MPSI B Énoncé du DM 05 29 juin 2019
Problème
Ce problème porte sur les nombres de surjections.
Pourn∈N∗, dans tout le problème, on noteEn =J1, nKet on désigne par Sn,p le nombre d'applications surjectives deEn surEp.
PARTIE I
1. CalculerSn,p pourp > n. CalculerSn,n,Sn,1,Sn,2.
2. Calculer Sp+1,p. Pour cela on utilisera, en justiant son existence, l'élémentr de Ep ayant deux antécédents.
PARTIE II
1. Démontrer que
∀k∈ {0, . . . , p−1},
p
X
q=k
(−1)q p
q q
k
= 0
2. Établir
pn=
p
X
q=1
p q
Sn,q
3. En déduire la formule
Sn,p= (−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k
kn
4. En déduire que, sip≥2,
Sn,p=p(Sn−1,p+Sn−1,p−1) Retrouver alorsSp+1,p puis montrer
Sp+2,p=p(3p+ 1)
24 (p+ 2)!
5. En s'inspirant du triangle de Pascal, montrer qu'on peut construire une table desSn,p. Calculer lesSn,p pour0< p≤7et 0< n≤7.
PARTIE III
SoitAn,p le nombre de partitions deEn enpparties non vides.
1. Quelle est la relation entreAn,p etSn,p?
2. En déduire une relation donnantAn,p en fonction deAn−1,p etAn−1,p−1. 3. CalculerAn,1 etAn,n. Construire la table desAn,p pour n≤7 etp≤7. PARTIE IV
On appelle dérangement deEn une bijectionf deEndansEn telle quef(x)6=xpour toutxdeEn. SoitDn le nombre de dérangements deEn. On poseraD0= 1.
1. Établir
n! =
n
X
k=0
n k
Dk
2. En s'inspirant de la partie II, en déduire
Dn= (−1)n
n
X
k=0
(−1)k n
k
k!
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0405E
