). Le résultat reste-t-il vrai si𝑎 ⩾ 𝑏(justifier)?

e) Application: montrer que la primitive de𝑓sur]−𝑟;𝑟[qui s’annule en0est la fonctionF définie parF(𝑥) =+∞

𝑛=0 𝑎𝑛

𝑛+1𝑥𝑛+1=+∞

𝑛=1 𝑎𝑛−1

𝑛 𝑥𝑛. En déduire une écriture sous forme de somme d’une série entière deln(1−𝑥)pour𝑥 ∈ ]−1;1[, puis deln(1+𝑥).

Q6) On montre ici que𝑓est dérivable sur]−𝑟;𝑟[, et que𝑓est la somme (infinie) des dérivées (dérivation terme à terme). Puis on en déduit la classe de𝑓et ses dérivées successives.

Soit𝑥 ∈ ]−𝑟;𝑟[etα ∈ ]0;𝑟[tel que|𝑥| < α. a) Montrer que|𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1| = 𝑜𝑛→+∞(|𝑎𝑛α𝑛|).

b) En déduire que la série entière𝑛∈ℕ∑(𝑛 +1)𝑎𝑛+1𝑥𝑛est absolument convergente.

Dans la suite on pose𝑔(𝑥) =𝑛=0+∞∑(𝑛 +1)𝑎𝑛+1𝑥𝑛.

c) SoitGla primitive de𝑔sur]−𝑟;𝑟[qui s’annule en0. Montrer queG(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑓(0).

d) En déduire que𝑓est de classe𝒞1sur]−𝑟;𝑟[et que𝑓(𝑥) =𝑛=0+∞∑(𝑛 +1)𝑎𝑛+1𝑥𝑛=𝑛=1+∞∑ 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1. e) Montrer que pour tout𝑘 ∈ ℕ,𝑓est de classe𝒞𝑘sur]−𝑟;𝑟[, que :

𝑓(𝑘)(𝑥) =𝑛=0+∞(𝑛+𝑘)!𝑛! 𝑎𝑛+𝑘𝑥𝑛= +∞

𝑛=𝑘

(𝑛−𝑘)!𝑛! 𝑎𝑛𝑥𝑛−𝑘, et que𝑎𝑘=𝑓(𝑘)𝑘!(0). f) Application: soit𝑥 ∈ ]−1;1[, calculer la somme de la série +∞

𝑛=𝑘(𝑛𝑘)𝑥𝑛. Partie III : Un exemple

Soit(𝑎𝑛)𝑛∈ℕla suite réelle définie par𝑎0= 𝑎1= 1et pour tout𝑛 ⩾ 1,𝑎𝑛+1= 𝑎𝑛+𝑛𝑎𝑛−1 (R). On cherche à trouver une expression pour𝑎𝑛.

Q7) Montrer que pour tout𝑛 ∈ ℕ,0 ⩽ 𝑎𝑛⩽ 𝑛!.

Q8) En déduire que pour tout𝑥 ∈ ]−1;1[la série entière𝑛∈ℕ𝑎𝑛!𝑛𝑥𝑛est absolument convergente.

On note dans la suite𝑓(𝑥) =𝑛=0+∞𝑎𝑛!𝑛𝑥𝑛pour𝑥 ∈ ]−1;1[.

Q9) Pour𝑥 ∈ ]−1;1[, calculer𝑓(𝑥)et déduire de la relation(R)que𝑓(𝑥) = (1+𝑥)𝑓(𝑥). Q10) a) Résoudre l’équation différentielle𝑦= (𝑥 +1)𝑦.

b) En déduire que pour𝑥 ∈ ]−1;1[,𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥22+𝑥.

Q11) Soit𝑛 ∈ ℕ. On considère les DL en0d’ordre𝑛de𝑒𝑥et𝑒𝑥22 , que l’on note : 𝑒𝑥= ∑𝑛

𝑘=0𝑢𝑘𝑥𝑘+𝑜0(𝑥𝑛)et𝑒𝑥22 = ∑𝑛

𝑘=0𝑣𝑘𝑥𝑘+𝑜0(𝑥𝑛) a) Donner les expressions de𝑢𝑘et de𝑣𝑘pour𝑘 ∈J0;𝑛K.

b) En déduire le coefficient de𝑥𝑛dans le DL en0d’ordre𝑛de𝑒𝑥22+𝑥, puis la valeur de𝑓(𝑛)𝑛!(0)en justifiant.

c) Montrer que pour tout𝑛,𝑎𝑛= 𝑛!

𝑛2 𝑘=0

(𝑛−2𝑘)!21 𝑘𝑘!.On ne cherchera pas à simplifier cette somme.

FIN

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