Le mouvement

1

Le mouvement

Nous avons besoin de a) un observateur

b) l'objet (point matériel, quark, projectile, voiture, planète, galaxie) c) des instruments calibrés par des unités de mesure d'espace et temps ex.: un mètre et une horloge

d) un protocole de mesure

2

Le Mouvement Rectiligne .1

Passage à

t₀ = 35,25 s Passage à

t₁ = 38,35 s

X

X₀ = 2,14 cm X₁ = 16,24 cm

0

Vitesse: v = 14,10/3,10 = 4,54 cm/s

Δ t = 38,35 - 35,25 = 3,10 s Δ X= 16,24 - 2.14 = 14,10 cm

3

Mesure des distances

O(1 m): mesure de la longueur par un mètre rigide gradué O(1 µm): réticule dans un microscope

O(1 nm): méthodes de physique atomique (Scanning Tunneling Microscope) O(1 fm): physique nucléaire (expérience de Rutherford)

O(< 1 fm): physique des particules (idem, à haute énergie)

O(1 km): photo aérienne, trigonométrie, temps de propagation d'une onde e.m. (radar,...)

Etoiles proches: parallaxe

Etoiles éloignées: Luminosité apparente = L étoile / r² Galaxies: idem, Luminosité des galaxies

Ordre de

4

Hubble Deep

Field

5

Mesure du temps

... nécessite un système en mouvement:

- mouvement des astres - sablier

- bougies étalonnées - systèmes oscillants

pendules ressorts

lame de quartz dans un circuit oscillant oscillations dans une horloge atomique

6

Quelle est la précision de la mesure ?

Erreurs systématiques: associées à la précision de l'appareillage Mesure d'une longueur: x₁ = 16,24 cm

erreur de calibration de la réglette ± 0,02 cm erreur de lecture par l'observateur ± 0,02 cm

Résultat: x₁ = 16,24 ± 0,04 cm

Temps, par 10 chronométreurs: 38,35 38,33 38,34 38,34 38,35 ...

Moyenne = 38.35 s é.q.m. = 0.02 s

erreur sur moyenne =

€

10

0.02 Erreur statistique ± 0,01 38.35 s

7

Mouvement rectiligne .2

Le long de la trajectoire rectiligne, on effectue quelques mesure de vitesse...

v (entre t₁ et t₂) ≡ v₁ v (entre t₂ et t₃) ≡ v₂

v (entre t₃ et t₄) ≡ v3 etc...

si v₁ = v₂ = v₃ = ... la vitesse est constante:

le mouvement est rectiligne et uniforme.

Attention: les {v_i } sont des valeurs moyennes sur un intervalle

de temps fini => pour plus de précision il faut introduire la vitesse instantanée v(t₁) = limite pour Δt → 0 de Δx/Δ t au temps t ~ t₁

[v] = [longueur]/[temps]

unités : cm/s

€

t

lim

x(t

) − x(t

)

t

− t

≡ dx

dt (t

) ≡ x (t ˙

)

8

Vitesse instantanée

parcours km

temps heures 50

100

0 1 2

v = 0

v > 0

La vitesse instantanée est la pente de la courbe x(t)

x

t

v < 0

parcours d'une voiture sur une autoroute rectiligne

t

t

€

t

lim

x(t

) − x(t

)

t

− t

≡ dx

dt (t

) ≡ x (t ˙

)

x

x

9

Vitesse instantanée et accélération

vitesse km/h

temps heures 50

100

0 1 2

décélération accélération

parcours km

temps heures 50

100

1 2

v = 0

v > 0 x

v < 0

10

Accélération

v(t) km/h

temps t heures 50

100

0 1 2

L'accélération (instantanée) a(t) est la pente de la courbe v(t)

[a] = [l]/[t²] unités : cm s^-2 t₁ t₂

€

a(t

) = lim

t₂ →t₁

v(t

) − v(t

)

t

− t

≡ dv

dt (t

) ≡ v

(t

) ≡

x (t

)

11

Quelques formules...

Si a = 0, alors v = cte, et x(t) = x(0) + v t

Si a = cte, alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t²

1 2

Exemple: chute verticale d'un corps depuis une hauteur y = h

v(t) = v(0) - g t

g = 9.81 m s

y(t) = h + v(0)t - g t

y

h

1 2

0 cte: constante

12

Mouvement en 2D

x y

t₀

t₁ t₂

t₃

t₄ t₅

position au temps t donnée par le couple de fonctions:

x = x(t) y = y(t)

vitesse au temps

t

r

€

r r (t) ≡ x(t) y(t)

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≡ r (t)

€

v (t) r ≡ v(t) = dr

dt (t) = r ˙ (t)

13

Exemple

Projectile lancé d'une tour, vitesse // au sol: v_x(0) = V.

On néglige l'effet de l'air => V=cte.

x

y

g

v_x(t) = V v_y(t) =

-

-

t = x/V y = h

-

mouvement horizontal uniforme

0

mvt vertical soumis à la pesanteur

on décompose le mouvement:

une composante // à x et une // à y

14

Exemple .2

Distance maximale pour un projectile

Θ

x

v

0

y

?

15

Equations du mouvement

si a = constante

alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t

/ 2

€

a(t

) = lim

t₂→t₁

v(t

) − v(t

)

t

− t

≡ dv

dt (t

) ≡ v

(t

) ≡

x (t

)

€

v(t

) = lim

t₂ →t₁

x(t

) − x(t

)

t

− t

≡ dx

dt (t

) ≡ x (t ˙

)

Dès définitions de vitesse et accélération:

On veut savoir quelle est la position et vitesse d'un objet à un

certain moment, à partir des caractéristiques de son mouvement

16

Eq.s mouvement .2

* Calcul de la vitesse au temps t, a= cte:

€

v(t) = v(0) + adt

0 t

∫ ^{= v(0) + a dt}

0 t

∫ ^{= v(0) + a(t − 0) = v(0) + at}

avec v(0) la vitesse initiale.

* La position au temps t

:

€

x(t

) = x(0) + v(t)dt

0 t₁

∫ ^{= x(0) + (v(0) + at)dt}

0 t₁

∫ ⁼

= x(0) + v(0)dt

0 t₁

∫ ^{+ at dt}

0 t₁

∫ ^{= x(0) + v(0)t}

^{+ 1} ₂ ^at

17

Eq.s mouvement avant Newton

0 τ 2τ 3τ t

v 0 a

a(2

) a(3

) v

a

a3

/2 a5

/2

x 0

(a

x(

)+ a3

/2

=a

/2 = a4

/2=a(2

/2 a(3

/2

€

v

(t

,t

) = v(t

) + v(t

) 2

€

x(t

) ≈ x(t

) + v

(t

,t

) × (t

− t

)

€

1

2 at

18

Annexe: les V ^ECTEURS

19

Les vecteurs

r

x y

r

x ^{^}

^ y

€

r r ≡ r ≡ r

r

r

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟ ≡ r

r

r

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

r

"gras"

flèche

(norme de r) ≡ | r | = r

+ r

+ r

longueur

^ indique un vecteur de norme = 1

r = x r

+ y r

+

z r

(l'axe z sort du dessin)

20

Les vecteurs, notations (3D)

€

r r ≡ r ≡

r

r

r

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟ ≡

r

r

r

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

r ≡ r

r ≡ r

r = r

+ r

+ r

≡ r

i=1,3

∑

gras

€

v ˆ = 1 v r

v r

un vecteur unitaire qui sert à indiquer la direction:

21

Les vecteurs, opérations

OPERATIONS

A

v = a + b

M

v = s a P

s = a

b

P

v = a × b ≡ a ∧ b

Scalaire : grandeur définie par un seul nombre

Ex: multiplication du vecteur (2,3,-1) par le scalaire 0.5

€

0.5 ⋅

2 3

− 1

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟ =

1 1.5

− 0.5

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

22

Les vecteurs, addition

b

x y

b

b

P O

Q

a

OQ = a + b OQ - ^{b = a}

€

OQ = a

a

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + b

b

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = a

+ b

a

+ b

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Addition de vecteurs

exemple en 2D

23

Les vecteurs, produit scalaire

Produit scalaire:

a ^• b = |a| |b| cos(φ) = a' |b|

= a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ φ

a

a' b φ : angle entre a et b

a

a' b

le produit est < 0

le produit est = 0 si φ est droit !

le produit est > 0

* calcul d'un angle: cos(φ) = a ^• b / |a| |b|

=> φ = arccos( a ^• b / |a| |b| )

* norme (longueur) d'un vecteur: |a| = a ^• a

Exemples:

24

Les vecteurs, produit vectoriel

Produit vectoriel

v = a × b est un vecteur orthogonal à a et à b

de norme : |v| = |a| |b| sin(φ)

φ : angle entre a et b

a

b v

φ

|v| est égale à l'aire du

parallélogramme de côtés a et b

v

= a

b

- a

b

v

= a

b

- a

b

v

= a

b

- a

b

Q1: Signification du produit mixte: (a × b) ^• c ? Q2: Montrer que a × b = - b × a